다음을 풀어보세요: {l}{2(x+y)-3(x-y)=4}{5(x+y)-7(x-y)=2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 ( x + y ) - 3 ( x - y ) = 4 } \\ { 5 ( x + y ) - 7 ( x - y ) = 2 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=-19$$

$$y=-3$$

치환을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 분배 법칙을 사용하여 2에 x+y(을)를 곱합니다.

$$2x+2y-3\left(x-y\right)=4$$

분배 법칙을 사용하여 -3에 x-y(을)를 곱합니다.

$$2x+2y-3x+3y=4$$

2x과(와) -3x을(를) 결합하여 -x(을)를 구합니다.

$$-x+2y+3y=4$$

2y과(와) 3y을(를) 결합하여 5y(을)를 구합니다.

$$-x+5y=4$$

두 번째 수식을 검토합니다. 분배 법칙을 사용하여 5에 x+y(을)를 곱합니다.

$$5x+5y-7\left(x-y\right)=2$$

분배 법칙을 사용하여 -7에 x-y(을)를 곱합니다.

$$5x+5y-7x+7y=2$$

5x과(와) -7x을(를) 결합하여 -2x(을)를 구합니다.

$$-2x+5y+7y=2$$

5y과(와) 7y을(를) 결합하여 12y(을)를 구합니다.

$$-2x+12y=2$$

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$-x+5y=4,-2x+12y=2$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$-x+5y=4$$

수식의 양쪽에서 5y을(를) 뺍니다.

$$-x=-5y+4$$

양쪽을 -1(으)로 나눕니다.

$$x=-\left(-5y+4\right)$$

-1에 -5y+4을(를) 곱합니다.

$$x=5y-4$$

다른 수식 -2x+12y=2에서 5y-4을(를) x(으)로 치환합니다.

$$-2\left(5y-4\right)+12y=2$$

-2에 5y-4을(를) 곱합니다.

$$-10y+8+12y=2$$

-10y을(를) 12y에 추가합니다.

$$2y+8=2$$

수식의 양쪽에서 8을(를) 뺍니다.

$$2y=-6$$

양쪽을 2(으)로 나눕니다.

$$y=-3$$

x=5y-4에서 y을(를) -3(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=5\left(-3\right)-4$$

5에 -3을(를) 곱합니다.

$$x=-15-4$$

-4을(를) -15에 추가합니다.

$$x=-19$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-19,y=-3$$

행렬을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 분배 법칙을 사용하여 2에 x+y(을)를 곱합니다.

$$2x+2y-3\left(x-y\right)=4$$

분배 법칙을 사용하여 -3에 x-y(을)를 곱합니다.

$$2x+2y-3x+3y=4$$

2x과(와) -3x을(를) 결합하여 -x(을)를 구합니다.

$$-x+2y+3y=4$$

2y과(와) 3y을(를) 결합하여 5y(을)를 구합니다.

$$-x+5y=4$$

두 번째 수식을 검토합니다. 분배 법칙을 사용하여 5에 x+y(을)를 곱합니다.

$$5x+5y-7\left(x-y\right)=2$$

분배 법칙을 사용하여 -7에 x-y(을)를 곱합니다.

$$5x+5y-7x+7y=2$$

5x과(와) -7x을(를) 결합하여 -2x(을)를 구합니다.

$$-2x+5y+7y=2$$

5y과(와) 7y을(를) 결합하여 12y(을)를 구합니다.

$$-2x+12y=2$$

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$-x+5y=4,-2x+12y=2$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&12\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{-12-5\left(-2\right)}&-\frac{5}{-12-5\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{-12-5\left(-2\right)}&-\frac{1}{-12-5\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6&\frac{5}{2}\\-1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\times 4+\frac{5}{2}\times 2\\-4+\frac{1}{2}\times 2\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-19\\-3\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=-19,y=-3$$

소거를 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 분배 법칙을 사용하여 2에 x+y(을)를 곱합니다.

$$2x+2y-3\left(x-y\right)=4$$

분배 법칙을 사용하여 -3에 x-y(을)를 곱합니다.

$$2x+2y-3x+3y=4$$

2x과(와) -3x을(를) 결합하여 -x(을)를 구합니다.

$$-x+2y+3y=4$$

2y과(와) 3y을(를) 결합하여 5y(을)를 구합니다.

$$-x+5y=4$$

두 번째 수식을 검토합니다. 분배 법칙을 사용하여 5에 x+y(을)를 곱합니다.

$$5x+5y-7\left(x-y\right)=2$$

분배 법칙을 사용하여 -7에 x-y(을)를 곱합니다.

$$5x+5y-7x+7y=2$$

5x과(와) -7x을(를) 결합하여 -2x(을)를 구합니다.

$$-2x+5y+7y=2$$

5y과(와) 7y을(를) 결합하여 12y(을)를 구합니다.

$$-2x+12y=2$$

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$-x+5y=4,-2x+12y=2$$

-x 및 -2x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 -2을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 -1을(를) 곱합니다.

$$-2\left(-1\right)x-2\times 5y=-2\times 4,-\left(-2\right)x-12y=-2$$

단순화합니다.

$$2x-10y=-8,2x-12y=-2$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 2x-10y=-8에서 2x-12y=-2을(를) 뺍니다.

$$2x-2x-10y+12y=-8+2$$

2x을(를) -2x에 추가합니다. 2x 및 -2x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$-10y+12y=-8+2$$

-10y을(를) 12y에 추가합니다.

$$2y=-8+2$$

-8을(를) 2에 추가합니다.

$$2y=-6$$

양쪽을 2(으)로 나눕니다.

$$y=-3$$

-2x+12y=2에서 y을(를) -3(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$-2x+12\left(-3\right)=2$$

12에 -3을(를) 곱합니다.

$$-2x-36=2$$

수식의 양쪽에 36을(를) 더합니다.

$$-2x=38$$

양쪽을 -2(으)로 나눕니다.

$$x=-19$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-19,y=-3$$