{l}{x-3y=11}{11y+4x=12} ಪರಿಹರಿಸಿ

$$\left. \begin{array} { l } { x - 3 y = 11 } \\ { 11 y + 4 x = 12 } \end{array} \right.$$

x, y ಪರಿಹರಿಸಿ

$$x = \frac{157}{23} = 6\frac{19}{23} \approx 6.826086957$$

$$y = -\frac{32}{23} = -1\frac{9}{23} \approx -1.391304348$$

ಪರ್ಯಾಯ ಬಳಸುವಿಕೆ ಕ್ರಮಗಳು

ಪರ್ಯಾಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಮೀಕರಣಗಳ ಜೋಡಿಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ಮೊದಲು ಚರಾಂಶಗಳ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಒಂದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ. ತದನಂತರ ಇತರ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಆ ಚರಾಂಶಕ್ಕೆ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಬದಲಿಸಿ.

$$x-3y=11,4x+11y=12$$

ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಆರಿಸಿ ಹಾಗೂ ಸಮ ಚಿಹ್ನೆಯ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ x ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುವ ಮೂಲಕ x ಗಾಗಿ ಅದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ.

$$x-3y=11$$

ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಲ್ಲಿ 3y ಸೇರಿಸಿ.

$$x=3y+11$$

ಇತರ ಸಮೀಕರಣ 4x+11y=12 ನಲ್ಲಿ x ಗಾಗಿ 3y+11 ಬದಲಿಸಿ.

$$4\left(3y+11\right)+11y=12$$

3y+11 ಅನ್ನು 4 ಬಾರಿ ಗುಣಿಸಿ.

$$12y+44+11y=12$$

11y ಗೆ 12y ಸೇರಿಸಿ.

$$23y+44=12$$

ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಿಂದ 44 ಕಳೆಯಿರಿ.

$$23y=-32$$

23 ದಿಂದ ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಲ್ಲಿ ಭಾಗಿಸಿ.

$$y=-\frac{32}{23}$$

x=3y+11 ನಲ್ಲಿ y ಗಾಗಿ -\frac{32}{23} ಬದಲಿಸಿ. ಏಕೆಂದರೆ ಫಲಿತಾಂಶ ಸಮೀಕರಣವು ಕೇವಲ ಒಂದು ಚರಾಂಶ ಹೊಂದಿದೆ, ನೀವು ನೇರವಾಗಿ x ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು.

$$x=3\left(-\frac{32}{23}\right)+11$$

-\frac{32}{23} ಅನ್ನು 3 ಬಾರಿ ಗುಣಿಸಿ.

$$x=-\frac{96}{23}+11$$

-\frac{96}{23} ಗೆ 11 ಸೇರಿಸಿ.

$$x=\frac{157}{23}$$

ಸಿಸ್ಟಂ ಅನ್ನು ಇದೀಗ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗಿದೆ.

$$x=\frac{157}{23},y=-\frac{32}{23}$$

ಮಾತೃಕೆಗಳ ಬಳಸುವಿಕೆ ಕ್ರಮಗಳು

ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪ್ರಮಾಣಿತ ಫಾರ್ಮ್‌ನಲ್ಲಿ ಇರಿಸಿ ತದನಂತರ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಸೈಸ್ ಬಳಸಿ.

$$x-3y=11,4x+11y=12$$

ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಮಾತೃಕೆ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\4&11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\12\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-3\\4&11\end{matrix}\right) ನ ವಿಲೋಮ ಮಾತೃಕೆ ಮೂಲಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಎಡಕ್ಕೆ ಗುಣಾಕಾರ ಮಾಡಿ.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\4&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\4&11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\4&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\12\end{matrix}\right)$$

ಮಾತೃಕೆ ಮತ್ತು ಅದರ ವಿಲೋಮದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಗುರುತು ಮಾತೃಕೆ ಆಗಿದೆ.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\4&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\12\end{matrix}\right)$$

ಸಮಾನ ಚಿಹ್ನೆಯ ಎಡ ಬದಿಯಲ್ಲಿ ಮಾತೃಕೆಗಳನ್ನು ಗುಣಾಕಾರ ಮಾಡಿ.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\4&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\12\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ಮಾತೃಕೆ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)ಗೆ, ವಿಲೋಮ ಮಾತೃಕೆಯು \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ಆಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಮಾತೃಕೆ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಮಾತೃಕೆ ಗುಣಾಕಾರ ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿ ಮರುಬರೆಯಬಹುದು.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{11-\left(-3\times 4\right)}&-\frac{-3}{11-\left(-3\times 4\right)}\\-\frac{4}{11-\left(-3\times 4\right)}&\frac{1}{11-\left(-3\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\12\end{matrix}\right)$$

ಅಂಕಗಣಿತ ಮಾಡಿ.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{23}&\frac{3}{23}\\-\frac{4}{23}&\frac{1}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\12\end{matrix}\right)$$

ಮಾತೃಕೆಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಿ.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{23}\times 11+\frac{3}{23}\times 12\\-\frac{4}{23}\times 11+\frac{1}{23}\times 12\end{matrix}\right)$$

ಅಂಕಗಣಿತ ಮಾಡಿ.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{157}{23}\\-\frac{32}{23}\end{matrix}\right)$$

ಮಾತೃಕೆ ಅಂಶಗಳು x ಮತ್ತು y ಬೇರೆ ಮಾಡಿ.

$$x=\frac{157}{23},y=-\frac{32}{23}$$

ತೆಗೆದುಹಾಕುವಿಕೆ ಬಳಸುವಿಕೆ ಕ್ರಮಗಳು

ತೆಗೆದುಹಾಕುವಿಕೆ ಮೂಲಕ ಪರಿಹರಿಸಲು, ಚರಾಂಶಗಳಲ್ಲಿನ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಆಗಿರಬೇಕು ಈ ಮೂಲಕ ಇತರೆಯಿಂದ ಒಂದು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ವ್ಯವಕಲನ ಮಾಡಿದಾಗ ಚರಾಂಶವನ್ನು ರದ್ದುಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

$$x-3y=11,4x+11y=12$$

x ಮತ್ತು 4x ಸಮವಾಗಿ ಮಾಡಲು, ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣದ ಪ್ರತಿ ಬದಿಯಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಪದಗಳನ್ನು 4 ಎರಡನೇ ಪ್ರತಿ ಬದಿಯಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಪದಗಳನ್ನು 1 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ.

$$4x+4\left(-3\right)y=4\times 11,4x+11y=12$$

ಸರಳೀಕೃತಗೊಳಿಸಿ.

$$4x-12y=44,4x+11y=12$$

ಸಮ ಚಿಹ್ನೆಯ ಪ್ರತಿ ಬದಿಯಲ್ಲಿ ಪದಗಳಂತಹವುಗಳನ್ನು ಕಳೆಯುವ ಮೂಲಕ 4x-12y=44 ದಿಂದ 4x+11y=12 ಕಳೆಯಿರಿ.

$$4x-4x-12y-11y=44-12$$

-4x ಗೆ 4x ಸೇರಿಸಿ. ನಿಯಮಗಳು 4x ಮತ್ತು -4x ರದ್ದುಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ, ಈ ಮೂಲಕ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದಾಗ ಏಕೈಕ ಚರಾಂಶದ ಜೊತೆಗೆ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಉಳಿಸಿದೆ.

$$-12y-11y=44-12$$

-11y ಗೆ -12y ಸೇರಿಸಿ.

$$-23y=44-12$$

-12 ಗೆ 44 ಸೇರಿಸಿ.

$$-23y=32$$

-23 ದಿಂದ ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಲ್ಲಿ ಭಾಗಿಸಿ.

$$y=-\frac{32}{23}$$

4x+11y=12 ನಲ್ಲಿ y ಗಾಗಿ -\frac{32}{23} ಬದಲಿಸಿ. ಏಕೆಂದರೆ ಫಲಿತಾಂಶ ಸಮೀಕರಣವು ಕೇವಲ ಒಂದು ಚರಾಂಶ ಹೊಂದಿದೆ, ನೀವು ನೇರವಾಗಿ x ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು.

$$4x+11\left(-\frac{32}{23}\right)=12$$

-\frac{32}{23} ಅನ್ನು 11 ಬಾರಿ ಗುಣಿಸಿ.

$$4x-\frac{352}{23}=12$$

ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಲ್ಲಿ \frac{352}{23} ಸೇರಿಸಿ.

$$4x=\frac{628}{23}$$

4 ದಿಂದ ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಲ್ಲಿ ಭಾಗಿಸಿ.

$$x=\frac{157}{23}$$

ಸಿಸ್ಟಂ ಅನ್ನು ಇದೀಗ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗಿದೆ.

$$x=\frac{157}{23},y=-\frac{32}{23}$$