다음을 풀어보세요: {l}{-2a-b+8=0}{-2b+a+1=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - 2 a - b + 8 = 0 } \\ { - 2 b + a + 1 = 0 } \end{array} \right.$$

a, b에 대한 해

$$a=3$$

$$b=2$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$-2a-b+8=0,a-2b+1=0$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 a을(를) 고립시켜 a에 대한 해를 찾습니다.

$$-2a-b+8=0$$

수식의 양쪽에서 8을(를) 뺍니다.

$$-2a-b=-8$$

수식의 양쪽에 b을(를) 더합니다.

$$-2a=b-8$$

양쪽을 -2(으)로 나눕니다.

$$a=-\frac{1}{2}\left(b-8\right)$$

-\frac{1}{2}에 b-8을(를) 곱합니다.

$$a=-\frac{1}{2}b+4$$

다른 수식 a-2b+1=0에서 -\frac{b}{2}+4을(를) a(으)로 치환합니다.

$$-\frac{1}{2}b+4-2b+1=0$$

-\frac{b}{2}을(를) -2b에 추가합니다.

$$-\frac{5}{2}b+4+1=0$$

4을(를) 1에 추가합니다.

$$-\frac{5}{2}b+5=0$$

수식의 양쪽에서 5을(를) 뺍니다.

$$-\frac{5}{2}b=-5$$

수식의 양쪽을 -\frac{5}{2}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$b=2$$

a=-\frac{1}{2}b+4에서 b을(를) 2(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 a에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$a=-\frac{1}{2}\times 2+4$$

-\frac{1}{2}에 2을(를) 곱합니다.

$$a=-1+4$$

4을(를) -1에 추가합니다.

$$a=3$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$a=3,b=2$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$-2a-b+8=0,a-2b+1=0$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&-2\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2\left(-2\right)-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{-2\left(-2\right)-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{-2\left(-2\right)-\left(-1\right)}&-\frac{2}{-2\left(-2\right)-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\\-\frac{1}{5}&-\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}\left(-8\right)+\frac{1}{5}\left(-1\right)\\-\frac{1}{5}\left(-8\right)-\frac{2}{5}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 a 및 b을(를) 추출합니다.

$$a=3,b=2$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$-2a-b+8=0,a-2b+1=0$$

-2a 및 a을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 1을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 -2을(를) 곱합니다.

$$-2a-b+8=0,-2a-2\left(-2\right)b-2=0$$

단순화합니다.

$$-2a-b+8=0,-2a+4b-2=0$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 -2a-b+8=0에서 -2a+4b-2=0을(를) 뺍니다.

$$-2a+2a-b-4b+8+2=0$$

-2a을(를) 2a에 추가합니다. -2a 및 2a이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$-b-4b+8+2=0$$

-b을(를) -4b에 추가합니다.

$$-5b+8+2=0$$

8을(를) 2에 추가합니다.

$$-5b+10=0$$

수식의 양쪽에서 10을(를) 뺍니다.

$$-5b=-10$$

양쪽을 -5(으)로 나눕니다.

$$b=2$$

a-2b+1=0에서 b을(를) 2(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 a에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$a-2\times 2+1=0$$

-2에 2을(를) 곱합니다.

$$a-4+1=0$$

-4을(를) 1에 추가합니다.

$$a-3=0$$

수식의 양쪽에 3을(를) 더합니다.

$$a=3$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$a=3,b=2$$