다음을 풀어보세요: {l}{x/3-y/2=4}{x+y/12=2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x } { 3 } - \frac { y } { 2 } = 4 } \\ { x + \frac { y } { 12 } = 2 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x = \frac{48}{19} = 2\frac{10}{19} \approx 2.526315789$$

$$y = -\frac{120}{19} = -6\frac{6}{19} \approx -6.315789474$$

치환을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 수식의 양쪽을 3,2의 최소 공통 배수인 6(으)로 곱합니다.

$$2x-3y=24$$

두 번째 수식을 검토합니다. 수식의 양쪽 모두에 12을(를) 곱합니다.

$$12x+y=24$$

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$2x-3y=24,12x+y=24$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$2x-3y=24$$

수식의 양쪽에 3y을(를) 더합니다.

$$2x=3y+24$$

양쪽을 2(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+24\right)$$

\frac{1}{2}에 24+3y을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{3}{2}y+12$$

다른 수식 12x+y=24에서 \frac{3y}{2}+12을(를) x(으)로 치환합니다.

$$12\left(\frac{3}{2}y+12\right)+y=24$$

12에 \frac{3y}{2}+12을(를) 곱합니다.

$$18y+144+y=24$$

18y을(를) y에 추가합니다.

$$19y+144=24$$

수식의 양쪽에서 144을(를) 뺍니다.

$$19y=-120$$

양쪽을 19(으)로 나눕니다.

$$y=-\frac{120}{19}$$

x=\frac{3}{2}y+12에서 y을(를) -\frac{120}{19}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=\frac{3}{2}\left(-\frac{120}{19}\right)+12$$

분자는 분자끼리 분모는 분모끼리 곱하여 \frac{3}{2}에 -\frac{120}{19}을(를) 곱합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=-\frac{180}{19}+12$$

12을(를) -\frac{180}{19}에 추가합니다.

$$x=\frac{48}{19}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{48}{19},y=-\frac{120}{19}$$

행렬을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 수식의 양쪽을 3,2의 최소 공통 배수인 6(으)로 곱합니다.

$$2x-3y=24$$

두 번째 수식을 검토합니다. 수식의 양쪽 모두에 12을(를) 곱합니다.

$$12x+y=24$$

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$2x-3y=24,12x+y=24$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\12&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\24\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&-3\\12&1\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\12&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\12&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\12&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\24\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\12&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\24\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\12&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\24\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-3\times 12\right)}&-\frac{-3}{2-\left(-3\times 12\right)}\\-\frac{12}{2-\left(-3\times 12\right)}&\frac{2}{2-\left(-3\times 12\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\24\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{38}&\frac{3}{38}\\-\frac{6}{19}&\frac{1}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\24\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{38}\times 24+\frac{3}{38}\times 24\\-\frac{6}{19}\times 24+\frac{1}{19}\times 24\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{48}{19}\\-\frac{120}{19}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=\frac{48}{19},y=-\frac{120}{19}$$

소거를 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 수식의 양쪽을 3,2의 최소 공통 배수인 6(으)로 곱합니다.

$$2x-3y=24$$

두 번째 수식을 검토합니다. 수식의 양쪽 모두에 12을(를) 곱합니다.

$$12x+y=24$$

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$2x-3y=24,12x+y=24$$

2x 및 12x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 12을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 2을(를) 곱합니다.

$$12\times 2x+12\left(-3\right)y=12\times 24,2\times 12x+2y=2\times 24$$

단순화합니다.

$$24x-36y=288,24x+2y=48$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 24x-36y=288에서 24x+2y=48을(를) 뺍니다.

$$24x-24x-36y-2y=288-48$$

24x을(를) -24x에 추가합니다. 24x 및 -24x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$-36y-2y=288-48$$

-36y을(를) -2y에 추가합니다.

$$-38y=288-48$$

288을(를) -48에 추가합니다.

$$-38y=240$$

양쪽을 -38(으)로 나눕니다.

$$y=-\frac{120}{19}$$

12x+y=24에서 y을(를) -\frac{120}{19}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$12x-\frac{120}{19}=24$$

수식의 양쪽에 \frac{120}{19}을(를) 더합니다.

$$12x=\frac{576}{19}$$

양쪽을 12(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{48}{19}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{48}{19},y=-\frac{120}{19}$$