다음을 풀어보세요: {l}{200x+300y=360}{300x+200y=340}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 200 x + 300 y = 360 } \\ { 300 x + 200 y = 340 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=\frac{3}{5}=0.6$$

$$y=\frac{4}{5}=0.8$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$200x+300y=360,300x+200y=340$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$200x+300y=360$$

수식의 양쪽에서 300y을(를) 뺍니다.

$$200x=-300y+360$$

양쪽을 200(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{200}\left(-300y+360\right)$$

\frac{1}{200}에 -300y+360을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{9}{5}$$

다른 수식 300x+200y=340에서 -\frac{3y}{2}+\frac{9}{5}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$300\left(-\frac{3}{2}y+\frac{9}{5}\right)+200y=340$$

300에 -\frac{3y}{2}+\frac{9}{5}을(를) 곱합니다.

$$-450y+540+200y=340$$

-450y을(를) 200y에 추가합니다.

$$-250y+540=340$$

수식의 양쪽에서 540을(를) 뺍니다.

$$-250y=-200$$

양쪽을 -250(으)로 나눕니다.

$$y=\frac{4}{5}$$

x=-\frac{3}{2}y+\frac{9}{5}에서 y을(를) \frac{4}{5}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\frac{3}{2}\times \frac{4}{5}+\frac{9}{5}$$

분자는 분자끼리 분모는 분모끼리 곱하여 -\frac{3}{2}에 \frac{4}{5}을(를) 곱합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=\frac{-6+9}{5}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{9}{5}을(를) -\frac{6}{5}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=\frac{3}{5}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{3}{5},y=\frac{4}{5}$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$200x+300y=360,300x+200y=340$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}200&300\\300&200\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}360\\340\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}200&300\\300&200\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}200&300\\300&200\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}200&300\\300&200\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}200&300\\300&200\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}360\\340\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}200&300\\300&200\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}360\\340\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}200&300\\300&200\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}360\\340\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{200}{200\times 200-300\times 300}&-\frac{300}{200\times 200-300\times 300}\\-\frac{300}{200\times 200-300\times 300}&\frac{200}{200\times 200-300\times 300}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}360\\340\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{250}&\frac{3}{500}\\\frac{3}{500}&-\frac{1}{250}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}360\\340\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{250}\times 360+\frac{3}{500}\times 340\\\frac{3}{500}\times 360-\frac{1}{250}\times 340\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}\\\frac{4}{5}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=\frac{3}{5},y=\frac{4}{5}$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$200x+300y=360,300x+200y=340$$

200x 및 300x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 300을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 200을(를) 곱합니다.

$$300\times 200x+300\times 300y=300\times 360,200\times 300x+200\times 200y=200\times 340$$

단순화합니다.

$$60000x+90000y=108000,60000x+40000y=68000$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 60000x+90000y=108000에서 60000x+40000y=68000을(를) 뺍니다.

$$60000x-60000x+90000y-40000y=108000-68000$$

60000x을(를) -60000x에 추가합니다. 60000x 및 -60000x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$90000y-40000y=108000-68000$$

90000y을(를) -40000y에 추가합니다.

$$50000y=108000-68000$$

108000을(를) -68000에 추가합니다.

$$50000y=40000$$

양쪽을 50000(으)로 나눕니다.

$$y=\frac{4}{5}$$

300x+200y=340에서 y을(를) \frac{4}{5}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$300x+200\times \frac{4}{5}=340$$

200에 \frac{4}{5}을(를) 곱합니다.

$$300x+160=340$$

수식의 양쪽에서 160을(를) 뺍니다.

$$300x=180$$

양쪽을 300(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{3}{5}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{3}{5},y=\frac{4}{5}$$