다음을 풀어보세요: {l}{3(x+y)=5x-y+2}{2(x-y)=3x+y-4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 ( x + y ) = 5 x - y + 2 } \\ { 2 ( x - y ) = 3 x + y - 4 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=1$$

$$y=1$$

치환을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 분배 법칙을 사용하여 3에 x+y(을)를 곱합니다.

$$3x+3y=5x-y+2$$

양쪽 모두에서 5x을(를) 뺍니다.

$$3x+3y-5x=-y+2$$

3x과(와) -5x을(를) 결합하여 -2x(을)를 구합니다.

$$-2x+3y=-y+2$$

양쪽에 y을(를) 더합니다.

$$-2x+3y+y=2$$

3y과(와) y을(를) 결합하여 4y(을)를 구합니다.

$$-2x+4y=2$$

두 번째 수식을 검토합니다. 분배 법칙을 사용하여 2에 x-y(을)를 곱합니다.

$$2x-2y=3x+y-4$$

양쪽 모두에서 3x을(를) 뺍니다.

$$2x-2y-3x=y-4$$

2x과(와) -3x을(를) 결합하여 -x(을)를 구합니다.

$$-x-2y=y-4$$

양쪽 모두에서 y을(를) 뺍니다.

$$-x-2y-y=-4$$

-2y과(와) -y을(를) 결합하여 -3y(을)를 구합니다.

$$-x-3y=-4$$

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$-2x+4y=2,-x-3y=-4$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$-2x+4y=2$$

수식의 양쪽에서 4y을(를) 뺍니다.

$$-2x=-4y+2$$

양쪽을 -2(으)로 나눕니다.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-4y+2\right)$$

-\frac{1}{2}에 -4y+2을(를) 곱합니다.

$$x=2y-1$$

다른 수식 -x-3y=-4에서 2y-1을(를) x(으)로 치환합니다.

$$-\left(2y-1\right)-3y=-4$$

-1에 2y-1을(를) 곱합니다.

$$-2y+1-3y=-4$$

-2y을(를) -3y에 추가합니다.

$$-5y+1=-4$$

수식의 양쪽에서 1을(를) 뺍니다.

$$-5y=-5$$

양쪽을 -5(으)로 나눕니다.

$$y=1$$

x=2y-1에서 y을(를) 1(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=2-1$$

-1을(를) 2에 추가합니다.

$$x=1$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=1,y=1$$

행렬을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 분배 법칙을 사용하여 3에 x+y(을)를 곱합니다.

$$3x+3y=5x-y+2$$

양쪽 모두에서 5x을(를) 뺍니다.

$$3x+3y-5x=-y+2$$

3x과(와) -5x을(를) 결합하여 -2x(을)를 구합니다.

$$-2x+3y=-y+2$$

양쪽에 y을(를) 더합니다.

$$-2x+3y+y=2$$

3y과(와) y을(를) 결합하여 4y(을)를 구합니다.

$$-2x+4y=2$$

두 번째 수식을 검토합니다. 분배 법칙을 사용하여 2에 x-y(을)를 곱합니다.

$$2x-2y=3x+y-4$$

양쪽 모두에서 3x을(를) 뺍니다.

$$2x-2y-3x=y-4$$

2x과(와) -3x을(를) 결합하여 -x(을)를 구합니다.

$$-x-2y=y-4$$

양쪽 모두에서 y을(를) 뺍니다.

$$-x-2y-y=-4$$

-2y과(와) -y을(를) 결합하여 -3y(을)를 구합니다.

$$-x-3y=-4$$

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$-2x+4y=2,-x-3y=-4$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}-2&4\\-1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-2&4\\-1&-3\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&4\\-1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&4\\-1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&4\\-1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&4\\-1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&4\\-1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-2\left(-3\right)-4\left(-1\right)}&-\frac{4}{-2\left(-3\right)-4\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{-2\left(-3\right)-4\left(-1\right)}&-\frac{2}{-2\left(-3\right)-4\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{10}&-\frac{2}{5}\\\frac{1}{10}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{10}\times 2-\frac{2}{5}\left(-4\right)\\\frac{1}{10}\times 2-\frac{1}{5}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=1,y=1$$

소거를 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 분배 법칙을 사용하여 3에 x+y(을)를 곱합니다.

$$3x+3y=5x-y+2$$

양쪽 모두에서 5x을(를) 뺍니다.

$$3x+3y-5x=-y+2$$

3x과(와) -5x을(를) 결합하여 -2x(을)를 구합니다.

$$-2x+3y=-y+2$$

양쪽에 y을(를) 더합니다.

$$-2x+3y+y=2$$

3y과(와) y을(를) 결합하여 4y(을)를 구합니다.

$$-2x+4y=2$$

두 번째 수식을 검토합니다. 분배 법칙을 사용하여 2에 x-y(을)를 곱합니다.

$$2x-2y=3x+y-4$$

양쪽 모두에서 3x을(를) 뺍니다.

$$2x-2y-3x=y-4$$

2x과(와) -3x을(를) 결합하여 -x(을)를 구합니다.

$$-x-2y=y-4$$

양쪽 모두에서 y을(를) 뺍니다.

$$-x-2y-y=-4$$

-2y과(와) -y을(를) 결합하여 -3y(을)를 구합니다.

$$-x-3y=-4$$

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$-2x+4y=2,-x-3y=-4$$

-2x 및 -x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 -1을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 -2을(를) 곱합니다.

$$-\left(-2\right)x-4y=-2,-2\left(-1\right)x-2\left(-3\right)y=-2\left(-4\right)$$

단순화합니다.

$$2x-4y=-2,2x+6y=8$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 2x-4y=-2에서 2x+6y=8을(를) 뺍니다.

$$2x-2x-4y-6y=-2-8$$

2x을(를) -2x에 추가합니다. 2x 및 -2x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$-4y-6y=-2-8$$

-4y을(를) -6y에 추가합니다.

$$-10y=-2-8$$

-2을(를) -8에 추가합니다.

$$-10y=-10$$

양쪽을 -10(으)로 나눕니다.

$$y=1$$

-x-3y=-4에서 y을(를) 1(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$-x-3=-4$$

수식의 양쪽에 3을(를) 더합니다.

$$-x=-1$$

양쪽을 -1(으)로 나눕니다.

$$x=1$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=1,y=1$$