다음을 풀어보세요: {l}{5y+2x=5}{y+2x=5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 y + 2 x = 5 } \\ { y + 2 x = 5 } \end{array} \right.$$

y, x에 대한 해

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2.5$$

$$y=0$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$5y+2x=5,y+2x=5$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 y을(를) 고립시켜 y에 대한 해를 찾습니다.

$$5y+2x=5$$

수식의 양쪽에서 2x을(를) 뺍니다.

$$5y=-2x+5$$

양쪽을 5(으)로 나눕니다.

$$y=\frac{1}{5}\left(-2x+5\right)$$

\frac{1}{5}에 -2x+5을(를) 곱합니다.

$$y=-\frac{2}{5}x+1$$

다른 수식 y+2x=5에서 -\frac{2x}{5}+1을(를) y(으)로 치환합니다.

$$-\frac{2}{5}x+1+2x=5$$

-\frac{2x}{5}을(를) 2x에 추가합니다.

$$\frac{8}{5}x+1=5$$

수식의 양쪽에서 1을(를) 뺍니다.

$$\frac{8}{5}x=4$$

수식의 양쪽을 \frac{8}{5}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$x=\frac{5}{2}$$

y=-\frac{2}{5}x+1에서 x을(를) \frac{5}{2}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 y에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$y=-\frac{2}{5}\times \frac{5}{2}+1$$

분자는 분자끼리 분모는 분모끼리 곱하여 -\frac{2}{5}에 \frac{5}{2}을(를) 곱합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$y=-1+1$$

1을(를) -1에 추가합니다.

$$y=0$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$y=0,x=\frac{5}{2}$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$5y+2x=5,y+2x=5$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}5&2\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&2\\1&2\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&2\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-2}&-\frac{2}{5\times 2-2}\\-\frac{1}{5\times 2-2}&\frac{5}{5\times 2-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\\-\frac{1}{8}&\frac{5}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 5-\frac{1}{4}\times 5\\-\frac{1}{8}\times 5+\frac{5}{8}\times 5\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\\frac{5}{2}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 y 및 x을(를) 추출합니다.

$$y=0,x=\frac{5}{2}$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$5y+2x=5,y+2x=5$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 5y+2x=5에서 y+2x=5을(를) 뺍니다.

$$5y-y+2x-2x=5-5$$

2x을(를) -2x에 추가합니다. 2x 및 -2x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$5y-y=5-5$$

5y을(를) -y에 추가합니다.

$$4y=5-5$$

5을(를) -5에 추가합니다.

$$4y=0$$

양쪽을 4(으)로 나눕니다.

$$y=0$$

y+2x=5에서 y을(를) 0(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$2x=5$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$y=0,x=\frac{5}{2}$$