다음을 풀어보세요: {l}{6x+2y=300}{3x+5y=600}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 6 x + 2 y = 300 } \\ { 3 x + 5 y = 600 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x = \frac{25}{2} = 12\frac{1}{2} = 12.5$$

$$y = \frac{225}{2} = 112\frac{1}{2} = 112.5$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$6x+2y=300,3x+5y=600$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$6x+2y=300$$

수식의 양쪽에서 2y을(를) 뺍니다.

$$6x=-2y+300$$

양쪽을 6(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{6}\left(-2y+300\right)$$

\frac{1}{6}에 -2y+300을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{1}{3}y+50$$

다른 수식 3x+5y=600에서 -\frac{y}{3}+50을(를) x(으)로 치환합니다.

$$3\left(-\frac{1}{3}y+50\right)+5y=600$$

3에 -\frac{y}{3}+50을(를) 곱합니다.

$$-y+150+5y=600$$

-y을(를) 5y에 추가합니다.

$$4y+150=600$$

수식의 양쪽에서 150을(를) 뺍니다.

$$4y=450$$

양쪽을 4(으)로 나눕니다.

$$y=\frac{225}{2}$$

x=-\frac{1}{3}y+50에서 y을(를) \frac{225}{2}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\frac{1}{3}\times \frac{225}{2}+50$$

분자는 분자끼리 분모는 분모끼리 곱하여 -\frac{1}{3}에 \frac{225}{2}을(를) 곱합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=-\frac{75}{2}+50$$

50을(를) -\frac{75}{2}에 추가합니다.

$$x=\frac{25}{2}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{25}{2},y=\frac{225}{2}$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$6x+2y=300,3x+5y=600$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}6&2\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}300\\600\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}6&2\\3&5\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&2\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}300\\600\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}300\\600\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}300\\600\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{6\times 5-2\times 3}&-\frac{2}{6\times 5-2\times 3}\\-\frac{3}{6\times 5-2\times 3}&\frac{6}{6\times 5-2\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}300\\600\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{24}&-\frac{1}{12}\\-\frac{1}{8}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}300\\600\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{24}\times 300-\frac{1}{12}\times 600\\-\frac{1}{8}\times 300+\frac{1}{4}\times 600\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{25}{2}\\\frac{225}{2}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=\frac{25}{2},y=\frac{225}{2}$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$6x+2y=300,3x+5y=600$$

6x 및 3x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 3을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 6을(를) 곱합니다.

$$3\times 6x+3\times 2y=3\times 300,6\times 3x+6\times 5y=6\times 600$$

단순화합니다.

$$18x+6y=900,18x+30y=3600$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 18x+6y=900에서 18x+30y=3600을(를) 뺍니다.

$$18x-18x+6y-30y=900-3600$$

18x을(를) -18x에 추가합니다. 18x 및 -18x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$6y-30y=900-3600$$

6y을(를) -30y에 추가합니다.

$$-24y=900-3600$$

900을(를) -3600에 추가합니다.

$$-24y=-2700$$

양쪽을 -24(으)로 나눕니다.

$$y=\frac{225}{2}$$

3x+5y=600에서 y을(를) \frac{225}{2}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$3x+5\times \frac{225}{2}=600$$

5에 \frac{225}{2}을(를) 곱합니다.

$$3x+\frac{1125}{2}=600$$

수식의 양쪽에서 \frac{1125}{2}을(를) 뺍니다.

$$3x=\frac{75}{2}$$

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{25}{2}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{25}{2},y=\frac{225}{2}$$