(ax-by)+(a+4b)=0,2(bx+ay)+(b-4a)=0 ಪರಿಹರಿಸಿ

$$( a x - b y ) + ( a + 4 b ) = 0,2 ( b x + a y ) + ( b - 4 a ) = 0$$

x, y ಪರಿಹರಿಸಿ

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{2a^{2}+4ab+b^{2}}{2\left(a^{2}+b^{2}\right)}\text{, }y=\frac{4a^{2}+ab+8b^{2}}{2\left(a^{2}+b^{2}\right)}\text{, }&b\neq 0\text{ or }a\neq 0\\x\in \mathrm{R}\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&a=0\text{ and }b=0\end{matrix}\right.$$

ಪರ್ಯಾಯ ಬಳಸುವಿಕೆ ಕ್ರಮಗಳು

ಮೊದಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣ ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಿಂದ a ಕಳೆಯಿರಿ. ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಏನನ್ನಾದರೂ ಕಳೆದರೆ ಅದರ ಋಣಾತ್ಮಕವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ.

$$ax-by+4b=-a$$

ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಿಂದ 4b ಕಳೆಯಿರಿ.

$$ax-by=-a-4b$$

ಎರಡನೆಯ ಸಮೀಕರಣ ಪರಿಗಣಿಸಿ. bx+ay ದಿಂದ 2 ಗುಣಿಸಲು ವಿಭಾಜಕ ಗುಣವನ್ನು ಬಳಸಿ.

$$2bx+2ay+b-4a=0$$

ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಿಂದ b ಕಳೆಯಿರಿ. ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಏನನ್ನಾದರೂ ಕಳೆದರೆ ಅದರ ಋಣಾತ್ಮಕವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ.

$$2bx+2ay-4a=-b$$

ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಿಗೆ 4a ಸೇರಿಸಿ.

$$2bx+2ay=-b+4a$$

ಪರ್ಯಾಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಮೀಕರಣಗಳ ಜೋಡಿಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ಮೊದಲು ಚರಾಂಶಗಳ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಒಂದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ. ತದನಂತರ ಇತರ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಆ ಚರಾಂಶಕ್ಕೆ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಬದಲಿಸಿ.

$$ax+\left(-b\right)y=-a-4b,2bx+2ay=4a-b$$

ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಆರಿಸಿ ಹಾಗೂ ಸಮ ಚಿಹ್ನೆಯ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ x ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುವ ಮೂಲಕ x ಗಾಗಿ ಅದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ.

$$ax+\left(-b\right)y=-a-4b$$

ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಲ್ಲಿ by ಸೇರಿಸಿ.

$$ax=by-a-4b$$

a ದಿಂದ ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಲ್ಲಿ ಭಾಗಿಸಿ.

$$x=\frac{1}{a}\left(by-a-4b\right)$$

by-a-4b ಅನ್ನು \frac{1}{a} ಬಾರಿ ಗುಣಿಸಿ.

$$x=\frac{b}{a}y-\frac{4b}{a}-1$$

ಇತರ ಸಮೀಕರಣ 2bx+2ay=4a-b ನಲ್ಲಿ x ಗಾಗಿ \frac{-4b+by-a}{a} ಬದಲಿಸಿ.

$$2b\left(\frac{b}{a}y-\frac{4b}{a}-1\right)+2ay=4a-b$$

\frac{-4b+by-a}{a} ಅನ್ನು 2b ಬಾರಿ ಗುಣಿಸಿ.

$$\frac{2b^{2}}{a}y-\frac{8b^{2}}{a}-2b+2ay=4a-b$$

2ay ಗೆ \frac{2b^{2}y}{a} ಸೇರಿಸಿ.

$$\frac{2\left(a^{2}+b^{2}\right)}{a}y-\frac{8b^{2}}{a}-2b=4a-b$$

ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಿಂದ -\frac{8b^{2}}{a}-2b ಕಳೆಯಿರಿ.

$$\frac{2\left(a^{2}+b^{2}\right)}{a}y=\frac{8b^{2}}{a}+b+4a$$

\frac{2\left(a^{2}+b^{2}\right)}{a} ದಿಂದ ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಲ್ಲಿ ಭಾಗಿಸಿ.

$$y=\frac{4a^{2}+ab+8b^{2}}{2\left(a^{2}+b^{2}\right)}$$

x=\frac{b}{a}y-\frac{4b}{a}-1 ನಲ್ಲಿ y ಗಾಗಿ \frac{8b^{2}+ba+4a^{2}}{2\left(a^{2}+b^{2}\right)} ಬದಲಿಸಿ. ಏಕೆಂದರೆ ಫಲಿತಾಂಶ ಸಮೀಕರಣವು ಕೇವಲ ಒಂದು ಚರಾಂಶ ಹೊಂದಿದೆ, ನೀವು ನೇರವಾಗಿ x ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು.

$$x=\frac{b}{a}\times \frac{4a^{2}+ab+8b^{2}}{2\left(a^{2}+b^{2}\right)}-\frac{4b}{a}-1$$

\frac{8b^{2}+ba+4a^{2}}{2\left(a^{2}+b^{2}\right)} ಅನ್ನು \frac{b}{a} ಬಾರಿ ಗುಣಿಸಿ.

$$x=\frac{b\left(4a^{2}+ab+8b^{2}\right)}{2a\left(a^{2}+b^{2}\right)}-\frac{4b}{a}-1$$

\frac{b\left(8b^{2}+ba+4a^{2}\right)}{2a\left(a^{2}+b^{2}\right)} ಗೆ -1-\frac{4b}{a} ಸೇರಿಸಿ.

$$x=-\frac{2a^{2}+4ab+b^{2}}{2\left(a^{2}+b^{2}\right)}$$

ಸಿಸ್ಟಂ ಅನ್ನು ಇದೀಗ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗಿದೆ.

$$x=-\frac{2a^{2}+4ab+b^{2}}{2\left(a^{2}+b^{2}\right)},y=\frac{4a^{2}+ab+8b^{2}}{2\left(a^{2}+b^{2}\right)}$$

ಮಾತೃಕೆಗಳ ಬಳಸುವಿಕೆ ಕ್ರಮಗಳು

ಮೊದಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣ ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಿಂದ a ಕಳೆಯಿರಿ. ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಏನನ್ನಾದರೂ ಕಳೆದರೆ ಅದರ ಋಣಾತ್ಮಕವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ.

$$ax-by+4b=-a$$

ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಿಂದ 4b ಕಳೆಯಿರಿ.

$$ax-by=-a-4b$$

ಎರಡನೆಯ ಸಮೀಕರಣ ಪರಿಗಣಿಸಿ. bx+ay ದಿಂದ 2 ಗುಣಿಸಲು ವಿಭಾಜಕ ಗುಣವನ್ನು ಬಳಸಿ.

$$2bx+2ay+b-4a=0$$

ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಿಂದ b ಕಳೆಯಿರಿ. ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಏನನ್ನಾದರೂ ಕಳೆದರೆ ಅದರ ಋಣಾತ್ಮಕವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ.

$$2bx+2ay-4a=-b$$

ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಿಗೆ 4a ಸೇರಿಸಿ.

$$2bx+2ay=-b+4a$$

ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪ್ರಮಾಣಿತ ಫಾರ್ಮ್‌ನಲ್ಲಿ ಇರಿಸಿ ತದನಂತರ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಸೈಸ್ ಬಳಸಿ.

$$ax+\left(-b\right)y=-a-4b,2bx+2ay=4a-b$$

ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಮಾತೃಕೆ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ.

$$\left(\begin{matrix}a&-b\\2b&2a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-a-4b\\4a-b\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&-b\\2b&2a\end{matrix}\right) ನ ವಿಲೋಮ ಮಾತೃಕೆ ಮೂಲಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಎಡಕ್ಕೆ ಗುಣಾಕಾರ ಮಾಡಿ.

$$inverse(\left(\begin{matrix}a&-b\\2b&2a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a&-b\\2b&2a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&-b\\2b&2a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-a-4b\\4a-b\end{matrix}\right)$$

ಮಾತೃಕೆ ಮತ್ತು ಅದರ ವಿಲೋಮದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಗುರುತು ಮಾತೃಕೆ ಆಗಿದೆ.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&-b\\2b&2a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-a-4b\\4a-b\end{matrix}\right)$$

ಸಮಾನ ಚಿಹ್ನೆಯ ಎಡ ಬದಿಯಲ್ಲಿ ಮಾತೃಕೆಗಳನ್ನು ಗುಣಾಕಾರ ಮಾಡಿ.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&-b\\2b&2a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-a-4b\\4a-b\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) ಗೆ; ವಿಲೋಮ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ಆಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಗುಣಾಕಾರ ಸಮಸ್ಯೆಯೆಂದು ಮರುಬರೆಯಬಹುದು.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2a}{a\times 2a-\left(-b\right)\times 2b}&-\frac{-b}{a\times 2a-\left(-b\right)\times 2b}\\-\frac{2b}{a\times 2a-\left(-b\right)\times 2b}&\frac{a}{a\times 2a-\left(-b\right)\times 2b}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-a-4b\\4a-b\end{matrix}\right)$$

ಅಂಕಗಣಿತ ಮಾಡಿ.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{a^{2}+b^{2}}&\frac{b}{2\left(a^{2}+b^{2}\right)}\\-\frac{b}{a^{2}+b^{2}}&\frac{a}{2\left(a^{2}+b^{2}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-a-4b\\4a-b\end{matrix}\right)$$

ಮಾತೃಕೆಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಿ.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{a^{2}+b^{2}}\left(-a-4b\right)+\frac{b}{2\left(a^{2}+b^{2}\right)}\left(4a-b\right)\\\left(-\frac{b}{a^{2}+b^{2}}\right)\left(-a-4b\right)+\frac{a}{2\left(a^{2}+b^{2}\right)}\left(4a-b\right)\end{matrix}\right)$$

ಅಂಕಗಣಿತ ಮಾಡಿ.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2a^{2}+4ab+b^{2}}{2\left(a^{2}+b^{2}\right)}\\\frac{4a^{2}+ab+8b^{2}}{2\left(a^{2}+b^{2}\right)}\end{matrix}\right)$$

ಮಾತೃಕೆ ಅಂಶಗಳು x ಮತ್ತು y ಬೇರೆ ಮಾಡಿ.

$$x=-\frac{2a^{2}+4ab+b^{2}}{2\left(a^{2}+b^{2}\right)},y=\frac{4a^{2}+ab+8b^{2}}{2\left(a^{2}+b^{2}\right)}$$

ತೆಗೆದುಹಾಕುವಿಕೆ ಬಳಸುವಿಕೆ ಕ್ರಮಗಳು

ಮೊದಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣ ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಿಂದ a ಕಳೆಯಿರಿ. ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಏನನ್ನಾದರೂ ಕಳೆದರೆ ಅದರ ಋಣಾತ್ಮಕವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ.

$$ax-by+4b=-a$$

ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಿಂದ 4b ಕಳೆಯಿರಿ.

$$ax-by=-a-4b$$

ಎರಡನೆಯ ಸಮೀಕರಣ ಪರಿಗಣಿಸಿ. bx+ay ದಿಂದ 2 ಗುಣಿಸಲು ವಿಭಾಜಕ ಗುಣವನ್ನು ಬಳಸಿ.

$$2bx+2ay+b-4a=0$$

ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಿಂದ b ಕಳೆಯಿರಿ. ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಏನನ್ನಾದರೂ ಕಳೆದರೆ ಅದರ ಋಣಾತ್ಮಕವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ.

$$2bx+2ay-4a=-b$$

ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಿಗೆ 4a ಸೇರಿಸಿ.

$$2bx+2ay=-b+4a$$

ತೆಗೆದುಹಾಕುವಿಕೆ ಮೂಲಕ ಪರಿಹರಿಸಲು, ಚರಾಂಶಗಳಲ್ಲಿನ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಆಗಿರಬೇಕು ಈ ಮೂಲಕ ಇತರೆಯಿಂದ ಒಂದು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ವ್ಯವಕಲನ ಮಾಡಿದಾಗ ಚರಾಂಶವನ್ನು ರದ್ದುಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

$$ax+\left(-b\right)y=-a-4b,2bx+2ay=4a-b$$

ax ಮತ್ತು 2bx ಸಮವಾಗಿ ಮಾಡಲು, ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣದ ಪ್ರತಿ ಬದಿಯಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಪದಗಳನ್ನು 2b ಎರಡನೇ ಪ್ರತಿ ಬದಿಯಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಪದಗಳನ್ನು a ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ.

$$2bax+2b\left(-b\right)y=2b\left(-a-4b\right),a\times 2bx+a\times 2ay=a\left(4a-b\right)$$

ಸರಳೀಕೃತಗೊಳಿಸಿ.

$$2abx+\left(-2b^{2}\right)y=-2b\left(a+4b\right),2abx+2a^{2}y=a\left(4a-b\right)$$

ಸಮ ಚಿಹ್ನೆಯ ಪ್ರತಿ ಬದಿಯಲ್ಲಿ ಪದಗಳಂತಹವುಗಳನ್ನು ಕಳೆಯುವ ಮೂಲಕ 2abx+\left(-2b^{2}\right)y=-2b\left(a+4b\right) ದಿಂದ 2abx+2a^{2}y=a\left(4a-b\right) ಕಳೆಯಿರಿ.

$$2abx+\left(-2ab\right)x+\left(-2b^{2}\right)y+\left(-2a^{2}\right)y=-2b\left(a+4b\right)+ab-4a^{2}$$

-2bax ಗೆ 2bax ಸೇರಿಸಿ. ನಿಯಮಗಳು 2bax ಮತ್ತು -2bax ರದ್ದುಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ, ಈ ಮೂಲಕ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದಾಗ ಏಕೈಕ ಚರಾಂಶದ ಜೊತೆಗೆ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಉಳಿಸಿದೆ.

$$\left(-2b^{2}\right)y+\left(-2a^{2}\right)y=-2b\left(a+4b\right)+ab-4a^{2}$$

-2a^{2}y ಗೆ -2b^{2}y ಸೇರಿಸಿ.

$$\left(-2a^{2}-2b^{2}\right)y=-2b\left(a+4b\right)+ab-4a^{2}$$

ab-4a^{2} ಗೆ -2b\left(a+4b\right) ಸೇರಿಸಿ.

$$\left(-2a^{2}-2b^{2}\right)y=-4a^{2}-ab-8b^{2}$$

-2b^{2}-2a^{2} ದಿಂದ ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಲ್ಲಿ ಭಾಗಿಸಿ.

$$y=\frac{4a^{2}+ab+8b^{2}}{2\left(a^{2}+b^{2}\right)}$$

2bx+2ay=4a-b ನಲ್ಲಿ y ಗಾಗಿ \frac{8b^{2}+ab+4a^{2}}{2\left(b^{2}+a^{2}\right)} ಬದಲಿಸಿ. ಏಕೆಂದರೆ ಫಲಿತಾಂಶ ಸಮೀಕರಣವು ಕೇವಲ ಒಂದು ಚರಾಂಶ ಹೊಂದಿದೆ, ನೀವು ನೇರವಾಗಿ x ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು.

$$2bx+2a\times \frac{4a^{2}+ab+8b^{2}}{2\left(a^{2}+b^{2}\right)}=4a-b$$

\frac{8b^{2}+ab+4a^{2}}{2\left(b^{2}+a^{2}\right)} ಅನ್ನು 2a ಬಾರಿ ಗುಣಿಸಿ.

$$2bx+\frac{a\left(4a^{2}+ab+8b^{2}\right)}{a^{2}+b^{2}}=4a-b$$

ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಿಂದ \frac{a\left(8b^{2}+ab+4a^{2}\right)}{b^{2}+a^{2}} ಕಳೆಯಿರಿ.

$$2bx=-\frac{b\left(2a^{2}+4ab+b^{2}\right)}{a^{2}+b^{2}}$$

2b ದಿಂದ ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಲ್ಲಿ ಭಾಗಿಸಿ.

$$x=-\frac{2a^{2}+4ab+b^{2}}{2\left(a^{2}+b^{2}\right)}$$

ಸಿಸ್ಟಂ ಅನ್ನು ಇದೀಗ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗಿದೆ.

$$x=-\frac{2a^{2}+4ab+b^{2}}{2\left(a^{2}+b^{2}\right)},y=\frac{4a^{2}+ab+8b^{2}}{2\left(a^{2}+b^{2}\right)}$$