다음을 풀어보세요: {l}{x^2/4+y^2/2=1}{x=my+1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x ^ { 2 } } { 4 } + \frac { y ^ { 2 } } { 2 } = 1 } \\ { x = m y + 1 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=\frac{\sqrt{2}\left(-m\sqrt{2m^{2}+3}+\sqrt{2}\right)}{m^{2}+2}\text{, }y=-\frac{\sqrt{2\left(2m^{2}+3\right)}+m}{m^{2}+2}$$

$$x=\frac{\sqrt{2}\left(m\sqrt{2m^{2}+3}+\sqrt{2}\right)}{m^{2}+2}\text{, }y=\frac{\sqrt{2\left(2m^{2}+3\right)}-m}{m^{2}+2}$$

대입 및 근의 공식을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 수식의 양쪽을 4,2의 최소 공통 배수인 4(으)로 곱합니다.

$$x^{2}+2y^{2}=4$$

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 my을(를) 뺍니다.

$$x-my=1$$

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$x+\left(-m\right)y=1,2y^{2}+x^{2}=4$$

등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대해 x+\left(-m\right)y=1을(를) 풉니다.

$$x+\left(-m\right)y=1$$

수식의 양쪽에서 \left(-m\right)y을(를) 뺍니다.

$$x=my+1$$

다른 수식 2y^{2}+x^{2}=4에서 my+1을(를) x(으)로 치환합니다.

$$2y^{2}+\left(my+1\right)^{2}=4$$

my+1을(를) 제곱합니다.

$$2y^{2}+m^{2}y^{2}+2my+1=4$$

2y^{2}을(를) m^{2}y^{2}에 추가합니다.

$$\left(m^{2}+2\right)y^{2}+2my+1=4$$

수식의 양쪽에서 4을(를) 뺍니다.

$$\left(m^{2}+2\right)y^{2}+2my-3=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 2+1m^{2}을(를) a로, 1\times 1\times 2m을(를) b로, -3을(를) c로 치환합니다.

$$y=\frac{-2m±\sqrt{\left(2m\right)^{2}-4\left(m^{2}+2\right)\left(-3\right)}}{2\left(m^{2}+2\right)}$$

1\times 1\times 2m을(를) 제곱합니다.

$$y=\frac{-2m±\sqrt{4m^{2}-4\left(m^{2}+2\right)\left(-3\right)}}{2\left(m^{2}+2\right)}$$

-4에 2+1m^{2}을(를) 곱합니다.

$$y=\frac{-2m±\sqrt{4m^{2}+\left(-4m^{2}-8\right)\left(-3\right)}}{2\left(m^{2}+2\right)}$$

-8-4m^{2}에 -3을(를) 곱합니다.

$$y=\frac{-2m±\sqrt{4m^{2}+12m^{2}+24}}{2\left(m^{2}+2\right)}$$

4m^{2}을(를) 24+12m^{2}에 추가합니다.

$$y=\frac{-2m±\sqrt{16m^{2}+24}}{2\left(m^{2}+2\right)}$$

24+16m^{2}의 제곱근을 구합니다.

$$y=\frac{-2m±2\sqrt{4m^{2}+6}}{2\left(m^{2}+2\right)}$$

2에 2+1m^{2}을(를) 곱합니다.

$$y=\frac{-2m±2\sqrt{4m^{2}+6}}{2m^{2}+4}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 y=\frac{-2m±2\sqrt{4m^{2}+6}}{2m^{2}+4}을(를) 풉니다. -2m을(를) 2\sqrt{6+4m^{2}}에 추가합니다.

$$y=\frac{2\sqrt{4m^{2}+6}-2m}{2m^{2}+4}$$

-2m+2\sqrt{6+4m^{2}}을(를) 4+2m^{2}(으)로 나눕니다.

$$y=\frac{\sqrt{4m^{2}+6}-m}{m^{2}+2}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 y=\frac{-2m±2\sqrt{4m^{2}+6}}{2m^{2}+4}을(를) 풉니다. -2m에서 2\sqrt{6+4m^{2}}을(를) 뺍니다.

$$y=\frac{-2\sqrt{4m^{2}+6}-2m}{2m^{2}+4}$$

-2m-2\sqrt{6+4m^{2}}을(를) 4+2m^{2}(으)로 나눕니다.

$$y=-\frac{\sqrt{4m^{2}+6}+m}{m^{2}+2}$$

y: \frac{-m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}} 및 -\frac{m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}}에 대해 두 개의 해답이 있습니다. 방정식 x=my+1에서 \frac{-m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}}을(를) y(으)로 치환해서 두 수식을 모두 만족하는 x에 대한 해당 해답을 찾습니다.

$$x=m\times \frac{\sqrt{4m^{2}+6}-m}{m^{2}+2}+1$$

m에 \frac{-m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}}을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{\sqrt{4m^{2}+6}-m}{m^{2}+2}m+1$$

m\times \frac{-m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}}을(를) 1에 추가합니다.

$$x=1+\frac{\sqrt{4m^{2}+6}-m}{m^{2}+2}m$$

수식 x=my+1에서 -\frac{m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}}을(를) y(으)로 치환하고 해답을 찾아서 두 수식을 모두 충족하는 x에 대한 해당 해답을 찾습니다.

$$x=m\left(-\frac{\sqrt{4m^{2}+6}+m}{m^{2}+2}\right)+1$$

m에 -\frac{m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}}을(를) 곱합니다.

$$x=\left(-\frac{\sqrt{4m^{2}+6}+m}{m^{2}+2}\right)m+1$$

m\left(-\frac{m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}}\right)을(를) 1에 추가합니다.

$$x=1+\left(-\frac{\sqrt{4m^{2}+6}+m}{m^{2}+2}\right)m$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=1+\frac{\sqrt{4m^{2}+6}-m}{m^{2}+2}m,y=\frac{\sqrt{4m^{2}+6}-m}{m^{2}+2}\text{ or }x=1+\left(-\frac{\sqrt{4m^{2}+6}+m}{m^{2}+2}\right)m,y=-\frac{\sqrt{4m^{2}+6}+m}{m^{2}+2}$$

x, y에 대한 해 (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}x=\frac{\sqrt{2}\left(-m\sqrt{2m^{2}+3}+\sqrt{2}\right)}{m^{2}+2}\text{, }y=-\frac{\sqrt{2\left(2m^{2}+3\right)}+m}{m^{2}+2}\text{; }x=\frac{\sqrt{2}\left(m\sqrt{2m^{2}+3}+\sqrt{2}\right)}{m^{2}+2}\text{, }y=\frac{\sqrt{2\left(2m^{2}+3\right)}-m}{m^{2}+2}\text{, }&m\neq -\sqrt{2}i\text{ and }m\neq \sqrt{2}i\\x=\frac{5}{2}=2.5\text{, }y=\frac{3}{2m}\text{, }&m=-\sqrt{2}i\text{ or }m=\sqrt{2}i\end{matrix}\right.$$