다음을 풀어보세요: frac{6(k^{2}+1)^{2}-(3k^2-1)^2}{(3k^2+1)^2}=5/4

$$\frac { 6 ( k ^ { 2 } + 1 ) ^ { 2 } - ( 3 k ^ { 2 } - 1 ) ^ { 2 } } { ( 3 k ^ { 2 } + 1 ) ^ { 2 } } = \frac { 5 } { 4 }$$

k에 대한 해

$$k=-1$$

$$k=1$$

근의 공식을 사용한 단계

수식의 양쪽을 \left(3k^{2}+1\right)^{2},4의 최소 공통 배수인 4\left(3k^{2}+1\right)^{2}(으)로 곱합니다.

$$4\left(6\left(k^{2}+1\right)^{2}-\left(3k^{2}-1\right)^{2}\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

이항 정리 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}을(를) \left(k^{2}+1\right)^{2}을(를) 확장합니다.

$$4\left(6\left(\left(k^{2}\right)^{2}+2k^{2}+1\right)-\left(3k^{2}-1\right)^{2}\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

다른 곱으로 제곱하려면 지수를 곱합니다. 2과(와) 2을(를) 곱하여 4을(를) 구합니다.

$$4\left(6\left(k^{4}+2k^{2}+1\right)-\left(3k^{2}-1\right)^{2}\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

분배 법칙을 사용하여 6에 k^{4}+2k^{2}+1(을)를 곱합니다.

$$4\left(6k^{4}+12k^{2}+6-\left(3k^{2}-1\right)^{2}\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

이항 정리 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}을(를) \left(3k^{2}-1\right)^{2}을(를) 확장합니다.

$$4\left(6k^{4}+12k^{2}+6-\left(9\left(k^{2}\right)^{2}-6k^{2}+1\right)\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

다른 곱으로 제곱하려면 지수를 곱합니다. 2과(와) 2을(를) 곱하여 4을(를) 구합니다.

$$4\left(6k^{4}+12k^{2}+6-\left(9k^{4}-6k^{2}+1\right)\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

9k^{4}-6k^{2}+1의 반대수를 찾으려면 각 항의 반대수를 찾으세요.

$$4\left(6k^{4}+12k^{2}+6-9k^{4}+6k^{2}-1\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

6k^{4}과(와) -9k^{4}을(를) 결합하여 -3k^{4}(을)를 구합니다.

$$4\left(-3k^{4}+12k^{2}+6+6k^{2}-1\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

12k^{2}과(와) 6k^{2}을(를) 결합하여 18k^{2}(을)를 구합니다.

$$4\left(-3k^{4}+18k^{2}+6-1\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

6에서 1을(를) 빼고 5을(를) 구합니다.

$$4\left(-3k^{4}+18k^{2}+5\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

분배 법칙을 사용하여 4에 -3k^{4}+18k^{2}+5(을)를 곱합니다.

$$-12k^{4}+72k^{2}+20=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

이항 정리 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}을(를) \left(3k^{2}+1\right)^{2}을(를) 확장합니다.

$$-12k^{4}+72k^{2}+20=5\left(9\left(k^{2}\right)^{2}+6k^{2}+1\right)$$

다른 곱으로 제곱하려면 지수를 곱합니다. 2과(와) 2을(를) 곱하여 4을(를) 구합니다.

$$-12k^{4}+72k^{2}+20=5\left(9k^{4}+6k^{2}+1\right)$$

분배 법칙을 사용하여 5에 9k^{4}+6k^{2}+1(을)를 곱합니다.

$$-12k^{4}+72k^{2}+20=45k^{4}+30k^{2}+5$$

양쪽 모두에서 45k^{4}을(를) 뺍니다.

$$-12k^{4}+72k^{2}+20-45k^{4}=30k^{2}+5$$

-12k^{4}과(와) -45k^{4}을(를) 결합하여 -57k^{4}(을)를 구합니다.

$$-57k^{4}+72k^{2}+20=30k^{2}+5$$

양쪽 모두에서 30k^{2}을(를) 뺍니다.

$$-57k^{4}+72k^{2}+20-30k^{2}=5$$

72k^{2}과(와) -30k^{2}을(를) 결합하여 42k^{2}(을)를 구합니다.

$$-57k^{4}+42k^{2}+20=5$$

양쪽 모두에서 5을(를) 뺍니다.

$$-57k^{4}+42k^{2}+20-5=0$$

20에서 5을(를) 빼고 15을(를) 구합니다.

$$-57k^{4}+42k^{2}+15=0$$

k^{2}에 대한 대체 t입니다.

$$-57t^{2}+42t+15=0$$

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}을(를) 사용하여 해를 찾을 수 있습니다. 근의 공식에서 a을(를) -57(으)로, b을(를) 42(으)로, c을(를) 15(으)로 대체합니다.

$$t=\frac{-42±\sqrt{42^{2}-4\left(-57\right)\times 15}}{-57\times 2}$$

계산을 합니다.

$$t=\frac{-42±72}{-114}$$

±이(가) 더하기일 때와 ±이(가) 빼기일 때 t=\frac{-42±72}{-114} 수식의 해를 찾습니다.

$$t=-\frac{5}{19} t=1$$

k=t^{2} 후에는 양수 t에 대한 k=±\sqrt{t}을(를) 평가하여 해답을 얻을 수 있습니다.

$$k=1 k=-1$$

k에 대한 해 (complex solution)

$$k=\frac{\sqrt{95}i}{19}\approx 0.512989176i$$

$$k=-\frac{\sqrt{95}i}{19}\approx -0-0.512989176i$$

$$k=-1$$

$$k=1$$