다음을 풀어보세요: {l}{2x-y=5}{4x+6y=24}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - y = 5 } \\ { 4 x + 6 y = 24 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x = \frac{27}{8} = 3\frac{3}{8} = 3.375$$

$$y = \frac{7}{4} = 1\frac{3}{4} = 1.75$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$2x-y=5,4x+6y=24$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$2x-y=5$$

수식의 양쪽에 y을(를) 더합니다.

$$2x=y+5$$

양쪽을 2(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{2}\left(y+5\right)$$

\frac{1}{2}에 y+5을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}$$

다른 수식 4x+6y=24에서 \frac{5+y}{2}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$4\left(\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}\right)+6y=24$$

4에 \frac{5+y}{2}을(를) 곱합니다.

$$2y+10+6y=24$$

2y을(를) 6y에 추가합니다.

$$8y+10=24$$

수식의 양쪽에서 10을(를) 뺍니다.

$$8y=14$$

양쪽을 8(으)로 나눕니다.

$$y=\frac{7}{4}$$

x=\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}에서 y을(를) \frac{7}{4}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=\frac{1}{2}\times \frac{7}{4}+\frac{5}{2}$$

분자는 분자끼리 분모는 분모끼리 곱하여 \frac{1}{2}에 \frac{7}{4}을(를) 곱합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=\frac{7}{8}+\frac{5}{2}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{5}{2}을(를) \frac{7}{8}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=\frac{27}{8}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{27}{8},y=\frac{7}{4}$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$2x-y=5,4x+6y=24$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\4&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\24\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&-1\\4&6\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\4&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\24\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\24\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\24\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{2\times 6-\left(-4\right)}&-\frac{-1}{2\times 6-\left(-4\right)}\\-\frac{4}{2\times 6-\left(-4\right)}&\frac{2}{2\times 6-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\24\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8}&\frac{1}{16}\\-\frac{1}{4}&\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\24\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8}\times 5+\frac{1}{16}\times 24\\-\frac{1}{4}\times 5+\frac{1}{8}\times 24\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{27}{8}\\\frac{7}{4}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=\frac{27}{8},y=\frac{7}{4}$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$2x-y=5,4x+6y=24$$

2x 및 4x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 4을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 2을(를) 곱합니다.

$$4\times 2x+4\left(-1\right)y=4\times 5,2\times 4x+2\times 6y=2\times 24$$

단순화합니다.

$$8x-4y=20,8x+12y=48$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 8x-4y=20에서 8x+12y=48을(를) 뺍니다.

$$8x-8x-4y-12y=20-48$$

8x을(를) -8x에 추가합니다. 8x 및 -8x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$-4y-12y=20-48$$

-4y을(를) -12y에 추가합니다.

$$-16y=20-48$$

20을(를) -48에 추가합니다.

$$-16y=-28$$

양쪽을 -16(으)로 나눕니다.

$$y=\frac{7}{4}$$

4x+6y=24에서 y을(를) \frac{7}{4}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$4x+6\times \frac{7}{4}=24$$

6에 \frac{7}{4}을(를) 곱합니다.

$$4x+\frac{21}{2}=24$$

수식의 양쪽에서 \frac{21}{2}을(를) 뺍니다.

$$4x=\frac{27}{2}$$

양쪽을 4(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{27}{8}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{27}{8},y=\frac{7}{4}$$