다음을 풀어보세요: {l}{2x+y=180}{x+2y=105}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + y = 180 } \\ { x + 2 y = 105 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=85$$

$$y=10$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$2x+y=180,x+2y=105$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$2x+y=180$$

수식의 양쪽에서 y을(를) 뺍니다.

$$2x=-y+180$$

양쪽을 2(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+180\right)$$

\frac{1}{2}에 -y+180을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{1}{2}y+90$$

다른 수식 x+2y=105에서 -\frac{y}{2}+90을(를) x(으)로 치환합니다.

$$-\frac{1}{2}y+90+2y=105$$

-\frac{y}{2}을(를) 2y에 추가합니다.

$$\frac{3}{2}y+90=105$$

수식의 양쪽에서 90을(를) 뺍니다.

$$\frac{3}{2}y=15$$

수식의 양쪽을 \frac{3}{2}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=10$$

x=-\frac{1}{2}y+90에서 y을(를) 10(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\frac{1}{2}\times 10+90$$

-\frac{1}{2}에 10을(를) 곱합니다.

$$x=-5+90$$

90을(를) -5에 추가합니다.

$$x=85$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=85,y=10$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$2x+y=180,x+2y=105$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}180\\105\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&1\\1&2\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}180\\105\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}180\\105\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}180\\105\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-1}&-\frac{1}{2\times 2-1}\\-\frac{1}{2\times 2-1}&\frac{2}{2\times 2-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}180\\105\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}\\-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}180\\105\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\times 180-\frac{1}{3}\times 105\\-\frac{1}{3}\times 180+\frac{2}{3}\times 105\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}85\\10\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=85,y=10$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$2x+y=180,x+2y=105$$

2x 및 x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 1을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 2을(를) 곱합니다.

$$2x+y=180,2x+2\times 2y=2\times 105$$

단순화합니다.

$$2x+y=180,2x+4y=210$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 2x+y=180에서 2x+4y=210을(를) 뺍니다.

$$2x-2x+y-4y=180-210$$

2x을(를) -2x에 추가합니다. 2x 및 -2x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$y-4y=180-210$$

y을(를) -4y에 추가합니다.

$$-3y=180-210$$

180을(를) -210에 추가합니다.

$$-3y=-30$$

양쪽을 -3(으)로 나눕니다.

$$y=10$$

x+2y=105에서 y을(를) 10(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x+2\times 10=105$$

2에 10을(를) 곱합니다.

$$x+20=105$$

수식의 양쪽에서 20을(를) 뺍니다.

$$x=85$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=85,y=10$$