다음을 풀어보세요: {l}{3x-5y-4=0}{15y=4x+3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - 5 y - 4 = 0 } \\ { 15 y = 4 x + 3 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=3$$

$$y=1$$

치환을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 양쪽에 4을(를) 더합니다. 모든 항목에 0을 더한 결과는 해당 항목 자체입니다.

$$3x-5y=4$$

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 4x을(를) 뺍니다.

$$15y-4x=3$$

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$3x-5y=4,-4x+15y=3$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$3x-5y=4$$

수식의 양쪽에 5y을(를) 더합니다.

$$3x=5y+4$$

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{3}\left(5y+4\right)$$

\frac{1}{3}에 5y+4을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}$$

다른 수식 -4x+15y=3에서 \frac{5y+4}{3}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$-4\left(\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}\right)+15y=3$$

-4에 \frac{5y+4}{3}을(를) 곱합니다.

$$-\frac{20}{3}y-\frac{16}{3}+15y=3$$

-\frac{20y}{3}을(를) 15y에 추가합니다.

$$\frac{25}{3}y-\frac{16}{3}=3$$

수식의 양쪽에 \frac{16}{3}을(를) 더합니다.

$$\frac{25}{3}y=\frac{25}{3}$$

수식의 양쪽을 \frac{25}{3}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=1$$

x=\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}에서 y을(를) 1(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=\frac{5+4}{3}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{4}{3}을(를) \frac{5}{3}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=3$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=3,y=1$$

행렬을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 양쪽에 4을(를) 더합니다. 모든 항목에 0을 더한 결과는 해당 항목 자체입니다.

$$3x-5y=4$$

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 4x을(를) 뺍니다.

$$15y-4x=3$$

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$3x-5y=4,-4x+15y=3$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}3&-5\\-4&15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&-5\\-4&15\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\-4&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-5\\-4&15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\-4&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\-4&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\-4&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{3\times 15-\left(-5\left(-4\right)\right)}&-\frac{-5}{3\times 15-\left(-5\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{3\times 15-\left(-5\left(-4\right)\right)}&\frac{3}{3\times 15-\left(-5\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{4}{25}&\frac{3}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}\times 4+\frac{1}{5}\times 3\\\frac{4}{25}\times 4+\frac{3}{25}\times 3\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=3,y=1$$

소거를 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 양쪽에 4을(를) 더합니다. 모든 항목에 0을 더한 결과는 해당 항목 자체입니다.

$$3x-5y=4$$

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 4x을(를) 뺍니다.

$$15y-4x=3$$

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$3x-5y=4,-4x+15y=3$$

3x 및 -4x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 -4을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 3을(를) 곱합니다.

$$-4\times 3x-4\left(-5\right)y=-4\times 4,3\left(-4\right)x+3\times 15y=3\times 3$$

단순화합니다.

$$-12x+20y=-16,-12x+45y=9$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 -12x+20y=-16에서 -12x+45y=9을(를) 뺍니다.

$$-12x+12x+20y-45y=-16-9$$

-12x을(를) 12x에 추가합니다. -12x 및 12x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$20y-45y=-16-9$$

20y을(를) -45y에 추가합니다.

$$-25y=-16-9$$

-16을(를) -9에 추가합니다.

$$-25y=-25$$

양쪽을 -25(으)로 나눕니다.

$$y=1$$

-4x+15y=3에서 y을(를) 1(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$-4x+15=3$$

수식의 양쪽에서 15을(를) 뺍니다.

$$-4x=-12$$

양쪽을 -4(으)로 나눕니다.

$$x=3$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=3,y=1$$