다음을 풀어보세요: {l}{15x+12y=1950}{7x+16y=1950}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 15 x + 12 y = 1950 } \\ { 7 x + 16 y = 1950 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=50$$

$$y=100$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$15x+12y=1950,7x+16y=1950$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$15x+12y=1950$$

수식의 양쪽에서 12y을(를) 뺍니다.

$$15x=-12y+1950$$

양쪽을 15(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{15}\left(-12y+1950\right)$$

\frac{1}{15}에 -12y+1950을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{4}{5}y+130$$

다른 수식 7x+16y=1950에서 -\frac{4y}{5}+130을(를) x(으)로 치환합니다.

$$7\left(-\frac{4}{5}y+130\right)+16y=1950$$

7에 -\frac{4y}{5}+130을(를) 곱합니다.

$$-\frac{28}{5}y+910+16y=1950$$

-\frac{28y}{5}을(를) 16y에 추가합니다.

$$\frac{52}{5}y+910=1950$$

수식의 양쪽에서 910을(를) 뺍니다.

$$\frac{52}{5}y=1040$$

수식의 양쪽을 \frac{52}{5}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=100$$

x=-\frac{4}{5}y+130에서 y을(를) 100(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\frac{4}{5}\times 100+130$$

-\frac{4}{5}에 100을(를) 곱합니다.

$$x=-80+130$$

130을(를) -80에 추가합니다.

$$x=50$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=50,y=100$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$15x+12y=1950,7x+16y=1950$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}15&12\\7&16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1950\\1950\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}15&12\\7&16\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}15&12\\7&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15&12\\7&16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&12\\7&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1950\\1950\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&12\\7&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1950\\1950\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&12\\7&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1950\\1950\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{15\times 16-12\times 7}&-\frac{12}{15\times 16-12\times 7}\\-\frac{7}{15\times 16-12\times 7}&\frac{15}{15\times 16-12\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1950\\1950\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{39}&-\frac{1}{13}\\-\frac{7}{156}&\frac{5}{52}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1950\\1950\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{39}\times 1950-\frac{1}{13}\times 1950\\-\frac{7}{156}\times 1950+\frac{5}{52}\times 1950\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}50\\100\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=50,y=100$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$15x+12y=1950,7x+16y=1950$$

15x 및 7x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 7을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 15을(를) 곱합니다.

$$7\times 15x+7\times 12y=7\times 1950,15\times 7x+15\times 16y=15\times 1950$$

단순화합니다.

$$105x+84y=13650,105x+240y=29250$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 105x+84y=13650에서 105x+240y=29250을(를) 뺍니다.

$$105x-105x+84y-240y=13650-29250$$

105x을(를) -105x에 추가합니다. 105x 및 -105x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$84y-240y=13650-29250$$

84y을(를) -240y에 추가합니다.

$$-156y=13650-29250$$

13650을(를) -29250에 추가합니다.

$$-156y=-15600$$

양쪽을 -156(으)로 나눕니다.

$$y=100$$

7x+16y=1950에서 y을(를) 100(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$7x+16\times 100=1950$$

16에 100을(를) 곱합니다.

$$7x+1600=1950$$

수식의 양쪽에서 1600을(를) 뺍니다.

$$7x=350$$

양쪽을 7(으)로 나눕니다.

$$x=50$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=50,y=100$$