다음을 풀어보세요: {l}{3/4x+y=-2}{4/5y+x=2-x/2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 3 } { 4 } x + y = - 2 } \\ { \frac { 4 } { 5 } y + x = 2 - \frac { x } { 2 } } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=4$$

$$y=-5$$

치환을 사용한 단계

두 번째 수식을 검토합니다. 수식의 양쪽을 5,2의 최소 공통 배수인 10(으)로 곱합니다.

$$8y+10x=20-5x$$

양쪽에 5x을(를) 더합니다.

$$8y+10x+5x=20$$

10x과(와) 5x을(를) 결합하여 15x(을)를 구합니다.

$$8y+15x=20$$

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$\frac{3}{4}x+y=-2,15x+8y=20$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$\frac{3}{4}x+y=-2$$

수식의 양쪽에서 y을(를) 뺍니다.

$$\frac{3}{4}x=-y-2$$

수식의 양쪽을 \frac{3}{4}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$x=\frac{4}{3}\left(-y-2\right)$$

\frac{4}{3}에 -y-2을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{4}{3}y-\frac{8}{3}$$

다른 수식 15x+8y=20에서 \frac{-4y-8}{3}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$15\left(-\frac{4}{3}y-\frac{8}{3}\right)+8y=20$$

15에 \frac{-4y-8}{3}을(를) 곱합니다.

$$-20y-40+8y=20$$

-20y을(를) 8y에 추가합니다.

$$-12y-40=20$$

수식의 양쪽에 40을(를) 더합니다.

$$-12y=60$$

양쪽을 -12(으)로 나눕니다.

$$y=-5$$

x=-\frac{4}{3}y-\frac{8}{3}에서 y을(를) -5(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\frac{4}{3}\left(-5\right)-\frac{8}{3}$$

-\frac{4}{3}에 -5을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{20-8}{3}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 -\frac{8}{3}을(를) \frac{20}{3}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=4$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=4,y=-5$$

행렬을 사용한 단계

두 번째 수식을 검토합니다. 수식의 양쪽을 5,2의 최소 공통 배수인 10(으)로 곱합니다.

$$8y+10x=20-5x$$

양쪽에 5x을(를) 더합니다.

$$8y+10x+5x=20$$

10x과(와) 5x을(를) 결합하여 15x(을)를 구합니다.

$$8y+15x=20$$

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$\frac{3}{4}x+y=-2,15x+8y=20$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&1\\15&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\20\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&1\\15&8\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&1\\15&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&1\\15&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&1\\15&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\20\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&1\\15&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\20\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&1\\15&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\20\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{\frac{3}{4}\times 8-15}&-\frac{1}{\frac{3}{4}\times 8-15}\\-\frac{15}{\frac{3}{4}\times 8-15}&\frac{\frac{3}{4}}{\frac{3}{4}\times 8-15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\20\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{9}&\frac{1}{9}\\\frac{5}{3}&-\frac{1}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\20\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{9}\left(-2\right)+\frac{1}{9}\times 20\\\frac{5}{3}\left(-2\right)-\frac{1}{12}\times 20\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-5\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=4,y=-5$$

소거를 사용한 단계

두 번째 수식을 검토합니다. 수식의 양쪽을 5,2의 최소 공통 배수인 10(으)로 곱합니다.

$$8y+10x=20-5x$$

양쪽에 5x을(를) 더합니다.

$$8y+10x+5x=20$$

10x과(와) 5x을(를) 결합하여 15x(을)를 구합니다.

$$8y+15x=20$$

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$\frac{3}{4}x+y=-2,15x+8y=20$$

\frac{3x}{4} 및 15x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 15을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 \frac{3}{4}을(를) 곱합니다.

$$15\times \frac{3}{4}x+15y=15\left(-2\right),\frac{3}{4}\times 15x+\frac{3}{4}\times 8y=\frac{3}{4}\times 20$$

단순화합니다.

$$\frac{45}{4}x+15y=-30,\frac{45}{4}x+6y=15$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 \frac{45}{4}x+15y=-30에서 \frac{45}{4}x+6y=15을(를) 뺍니다.

$$\frac{45}{4}x-\frac{45}{4}x+15y-6y=-30-15$$

\frac{45x}{4}을(를) -\frac{45x}{4}에 추가합니다. \frac{45x}{4} 및 -\frac{45x}{4}이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$15y-6y=-30-15$$

15y을(를) -6y에 추가합니다.

$$9y=-30-15$$

-30을(를) -15에 추가합니다.

$$9y=-45$$

양쪽을 9(으)로 나눕니다.

$$y=-5$$

15x+8y=20에서 y을(를) -5(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$15x+8\left(-5\right)=20$$

8에 -5을(를) 곱합니다.

$$15x-40=20$$

수식의 양쪽에 40을(를) 더합니다.

$$15x=60$$

양쪽을 15(으)로 나눕니다.

$$x=4$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=4,y=-5$$