다음을 풀어보세요: {l}{3(x+y)-4(x-y)=-18}{1/2(x+y)+1/6(x-y)=2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 ( x + y ) - 4 ( x - y ) = - 18 } \\ { \frac { 1 } { 2 } ( x + y ) + \frac { 1 } { 6 } ( x - y ) = 2 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=4$$

$$y=-2$$

치환을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 분배 법칙을 사용하여 3에 x+y(을)를 곱합니다.

$$3x+3y-4\left(x-y\right)=-18$$

분배 법칙을 사용하여 -4에 x-y(을)를 곱합니다.

$$3x+3y-4x+4y=-18$$

3x과(와) -4x을(를) 결합하여 -x(을)를 구합니다.

$$-x+3y+4y=-18$$

3y과(와) 4y을(를) 결합하여 7y(을)를 구합니다.

$$-x+7y=-18$$

두 번째 수식을 검토합니다. 분배 법칙을 사용하여 \frac{1}{2}에 x+y(을)를 곱합니다.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{6}\left(x-y\right)=2$$

분배 법칙을 사용하여 \frac{1}{6}에 x-y(을)를 곱합니다.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{6}x-\frac{1}{6}y=2$$

\frac{1}{2}x과(와) \frac{1}{6}x을(를) 결합하여 \frac{2}{3}x(을)를 구합니다.

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}y-\frac{1}{6}y=2$$

\frac{1}{2}y과(와) -\frac{1}{6}y을(를) 결합하여 \frac{1}{3}y(을)를 구합니다.

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y=2$$

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$-x+7y=-18,\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y=2$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$-x+7y=-18$$

수식의 양쪽에서 7y을(를) 뺍니다.

$$-x=-7y-18$$

양쪽을 -1(으)로 나눕니다.

$$x=-\left(-7y-18\right)$$

-1에 -7y-18을(를) 곱합니다.

$$x=7y+18$$

다른 수식 \frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y=2에서 7y+18을(를) x(으)로 치환합니다.

$$\frac{2}{3}\left(7y+18\right)+\frac{1}{3}y=2$$

\frac{2}{3}에 7y+18을(를) 곱합니다.

$$\frac{14}{3}y+12+\frac{1}{3}y=2$$

\frac{14y}{3}을(를) \frac{y}{3}에 추가합니다.

$$5y+12=2$$

수식의 양쪽에서 12을(를) 뺍니다.

$$5y=-10$$

양쪽을 5(으)로 나눕니다.

$$y=-2$$

x=7y+18에서 y을(를) -2(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=7\left(-2\right)+18$$

7에 -2을(를) 곱합니다.

$$x=-14+18$$

18을(를) -14에 추가합니다.

$$x=4$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=4,y=-2$$

행렬을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 분배 법칙을 사용하여 3에 x+y(을)를 곱합니다.

$$3x+3y-4\left(x-y\right)=-18$$

분배 법칙을 사용하여 -4에 x-y(을)를 곱합니다.

$$3x+3y-4x+4y=-18$$

3x과(와) -4x을(를) 결합하여 -x(을)를 구합니다.

$$-x+3y+4y=-18$$

3y과(와) 4y을(를) 결합하여 7y(을)를 구합니다.

$$-x+7y=-18$$

두 번째 수식을 검토합니다. 분배 법칙을 사용하여 \frac{1}{2}에 x+y(을)를 곱합니다.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{6}\left(x-y\right)=2$$

분배 법칙을 사용하여 \frac{1}{6}에 x-y(을)를 곱합니다.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{6}x-\frac{1}{6}y=2$$

\frac{1}{2}x과(와) \frac{1}{6}x을(를) 결합하여 \frac{2}{3}x(을)를 구합니다.

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}y-\frac{1}{6}y=2$$

\frac{1}{2}y과(와) -\frac{1}{6}y을(를) 결합하여 \frac{1}{3}y(을)를 구합니다.

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y=2$$

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$-x+7y=-18,\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y=2$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}-1&7\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-18\\2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-1&7\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&7\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&7\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&7\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\2\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&7\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\2\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&7\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{3}}{-\frac{1}{3}-7\times \frac{2}{3}}&-\frac{7}{-\frac{1}{3}-7\times \frac{2}{3}}\\-\frac{\frac{2}{3}}{-\frac{1}{3}-7\times \frac{2}{3}}&-\frac{1}{-\frac{1}{3}-7\times \frac{2}{3}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\2\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{15}&\frac{7}{5}\\\frac{2}{15}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\2\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{15}\left(-18\right)+\frac{7}{5}\times 2\\\frac{2}{15}\left(-18\right)+\frac{1}{5}\times 2\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-2\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=4,y=-2$$

소거를 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 분배 법칙을 사용하여 3에 x+y(을)를 곱합니다.

$$3x+3y-4\left(x-y\right)=-18$$

분배 법칙을 사용하여 -4에 x-y(을)를 곱합니다.

$$3x+3y-4x+4y=-18$$

3x과(와) -4x을(를) 결합하여 -x(을)를 구합니다.

$$-x+3y+4y=-18$$

3y과(와) 4y을(를) 결합하여 7y(을)를 구합니다.

$$-x+7y=-18$$

두 번째 수식을 검토합니다. 분배 법칙을 사용하여 \frac{1}{2}에 x+y(을)를 곱합니다.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{6}\left(x-y\right)=2$$

분배 법칙을 사용하여 \frac{1}{6}에 x-y(을)를 곱합니다.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{6}x-\frac{1}{6}y=2$$

\frac{1}{2}x과(와) \frac{1}{6}x을(를) 결합하여 \frac{2}{3}x(을)를 구합니다.

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}y-\frac{1}{6}y=2$$

\frac{1}{2}y과(와) -\frac{1}{6}y을(를) 결합하여 \frac{1}{3}y(을)를 구합니다.

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y=2$$

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$-x+7y=-18,\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y=2$$

-x 및 \frac{2x}{3}을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 \frac{2}{3}을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 -1을(를) 곱합니다.

$$\frac{2}{3}\left(-1\right)x+\frac{2}{3}\times 7y=\frac{2}{3}\left(-18\right),-\frac{2}{3}x-\frac{1}{3}y=-2$$

단순화합니다.

$$-\frac{2}{3}x+\frac{14}{3}y=-12,-\frac{2}{3}x-\frac{1}{3}y=-2$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 -\frac{2}{3}x+\frac{14}{3}y=-12에서 -\frac{2}{3}x-\frac{1}{3}y=-2을(를) 뺍니다.

$$-\frac{2}{3}x+\frac{2}{3}x+\frac{14}{3}y+\frac{1}{3}y=-12+2$$

-\frac{2x}{3}을(를) \frac{2x}{3}에 추가합니다. -\frac{2x}{3} 및 \frac{2x}{3}이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$\frac{14}{3}y+\frac{1}{3}y=-12+2$$

\frac{14y}{3}을(를) \frac{y}{3}에 추가합니다.

$$5y=-12+2$$

-12을(를) 2에 추가합니다.

$$5y=-10$$

양쪽을 5(으)로 나눕니다.

$$y=-2$$

\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y=2에서 y을(를) -2(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}\left(-2\right)=2$$

\frac{1}{3}에 -2을(를) 곱합니다.

$$\frac{2}{3}x-\frac{2}{3}=2$$

수식의 양쪽에 \frac{2}{3}을(를) 더합니다.

$$\frac{2}{3}x=\frac{8}{3}$$

수식의 양쪽을 \frac{2}{3}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$x=4$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=4,y=-2$$