다음을 풀어보세요: {l}{2p+3x=10}{p-x+2=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 p + 3 x = 10 } \\ { p - x + 2 = 0 } \end{array} \right.$$

p, x에 대한 해

$$x = \frac{14}{5} = 2\frac{4}{5} = 2.8$$

$$p=\frac{4}{5}=0.8$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$2p+3x=10,p-x+2=0$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 p을(를) 고립시켜 p에 대한 해를 찾습니다.

$$2p+3x=10$$

수식의 양쪽에서 3x을(를) 뺍니다.

$$2p=-3x+10$$

양쪽을 2(으)로 나눕니다.

$$p=\frac{1}{2}\left(-3x+10\right)$$

\frac{1}{2}에 -3x+10을(를) 곱합니다.

$$p=-\frac{3}{2}x+5$$

다른 수식 p-x+2=0에서 -\frac{3x}{2}+5을(를) p(으)로 치환합니다.

$$-\frac{3}{2}x+5-x+2=0$$

-\frac{3x}{2}을(를) -x에 추가합니다.

$$-\frac{5}{2}x+5+2=0$$

5을(를) 2에 추가합니다.

$$-\frac{5}{2}x+7=0$$

수식의 양쪽에서 7을(를) 뺍니다.

$$-\frac{5}{2}x=-7$$

수식의 양쪽을 -\frac{5}{2}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$x=\frac{14}{5}$$

p=-\frac{3}{2}x+5에서 x을(를) \frac{14}{5}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 p에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$p=-\frac{3}{2}\times \frac{14}{5}+5$$

분자는 분자끼리 분모는 분모끼리 곱하여 -\frac{3}{2}에 \frac{14}{5}을(를) 곱합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$p=-\frac{21}{5}+5$$

5을(를) -\frac{21}{5}에 추가합니다.

$$p=\frac{4}{5}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$p=\frac{4}{5},x=\frac{14}{5}$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$2p+3x=10,p-x+2=0$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&3\\1&-1\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-2\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-2\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}p\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}p\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-3}&-\frac{3}{2\left(-1\right)-3}\\-\frac{1}{2\left(-1\right)-3}&\frac{2}{2\left(-1\right)-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-2\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}p\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{3}{5}\\\frac{1}{5}&-\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-2\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}p\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 10+\frac{3}{5}\left(-2\right)\\\frac{1}{5}\times 10-\frac{2}{5}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}p\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5}\\\frac{14}{5}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 p 및 x을(를) 추출합니다.

$$p=\frac{4}{5},x=\frac{14}{5}$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$2p+3x=10,p-x+2=0$$

2p 및 p을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 1을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 2을(를) 곱합니다.

$$2p+3x=10,2p+2\left(-1\right)x+2\times 2=0$$

단순화합니다.

$$2p+3x=10,2p-2x+4=0$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 2p+3x=10에서 2p-2x+4=0을(를) 뺍니다.

$$2p-2p+3x+2x-4=10$$

2p을(를) -2p에 추가합니다. 2p 및 -2p이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$3x+2x-4=10$$

3x을(를) 2x에 추가합니다.

$$5x-4=10$$

수식의 양쪽에 4을(를) 더합니다.

$$5x=14$$

양쪽을 5(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{14}{5}$$

p-x+2=0에서 x을(를) \frac{14}{5}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 p에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$p-\frac{14}{5}+2=0$$

-\frac{14}{5}을(를) 2에 추가합니다.

$$p-\frac{4}{5}=0$$

수식의 양쪽에 \frac{4}{5}을(를) 더합니다.

$$p=\frac{4}{5}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$p=\frac{4}{5},x=\frac{14}{5}$$