다음을 풀어보세요: {l}{150y+200x=1000}{100y+400x=1200}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 150 y + 200 x = 1000 } \\ { 100 y + 400 x = 1200 } \end{array} \right.$$

y, x에 대한 해

$$x=2$$

$$y=4$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$150y+200x=1000,100y+400x=1200$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 y을(를) 고립시켜 y에 대한 해를 찾습니다.

$$150y+200x=1000$$

수식의 양쪽에서 200x을(를) 뺍니다.

$$150y=-200x+1000$$

양쪽을 150(으)로 나눕니다.

$$y=\frac{1}{150}\left(-200x+1000\right)$$

\frac{1}{150}에 -200x+1000을(를) 곱합니다.

$$y=-\frac{4}{3}x+\frac{20}{3}$$

다른 수식 100y+400x=1200에서 \frac{-4x+20}{3}을(를) y(으)로 치환합니다.

$$100\left(-\frac{4}{3}x+\frac{20}{3}\right)+400x=1200$$

100에 \frac{-4x+20}{3}을(를) 곱합니다.

$$-\frac{400}{3}x+\frac{2000}{3}+400x=1200$$

-\frac{400x}{3}을(를) 400x에 추가합니다.

$$\frac{800}{3}x+\frac{2000}{3}=1200$$

수식의 양쪽에서 \frac{2000}{3}을(를) 뺍니다.

$$\frac{800}{3}x=\frac{1600}{3}$$

수식의 양쪽을 \frac{800}{3}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$x=2$$

y=-\frac{4}{3}x+\frac{20}{3}에서 x을(를) 2(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 y에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$y=-\frac{4}{3}\times 2+\frac{20}{3}$$

-\frac{4}{3}에 2을(를) 곱합니다.

$$y=\frac{-8+20}{3}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{20}{3}을(를) -\frac{8}{3}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$y=4$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$y=4,x=2$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$150y+200x=1000,100y+400x=1200$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}150&200\\100&400\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1000\\1200\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}150&200\\100&400\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}150&200\\100&400\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}150&200\\100&400\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}150&200\\100&400\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1000\\1200\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}150&200\\100&400\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1000\\1200\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}150&200\\100&400\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1000\\1200\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{400}{150\times 400-200\times 100}&-\frac{200}{150\times 400-200\times 100}\\-\frac{100}{150\times 400-200\times 100}&\frac{150}{150\times 400-200\times 100}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1000\\1200\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{100}&-\frac{1}{200}\\-\frac{1}{400}&\frac{3}{800}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1000\\1200\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{100}\times 1000-\frac{1}{200}\times 1200\\-\frac{1}{400}\times 1000+\frac{3}{800}\times 1200\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 y 및 x을(를) 추출합니다.

$$y=4,x=2$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$150y+200x=1000,100y+400x=1200$$

150y 및 100y을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 100을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 150을(를) 곱합니다.

$$100\times 150y+100\times 200x=100\times 1000,150\times 100y+150\times 400x=150\times 1200$$

단순화합니다.

$$15000y+20000x=100000,15000y+60000x=180000$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 15000y+20000x=100000에서 15000y+60000x=180000을(를) 뺍니다.

$$15000y-15000y+20000x-60000x=100000-180000$$

15000y을(를) -15000y에 추가합니다. 15000y 및 -15000y이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$20000x-60000x=100000-180000$$

20000x을(를) -60000x에 추가합니다.

$$-40000x=100000-180000$$

100000을(를) -180000에 추가합니다.

$$-40000x=-80000$$

양쪽을 -40000(으)로 나눕니다.

$$x=2$$

100y+400x=1200에서 x을(를) 2(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 y에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$100y+400\times 2=1200$$

400에 2을(를) 곱합니다.

$$100y+800=1200$$

수식의 양쪽에서 800을(를) 뺍니다.

$$100y=400$$

양쪽을 100(으)로 나눕니다.

$$y=4$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$y=4,x=2$$