다음을 풀어보세요: {l}{4(x+y)-3(x-y)=10}{2(x+y)-3(x-y)=2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 ( x + y ) - 3 ( x - y ) = 10 } \\ { 2 ( x + y ) - 3 ( x - y ) = 2 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=3$$

$$y=1$$

치환을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 분배 법칙을 사용하여 4에 x+y(을)를 곱합니다.

$$4x+4y-3\left(x-y\right)=10$$

분배 법칙을 사용하여 -3에 x-y(을)를 곱합니다.

$$4x+4y-3x+3y=10$$

4x과(와) -3x을(를) 결합하여 x(을)를 구합니다.

$$x+4y+3y=10$$

4y과(와) 3y을(를) 결합하여 7y(을)를 구합니다.

$$x+7y=10$$

두 번째 수식을 검토합니다. 분배 법칙을 사용하여 2에 x+y(을)를 곱합니다.

$$2x+2y-3\left(x-y\right)=2$$

분배 법칙을 사용하여 -3에 x-y(을)를 곱합니다.

$$2x+2y-3x+3y=2$$

2x과(와) -3x을(를) 결합하여 -x(을)를 구합니다.

$$-x+2y+3y=2$$

2y과(와) 3y을(를) 결합하여 5y(을)를 구합니다.

$$-x+5y=2$$

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$x+7y=10,-x+5y=2$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$x+7y=10$$

수식의 양쪽에서 7y을(를) 뺍니다.

$$x=-7y+10$$

다른 수식 -x+5y=2에서 -7y+10을(를) x(으)로 치환합니다.

$$-\left(-7y+10\right)+5y=2$$

-1에 -7y+10을(를) 곱합니다.

$$7y-10+5y=2$$

7y을(를) 5y에 추가합니다.

$$12y-10=2$$

수식의 양쪽에 10을(를) 더합니다.

$$12y=12$$

양쪽을 12(으)로 나눕니다.

$$y=1$$

x=-7y+10에서 y을(를) 1(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-7+10$$

10을(를) -7에 추가합니다.

$$x=3$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=3,y=1$$

행렬을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 분배 법칙을 사용하여 4에 x+y(을)를 곱합니다.

$$4x+4y-3\left(x-y\right)=10$$

분배 법칙을 사용하여 -3에 x-y(을)를 곱합니다.

$$4x+4y-3x+3y=10$$

4x과(와) -3x을(를) 결합하여 x(을)를 구합니다.

$$x+4y+3y=10$$

4y과(와) 3y을(를) 결합하여 7y(을)를 구합니다.

$$x+7y=10$$

두 번째 수식을 검토합니다. 분배 법칙을 사용하여 2에 x+y(을)를 곱합니다.

$$2x+2y-3\left(x-y\right)=2$$

분배 법칙을 사용하여 -3에 x-y(을)를 곱합니다.

$$2x+2y-3x+3y=2$$

2x과(와) -3x을(를) 결합하여 -x(을)를 구합니다.

$$-x+2y+3y=2$$

2y과(와) 3y을(를) 결합하여 5y(을)를 구합니다.

$$-x+5y=2$$

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$x+7y=10,-x+5y=2$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}1&7\\-1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&7\\-1&5\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&7\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&7\\-1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&7\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&7\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&7\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-7\left(-1\right)}&-\frac{7}{5-7\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{5-7\left(-1\right)}&\frac{1}{5-7\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{12}&-\frac{7}{12}\\\frac{1}{12}&\frac{1}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{12}\times 10-\frac{7}{12}\times 2\\\frac{1}{12}\times 10+\frac{1}{12}\times 2\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=3,y=1$$

소거를 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 분배 법칙을 사용하여 4에 x+y(을)를 곱합니다.

$$4x+4y-3\left(x-y\right)=10$$

분배 법칙을 사용하여 -3에 x-y(을)를 곱합니다.

$$4x+4y-3x+3y=10$$

4x과(와) -3x을(를) 결합하여 x(을)를 구합니다.

$$x+4y+3y=10$$

4y과(와) 3y을(를) 결합하여 7y(을)를 구합니다.

$$x+7y=10$$

두 번째 수식을 검토합니다. 분배 법칙을 사용하여 2에 x+y(을)를 곱합니다.

$$2x+2y-3\left(x-y\right)=2$$

분배 법칙을 사용하여 -3에 x-y(을)를 곱합니다.

$$2x+2y-3x+3y=2$$

2x과(와) -3x을(를) 결합하여 -x(을)를 구합니다.

$$-x+2y+3y=2$$

2y과(와) 3y을(를) 결합하여 5y(을)를 구합니다.

$$-x+5y=2$$

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$x+7y=10,-x+5y=2$$

x 및 -x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 -1을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 1을(를) 곱합니다.

$$-x-7y=-10,-x+5y=2$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 -x-7y=-10에서 -x+5y=2을(를) 뺍니다.

$$-x+x-7y-5y=-10-2$$

-x을(를) x에 추가합니다. -x 및 x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$-7y-5y=-10-2$$

-7y을(를) -5y에 추가합니다.

$$-12y=-10-2$$

-10을(를) -2에 추가합니다.

$$-12y=-12$$

양쪽을 -12(으)로 나눕니다.

$$y=1$$

-x+5y=2에서 y을(를) 1(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$-x+5=2$$

수식의 양쪽에서 5을(를) 뺍니다.

$$-x=-3$$

양쪽을 -1(으)로 나눕니다.

$$x=3$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=3,y=1$$