다음을 풀어보세요: {l}{4x+3y=71}{7x+5y=120}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x + 3 y = 71 } \\ { 7 x + 5 y = 120 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=5$$

$$y=17$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$4x+3y=71,7x+5y=120$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$4x+3y=71$$

수식의 양쪽에서 3y을(를) 뺍니다.

$$4x=-3y+71$$

양쪽을 4(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y+71\right)$$

\frac{1}{4}에 -3y+71을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{3}{4}y+\frac{71}{4}$$

다른 수식 7x+5y=120에서 \frac{-3y+71}{4}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$7\left(-\frac{3}{4}y+\frac{71}{4}\right)+5y=120$$

7에 \frac{-3y+71}{4}을(를) 곱합니다.

$$-\frac{21}{4}y+\frac{497}{4}+5y=120$$

-\frac{21y}{4}을(를) 5y에 추가합니다.

$$-\frac{1}{4}y+\frac{497}{4}=120$$

수식의 양쪽에서 \frac{497}{4}을(를) 뺍니다.

$$-\frac{1}{4}y=-\frac{17}{4}$$

양쪽에 -4을(를) 곱합니다.

$$y=17$$

x=-\frac{3}{4}y+\frac{71}{4}에서 y을(를) 17(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\frac{3}{4}\times 17+\frac{71}{4}$$

-\frac{3}{4}에 17을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-51+71}{4}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{71}{4}을(를) -\frac{51}{4}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=5$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=5,y=17$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$4x+3y=71,7x+5y=120$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\7&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}71\\120\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&3\\7&5\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\7&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}71\\120\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}71\\120\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}71\\120\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-3\times 7}&-\frac{3}{4\times 5-3\times 7}\\-\frac{7}{4\times 5-3\times 7}&\frac{4}{4\times 5-3\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}71\\120\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5&3\\7&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}71\\120\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\times 71+3\times 120\\7\times 71-4\times 120\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\17\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=5,y=17$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$4x+3y=71,7x+5y=120$$

4x 및 7x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 7을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 4을(를) 곱합니다.

$$7\times 4x+7\times 3y=7\times 71,4\times 7x+4\times 5y=4\times 120$$

단순화합니다.

$$28x+21y=497,28x+20y=480$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 28x+21y=497에서 28x+20y=480을(를) 뺍니다.

$$28x-28x+21y-20y=497-480$$

28x을(를) -28x에 추가합니다. 28x 및 -28x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$21y-20y=497-480$$

21y을(를) -20y에 추가합니다.

$$y=497-480$$

497을(를) -480에 추가합니다.

$$y=17$$

7x+5y=120에서 y을(를) 17(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$7x+5\times 17=120$$

5에 17을(를) 곱합니다.

$$7x+85=120$$

수식의 양쪽에서 85을(를) 뺍니다.

$$7x=35$$

양쪽을 7(으)로 나눕니다.

$$x=5$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=5,y=17$$