다음을 풀어보세요: 1/3x^2+6x=9

$$\frac { 1 } { 3 } x ^ { 2 } + 6 x = 9$$

x에 대한 해

$$x=6\sqrt{3}-9\approx 1.392304845$$

$$x=-6\sqrt{3}-9\approx -19.392304845$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$\frac{1}{3}x^{2}+6x=9$$

수식의 양쪽에서 9을(를) 뺍니다.

$$\frac{1}{3}x^{2}+6x-9=9-9$$

자신에서 9을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$\frac{1}{3}x^{2}+6x-9=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 \frac{1}{3}을(를) a로, 6을(를) b로, -9을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times \frac{1}{3}\left(-9\right)}}{2\times \frac{1}{3}}$$

6을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\times \frac{1}{3}\left(-9\right)}}{2\times \frac{1}{3}}$$

-4에 \frac{1}{3}을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-\frac{4}{3}\left(-9\right)}}{2\times \frac{1}{3}}$$

-\frac{4}{3}에 -9을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36+12}}{2\times \frac{1}{3}}$$

36을(를) 12에 추가합니다.

$$x=\frac{-6±\sqrt{48}}{2\times \frac{1}{3}}$$

48의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-6±4\sqrt{3}}{2\times \frac{1}{3}}$$

2에 \frac{1}{3}을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-6±4\sqrt{3}}{\frac{2}{3}}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{-6±4\sqrt{3}}{\frac{2}{3}}을(를) 풉니다. -6을(를) 4\sqrt{3}에 추가합니다.

$$x=\frac{4\sqrt{3}-6}{\frac{2}{3}}$$

-6+4\sqrt{3}에 \frac{2}{3}의 역수를 곱하여 -6+4\sqrt{3}을(를) \frac{2}{3}(으)로 나눕니다.

$$x=6\sqrt{3}-9$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{-6±4\sqrt{3}}{\frac{2}{3}}을(를) 풉니다. -6에서 4\sqrt{3}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{-4\sqrt{3}-6}{\frac{2}{3}}$$

-6-4\sqrt{3}에 \frac{2}{3}의 역수를 곱하여 -6-4\sqrt{3}을(를) \frac{2}{3}(으)로 나눕니다.

$$x=-6\sqrt{3}-9$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=6\sqrt{3}-9 x=-6\sqrt{3}-9$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$\frac{1}{3}x^{2}+6x=9$$

양쪽에 3을(를) 곱합니다.

$$\frac{\frac{1}{3}x^{2}+6x}{\frac{1}{3}}=\frac{9}{\frac{1}{3}}$$

\frac{1}{3}(으)로 나누면 \frac{1}{3}(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\frac{6}{\frac{1}{3}}x=\frac{9}{\frac{1}{3}}$$

6에 \frac{1}{3}의 역수를 곱하여 6을(를) \frac{1}{3}(으)로 나눕니다.

$$x^{2}+18x=\frac{9}{\frac{1}{3}}$$

9에 \frac{1}{3}의 역수를 곱하여 9을(를) \frac{1}{3}(으)로 나눕니다.

$$x^{2}+18x=27$$

x 항의 계수인 18을(를) 2(으)로 나눠서 9을(를) 구합니다. 그런 다음 9의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}+18x+9^{2}=27+9^{2}$$

9을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}+18x+81=27+81$$

27을(를) 81에 추가합니다.

$$x^{2}+18x+81=108$$

인수 x^{2}+18x+81. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x+9\right)^{2}=108$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x+9\right)^{2}}=\sqrt{108}$$

단순화합니다.

$$x+9=6\sqrt{3} x+9=-6\sqrt{3}$$

수식의 양쪽에서 9을(를) 뺍니다.

$$x=6\sqrt{3}-9 x=-6\sqrt{3}-9$$