다음을 풀어보세요: {l}{5x+y=5}{5x+3y=15}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + y = 5 } \\ { 5 x + 3 y = 15 } \end{array} \right\}$$

x, y에 대한 해

$$x=0$$

$$y=5$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$5x+y=5,5x+3y=15$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$5x+y=5$$

수식의 양쪽에서 y을(를) 뺍니다.

$$5x=-y+5$$

양쪽을 5(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{5}\left(-y+5\right)$$

\frac{1}{5}에 -y+5을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{1}{5}y+1$$

다른 수식 5x+3y=15에서 -\frac{y}{5}+1을(를) x(으)로 치환합니다.

$$5\left(-\frac{1}{5}y+1\right)+3y=15$$

5에 -\frac{y}{5}+1을(를) 곱합니다.

$$-y+5+3y=15$$

-y을(를) 3y에 추가합니다.

$$2y+5=15$$

수식의 양쪽에서 5을(를) 뺍니다.

$$2y=10$$

양쪽을 2(으)로 나눕니다.

$$y=5$$

x=-\frac{1}{5}y+1에서 y을(를) 5(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\frac{1}{5}\times 5+1$$

-\frac{1}{5}에 5을(를) 곱합니다.

$$x=-1+1$$

1을(를) -1에 추가합니다.

$$x=0$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=0,y=5$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$5x+y=5,5x+3y=15$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}5&1\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&1\\5&3\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&1\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5\times 3-5}&-\frac{1}{5\times 3-5}\\-\frac{5}{5\times 3-5}&\frac{5}{5\times 3-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}&-\frac{1}{10}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}\times 5-\frac{1}{10}\times 15\\-\frac{1}{2}\times 5+\frac{1}{2}\times 15\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=0,y=5$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$5x+y=5,5x+3y=15$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 5x+y=5에서 5x+3y=15을(를) 뺍니다.

$$5x-5x+y-3y=5-15$$

5x을(를) -5x에 추가합니다. 5x 및 -5x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$y-3y=5-15$$

y을(를) -3y에 추가합니다.

$$-2y=5-15$$

5을(를) -15에 추가합니다.

$$-2y=-10$$

양쪽을 -2(으)로 나눕니다.

$$y=5$$

5x+3y=15에서 y을(를) 5(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$5x+3\times 5=15$$

3에 5을(를) 곱합니다.

$$5x+15=15$$

수식의 양쪽에서 15을(를) 뺍니다.

$$5x=0$$

양쪽을 5(으)로 나눕니다.

$$x=0$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=0,y=5$$