다음을 풀어보세요: ∫ (from 0 to 1) of x^2(1-x)^3 wrt x

$$\int _ { 0 } ^ { 1 } x ^ { 2 } ( 1 - x ) ^ { 3 } d x$$

계산

$$\frac{1}{60}\approx 0.016666667$$

해답 단계

이항 정리 \left(a-b\right)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}을(를) \left(1-x\right)^{3}을(를) 확장합니다.

$$\int _{0}^{1}x^{2}\left(1-3x+3x^{2}-x^{3}\right)\mathrm{d}x$$

분배 법칙을 사용하여 x^{2}에 1-3x+3x^{2}-x^{3}(을)를 곱합니다.

$$\int _{0}^{1}x^{2}-3x^{3}+3x^{4}-x^{5}\mathrm{d}x$$

먼저 부정적분을 구합니다.

$$\int x^{2}-3x^{3}+3x^{4}-x^{5}\mathrm{d}x$$

항별로 총계를 적분합니다.

$$\int x^{2}\mathrm{d}x+\int -3x^{3}\mathrm{d}x+\int 3x^{4}\mathrm{d}x+\int -x^{5}\mathrm{d}x$$

각 항에서 상수를 인수 분해합니다.

$$\int x^{2}\mathrm{d}x-3\int x^{3}\mathrm{d}x+3\int x^{4}\mathrm{d}x-\int x^{5}\mathrm{d}x$$

k\neq -1에 대 한 \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} 이므로 \frac{x^{3}}{3}으로 \int x^{2}\mathrm{d}x를 바꾸십시오.

$$\frac{x^{3}}{3}-3\int x^{3}\mathrm{d}x+3\int x^{4}\mathrm{d}x-\int x^{5}\mathrm{d}x$$

k\neq -1에 대 한 \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} 이므로 \frac{x^{4}}{4}으로 \int x^{3}\mathrm{d}x를 바꾸십시오. -3에 \frac{x^{4}}{4}을(를) 곱합니다.

$$\frac{x^{3}}{3}-\frac{3x^{4}}{4}+3\int x^{4}\mathrm{d}x-\int x^{5}\mathrm{d}x$$

k\neq -1에 대 한 \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} 이므로 \frac{x^{5}}{5}으로 \int x^{4}\mathrm{d}x를 바꾸십시오. 3에 \frac{x^{5}}{5}을(를) 곱합니다.

$$\frac{x^{3}}{3}-\frac{3x^{4}}{4}+\frac{3x^{5}}{5}-\int x^{5}\mathrm{d}x$$

k\neq -1에 대 한 \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} 이므로 \frac{x^{6}}{6}으로 \int x^{5}\mathrm{d}x를 바꾸십시오. -1에 \frac{x^{6}}{6}을(를) 곱합니다.

$$\frac{x^{3}}{3}-\frac{3x^{4}}{4}+\frac{3x^{5}}{5}-\frac{x^{6}}{6}$$

단순화합니다.

$$-\frac{x^{6}}{6}+\frac{3x^{5}}{5}-\frac{3x^{4}}{4}+\frac{x^{3}}{3}$$

정적분은 적분의 상한에서 구해진 수식의 미분 계수에서 적분의 하한에서 계산된 미분 계수를 뺀 값입니다.

$$-\frac{1^{6}}{6}+\frac{3}{5}\times 1^{5}-\frac{3}{4}\times 1^{4}+\frac{1^{3}}{3}-\left(-\frac{0^{6}}{6}+\frac{3}{5}\times 0^{5}-\frac{3}{4}\times 0^{4}+\frac{0^{3}}{3}\right)$$

단순화합니다.

$$\frac{1}{60}$$