다음을 풀어보세요: {l}{x/2-y+1/3=1}{3x+2y=4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x } { 2 } - \frac { y + 1 } { 3 } = 1 } \\ { 3 x + 2 y = 4 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=2$$

$$y=-1$$

치환을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 수식의 양쪽을 2,3의 최소 공통 배수인 6(으)로 곱합니다.

$$3x-2\left(y+1\right)=6$$

분배 법칙을 사용하여 -2에 y+1(을)를 곱합니다.

$$3x-2y-2=6$$

양쪽에 2을(를) 더합니다.

$$3x-2y=6+2$$

6과(와) 2을(를) 더하여 8을(를) 구합니다.

$$3x-2y=8$$

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$3x-2y=8,3x+2y=4$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$3x-2y=8$$

수식의 양쪽에 2y을(를) 더합니다.

$$3x=2y+8$$

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{3}\left(2y+8\right)$$

\frac{1}{3}에 8+2y을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{2}{3}y+\frac{8}{3}$$

다른 수식 3x+2y=4에서 \frac{8+2y}{3}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$3\left(\frac{2}{3}y+\frac{8}{3}\right)+2y=4$$

3에 \frac{8+2y}{3}을(를) 곱합니다.

$$2y+8+2y=4$$

2y을(를) 2y에 추가합니다.

$$4y+8=4$$

수식의 양쪽에서 8을(를) 뺍니다.

$$4y=-4$$

양쪽을 4(으)로 나눕니다.

$$y=-1$$

x=\frac{2}{3}y+\frac{8}{3}에서 y을(를) -1(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=\frac{2}{3}\left(-1\right)+\frac{8}{3}$$

\frac{2}{3}에 -1을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-2+8}{3}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{8}{3}을(를) -\frac{2}{3}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=2$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=2,y=-1$$

행렬을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 수식의 양쪽을 2,3의 최소 공통 배수인 6(으)로 곱합니다.

$$3x-2\left(y+1\right)=6$$

분배 법칙을 사용하여 -2에 y+1(을)를 곱합니다.

$$3x-2y-2=6$$

양쪽에 2을(를) 더합니다.

$$3x-2y=6+2$$

6과(와) 2을(를) 더하여 8을(를) 구합니다.

$$3x-2y=8$$

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$3x-2y=8,3x+2y=4$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\4\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&-2\\3&2\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\4\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\4\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{3\times 2-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{3\times 2-\left(-2\times 3\right)}&\frac{3}{3\times 2-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\4\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\\-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\4\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 8+\frac{1}{6}\times 4\\-\frac{1}{4}\times 8+\frac{1}{4}\times 4\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-1\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=2,y=-1$$

소거를 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 수식의 양쪽을 2,3의 최소 공통 배수인 6(으)로 곱합니다.

$$3x-2\left(y+1\right)=6$$

분배 법칙을 사용하여 -2에 y+1(을)를 곱합니다.

$$3x-2y-2=6$$

양쪽에 2을(를) 더합니다.

$$3x-2y=6+2$$

6과(와) 2을(를) 더하여 8을(를) 구합니다.

$$3x-2y=8$$

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$3x-2y=8,3x+2y=4$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 3x-2y=8에서 3x+2y=4을(를) 뺍니다.

$$3x-3x-2y-2y=8-4$$

3x을(를) -3x에 추가합니다. 3x 및 -3x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$-2y-2y=8-4$$

-2y을(를) -2y에 추가합니다.

$$-4y=8-4$$

8을(를) -4에 추가합니다.

$$-4y=4$$

양쪽을 -4(으)로 나눕니다.

$$y=-1$$

3x+2y=4에서 y을(를) -1(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$3x+2\left(-1\right)=4$$

2에 -1을(를) 곱합니다.

$$3x-2=4$$

수식의 양쪽에 2을(를) 더합니다.

$$3x=6$$

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$x=2$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=2,y=-1$$