다음을 풀어보세요: {l}{2.5x+3y=1}{-2.5x+2y=4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2.5 x + 3 y = 1 } \\ { - 2.5 x + 2 y = 4 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=-0.8$$

$$y=1$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$2.5x+3y=1,-2.5x+2y=4$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$2.5x+3y=1$$

수식의 양쪽에서 3y을(를) 뺍니다.

$$2.5x=-3y+1$$

수식의 양쪽을 2.5(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$x=0.4\left(-3y+1\right)$$

0.4에 -3y+1을(를) 곱합니다.

$$x=-1.2y+0.4$$

다른 수식 -2.5x+2y=4에서 \frac{-6y+2}{5}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$-2.5\left(-1.2y+0.4\right)+2y=4$$

-2.5에 \frac{-6y+2}{5}을(를) 곱합니다.

$$3y-1+2y=4$$

3y을(를) 2y에 추가합니다.

$$5y-1=4$$

수식의 양쪽에 1을(를) 더합니다.

$$5y=5$$

양쪽을 5(으)로 나눕니다.

$$y=1$$

x=-1.2y+0.4에서 y을(를) 1(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=\frac{-6+2}{5}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 0.4을(를) -1.2에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=-0.8$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-0.8,y=1$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$2.5x+3y=1,-2.5x+2y=4$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}2.5&3\\-2.5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2.5&3\\-2.5&2\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2.5&3\\-2.5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2.5&3\\-2.5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2.5&3\\-2.5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2.5&3\\-2.5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2.5&3\\-2.5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2.5\times 2-3\left(-2.5\right)}&-\frac{3}{2.5\times 2-3\left(-2.5\right)}\\-\frac{-2.5}{2.5\times 2-3\left(-2.5\right)}&\frac{2.5}{2.5\times 2-3\left(-2.5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0.16&-0.24\\0.2&0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0.16-0.24\times 4\\0.2+0.2\times 4\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-0.8\\1\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=-0.8,y=1$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$2.5x+3y=1,-2.5x+2y=4$$

\frac{5x}{2} 및 -\frac{5x}{2}을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 -2.5을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 2.5을(를) 곱합니다.

$$-2.5\times 2.5x-2.5\times 3y=-2.5,2.5\left(-2.5\right)x+2.5\times 2y=2.5\times 4$$

단순화합니다.

$$-6.25x-7.5y=-2.5,-6.25x+5y=10$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 -6.25x-7.5y=-2.5에서 -6.25x+5y=10을(를) 뺍니다.

$$-6.25x+6.25x-7.5y-5y=-2.5-10$$

-\frac{25x}{4}을(를) \frac{25x}{4}에 추가합니다. -\frac{25x}{4} 및 \frac{25x}{4}이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$-7.5y-5y=-2.5-10$$

-\frac{15y}{2}을(를) -5y에 추가합니다.

$$-12.5y=-2.5-10$$

-2.5을(를) -10에 추가합니다.

$$-12.5y=-12.5$$

수식의 양쪽을 -12.5(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=1$$

-2.5x+2y=4에서 y을(를) 1(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$-2.5x+2=4$$

수식의 양쪽에서 2을(를) 뺍니다.

$$-2.5x=2$$

수식의 양쪽을 -2.5(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$x=-0.8$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-0.8,y=1$$