다음을 풀어보세요: {l}{2a=3b-1}{2a+b=3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 a = 3 b - 1 } \\ { 2 a + b = 3 } \end{array} \right.$$

a, b에 대한 해

$$a=1$$

$$b=1$$

치환을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 3b을(를) 뺍니다.

$$2a-3b=-1$$

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$2a-3b=-1,2a+b=3$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 a을(를) 고립시켜 a에 대한 해를 찾습니다.

$$2a-3b=-1$$

수식의 양쪽에 3b을(를) 더합니다.

$$2a=3b-1$$

양쪽을 2(으)로 나눕니다.

$$a=\frac{1}{2}\left(3b-1\right)$$

\frac{1}{2}에 3b-1을(를) 곱합니다.

$$a=\frac{3}{2}b-\frac{1}{2}$$

다른 수식 2a+b=3에서 \frac{3b-1}{2}을(를) a(으)로 치환합니다.

$$2\left(\frac{3}{2}b-\frac{1}{2}\right)+b=3$$

2에 \frac{3b-1}{2}을(를) 곱합니다.

$$3b-1+b=3$$

3b을(를) b에 추가합니다.

$$4b-1=3$$

수식의 양쪽에 1을(를) 더합니다.

$$4b=4$$

양쪽을 4(으)로 나눕니다.

$$b=1$$

a=\frac{3}{2}b-\frac{1}{2}에서 b을(를) 1(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 a에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$a=\frac{3-1}{2}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 -\frac{1}{2}을(를) \frac{3}{2}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$a=1$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$a=1,b=1$$

행렬을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 3b을(를) 뺍니다.

$$2a-3b=-1$$

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$2a-3b=-1,2a+b=3$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&-3\\2&1\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-3\times 2\right)}&-\frac{-3}{2-\left(-3\times 2\right)}\\-\frac{2}{2-\left(-3\times 2\right)}&\frac{2}{2-\left(-3\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&\frac{3}{8}\\-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\left(-1\right)+\frac{3}{8}\times 3\\-\frac{1}{4}\left(-1\right)+\frac{1}{4}\times 3\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 a 및 b을(를) 추출합니다.

$$a=1,b=1$$

소거를 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 3b을(를) 뺍니다.

$$2a-3b=-1$$

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$2a-3b=-1,2a+b=3$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 2a-3b=-1에서 2a+b=3을(를) 뺍니다.

$$2a-2a-3b-b=-1-3$$

2a을(를) -2a에 추가합니다. 2a 및 -2a이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$-3b-b=-1-3$$

-3b을(를) -b에 추가합니다.

$$-4b=-1-3$$

-1을(를) -3에 추가합니다.

$$-4b=-4$$

양쪽을 -4(으)로 나눕니다.

$$b=1$$

2a+b=3에서 b을(를) 1(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 a에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$2a+1=3$$

수식의 양쪽에서 1을(를) 뺍니다.

$$2a=2$$

양쪽을 2(으)로 나눕니다.

$$a=1$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$a=1,b=1$$