다음을 풀어보세요: {l}{3x+y=5}{x+2/5+y/2=-1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + y = 5 } \\ { \frac { x + 2 } { 5 } + \frac { y } { 2 } = - 1 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=3$$

$$y=-4$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$3x+y=5,\frac{1}{5}\left(x+2\right)+\frac{1}{2}y=-1$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$3x+y=5$$

수식의 양쪽에서 y을(를) 뺍니다.

$$3x=-y+5$$

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+5\right)$$

\frac{1}{3}에 -y+5을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{5}{3}$$

다른 수식 \frac{1}{5}\left(x+2\right)+\frac{1}{2}y=-1에서 \frac{-y+5}{3}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$\frac{1}{5}\left(-\frac{1}{3}y+\frac{5}{3}+2\right)+\frac{1}{2}y=-1$$

\frac{5}{3}을(를) 2에 추가합니다.

$$\frac{1}{5}\left(-\frac{1}{3}y+\frac{11}{3}\right)+\frac{1}{2}y=-1$$

\frac{1}{5}에 \frac{-y+11}{3}을(를) 곱합니다.

$$-\frac{1}{15}y+\frac{11}{15}+\frac{1}{2}y=-1$$

-\frac{y}{15}을(를) \frac{y}{2}에 추가합니다.

$$\frac{13}{30}y+\frac{11}{15}=-1$$

수식의 양쪽에서 \frac{11}{15}을(를) 뺍니다.

$$\frac{13}{30}y=-\frac{26}{15}$$

수식의 양쪽을 \frac{13}{30}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=-4$$

x=-\frac{1}{3}y+\frac{5}{3}에서 y을(를) -4(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\frac{1}{3}\left(-4\right)+\frac{5}{3}$$

-\frac{1}{3}에 -4을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{4+5}{3}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{5}{3}을(를) \frac{4}{3}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=3$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=3,y=-4$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$3x+y=5,\frac{1}{5}\left(x+2\right)+\frac{1}{2}y=-1$$

두 번째 수식을 단순화하여 표준 형식으로 만듭니다.

$$\frac{1}{5}\left(x+2\right)+\frac{1}{2}y=-1$$

\frac{1}{5}에 x+2을(를) 곱합니다.

$$\frac{1}{5}x+\frac{2}{5}+\frac{1}{2}y=-1$$

수식의 양쪽에서 \frac{2}{5}을(를) 뺍니다.

$$\frac{1}{5}x+\frac{1}{2}y=-\frac{7}{5}$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\\frac{1}{5}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-\frac{7}{5}\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&1\\\frac{1}{5}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\\frac{1}{5}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\\frac{1}{5}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\\frac{1}{5}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-\frac{7}{5}\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\\frac{1}{5}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-\frac{7}{5}\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\\frac{1}{5}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-\frac{7}{5}\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{2}}{3\times \frac{1}{2}-\frac{1}{5}}&-\frac{1}{3\times \frac{1}{2}-\frac{1}{5}}\\-\frac{\frac{1}{5}}{3\times \frac{1}{2}-\frac{1}{5}}&\frac{3}{3\times \frac{1}{2}-\frac{1}{5}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-\frac{7}{5}\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{13}&-\frac{10}{13}\\-\frac{2}{13}&\frac{30}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-\frac{7}{5}\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{13}\times 5-\frac{10}{13}\left(-\frac{7}{5}\right)\\-\frac{2}{13}\times 5+\frac{30}{13}\left(-\frac{7}{5}\right)\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-4\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=3,y=-4$$