다음을 풀어보세요: {l}{5x+2y=24}{y=x-2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + 2 y = 24 } \\ { y = x - 2 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=4$$

$$y=2$$

치환을 사용한 단계

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 x을(를) 뺍니다.

$$y-x=-2$$

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$5x+2y=24,-x+y=-2$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$5x+2y=24$$

수식의 양쪽에서 2y을(를) 뺍니다.

$$5x=-2y+24$$

양쪽을 5(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{5}\left(-2y+24\right)$$

\frac{1}{5}에 -2y+24을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{2}{5}y+\frac{24}{5}$$

다른 수식 -x+y=-2에서 \frac{-2y+24}{5}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$-\left(-\frac{2}{5}y+\frac{24}{5}\right)+y=-2$$

-1에 \frac{-2y+24}{5}을(를) 곱합니다.

$$\frac{2}{5}y-\frac{24}{5}+y=-2$$

\frac{2y}{5}을(를) y에 추가합니다.

$$\frac{7}{5}y-\frac{24}{5}=-2$$

수식의 양쪽에 \frac{24}{5}을(를) 더합니다.

$$\frac{7}{5}y=\frac{14}{5}$$

수식의 양쪽을 \frac{7}{5}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=2$$

x=-\frac{2}{5}y+\frac{24}{5}에서 y을(를) 2(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\frac{2}{5}\times 2+\frac{24}{5}$$

-\frac{2}{5}에 2을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-4+24}{5}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{24}{5}을(를) -\frac{4}{5}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=4$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=4,y=2$$

행렬을 사용한 단계

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 x을(를) 뺍니다.

$$y-x=-2$$

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$5x+2y=24,-x+y=-2$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}5&2\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\-2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&2\\-1&1\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&2\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\-2\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\-2\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\-2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5-2\left(-1\right)}&-\frac{2}{5-2\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{5-2\left(-1\right)}&\frac{5}{5-2\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\-2\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&-\frac{2}{7}\\\frac{1}{7}&\frac{5}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\-2\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\times 24-\frac{2}{7}\left(-2\right)\\\frac{1}{7}\times 24+\frac{5}{7}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=4,y=2$$

소거를 사용한 단계

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 x을(를) 뺍니다.

$$y-x=-2$$

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$5x+2y=24,-x+y=-2$$

5x 및 -x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 -1을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 5을(를) 곱합니다.

$$-5x-2y=-24,5\left(-1\right)x+5y=5\left(-2\right)$$

단순화합니다.

$$-5x-2y=-24,-5x+5y=-10$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 -5x-2y=-24에서 -5x+5y=-10을(를) 뺍니다.

$$-5x+5x-2y-5y=-24+10$$

-5x을(를) 5x에 추가합니다. -5x 및 5x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$-2y-5y=-24+10$$

-2y을(를) -5y에 추가합니다.

$$-7y=-24+10$$

-24을(를) 10에 추가합니다.

$$-7y=-14$$

양쪽을 -7(으)로 나눕니다.

$$y=2$$

-x+y=-2에서 y을(를) 2(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$-x+2=-2$$

수식의 양쪽에서 2을(를) 뺍니다.

$$-x=-4$$

양쪽을 -1(으)로 나눕니다.

$$x=4$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=4,y=2$$