{l}{8x-5y=10}{6x-4y=11} ಪರಿಹರಿಸಿ

$$\left. \begin{array} { l } { 8 x - 5 y = 10 } \\ { 6 x - 4 y = 11 } \end{array} \right.$$

x, y ಪರಿಹರಿಸಿ

$$x = -\frac{15}{2} = -7\frac{1}{2} = -7.5$$

$$y=-14$$

ಪರ್ಯಾಯ ಬಳಸುವಿಕೆ ಕ್ರಮಗಳು

ಪರ್ಯಾಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಮೀಕರಣಗಳ ಜೋಡಿಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ಮೊದಲು ಚರಾಂಶಗಳ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಒಂದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ. ತದನಂತರ ಇತರ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಆ ಚರಾಂಶಕ್ಕೆ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಬದಲಿಸಿ.

$$8x-5y=10,6x-4y=11$$

ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಆರಿಸಿ ಹಾಗೂ ಸಮ ಚಿಹ್ನೆಯ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ x ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುವ ಮೂಲಕ x ಗಾಗಿ ಅದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ.

$$8x-5y=10$$

ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಲ್ಲಿ 5y ಸೇರಿಸಿ.

$$8x=5y+10$$

8 ದಿಂದ ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಲ್ಲಿ ಭಾಗಿಸಿ.

$$x=\frac{1}{8}\left(5y+10\right)$$

10+5y ಅನ್ನು \frac{1}{8} ಬಾರಿ ಗುಣಿಸಿ.

$$x=\frac{5}{8}y+\frac{5}{4}$$

ಇತರ ಸಮೀಕರಣ 6x-4y=11 ನಲ್ಲಿ x ಗಾಗಿ \frac{5}{4}+\frac{5y}{8} ಬದಲಿಸಿ.

$$6\left(\frac{5}{8}y+\frac{5}{4}\right)-4y=11$$

\frac{5}{4}+\frac{5y}{8} ಅನ್ನು 6 ಬಾರಿ ಗುಣಿಸಿ.

$$\frac{15}{4}y+\frac{15}{2}-4y=11$$

-4y ಗೆ \frac{15y}{4} ಸೇರಿಸಿ.

$$-\frac{1}{4}y+\frac{15}{2}=11$$

ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಿಂದ \frac{15}{2} ಕಳೆಯಿರಿ.

$$-\frac{1}{4}y=\frac{7}{2}$$

-4 ಮೂಲಕ ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಲ್ಲಿ ಗುಣಿಸಿ.

$$y=-14$$

x=\frac{5}{8}y+\frac{5}{4} ನಲ್ಲಿ y ಗಾಗಿ -14 ಬದಲಿಸಿ. ಏಕೆಂದರೆ ಫಲಿತಾಂಶ ಸಮೀಕರಣವು ಕೇವಲ ಒಂದು ಚರಾಂಶ ಹೊಂದಿದೆ, ನೀವು ನೇರವಾಗಿ x ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು.

$$x=\frac{5}{8}\left(-14\right)+\frac{5}{4}$$

-14 ಅನ್ನು \frac{5}{8} ಬಾರಿ ಗುಣಿಸಿ.

$$x=\frac{-35+5}{4}$$

ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದವನ್ನು ಹುಡುಕುವ ಮತ್ತು ಅಂಶಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ -\frac{35}{4} ಗೆ \frac{5}{4} ಸೇರಿಸಿ. ತದನಂತರ ಸಾಧ್ಯವಾದರೆ, ಅತಿ ಕಡಿಮೆ ಪದಗಳಿಗೆ ಭಿನ್ನಾಂಶವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಿ.

$$x=-\frac{15}{2}$$

ಸಿಸ್ಟಂ ಅನ್ನು ಇದೀಗ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗಿದೆ.

$$x=-\frac{15}{2},y=-14$$

ಮಾತೃಕೆಗಳ ಬಳಸುವಿಕೆ ಕ್ರಮಗಳು

ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪ್ರಮಾಣಿತ ಫಾರ್ಮ್‌ನಲ್ಲಿ ಇರಿಸಿ ತದನಂತರ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಸೈಸ್ ಬಳಸಿ.

$$8x-5y=10,6x-4y=11$$

ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಮಾತೃಕೆ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ.

$$\left(\begin{matrix}8&-5\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}8&-5\\6&-4\end{matrix}\right) ನ ವಿಲೋಮ ಮಾತೃಕೆ ಮೂಲಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಎಡಕ್ಕೆ ಗುಣಾಕಾರ ಮಾಡಿ.

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&-5\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

ಮಾತೃಕೆ ಮತ್ತು ಅದರ ವಿಲೋಮದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಗುರುತು ಮಾತೃಕೆ ಆಗಿದೆ.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

ಸಮಾನ ಚಿಹ್ನೆಯ ಎಡ ಬದಿಯಲ್ಲಿ ಮಾತೃಕೆಗಳನ್ನು ಗುಣಾಕಾರ ಮಾಡಿ.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) ಗೆ; ವಿಲೋಮ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ಆಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಗುಣಾಕಾರ ಸಮಸ್ಯೆಯೆಂದು ಮರುಬರೆಯಬಹುದು.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{8\left(-4\right)-\left(-5\times 6\right)}&-\frac{-5}{8\left(-4\right)-\left(-5\times 6\right)}\\-\frac{6}{8\left(-4\right)-\left(-5\times 6\right)}&\frac{8}{8\left(-4\right)-\left(-5\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

ಅಂಕಗಣಿತ ಮಾಡಿ.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-\frac{5}{2}\\3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

ಮಾತೃಕೆಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಿ.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 10-\frac{5}{2}\times 11\\3\times 10-4\times 11\end{matrix}\right)$$

ಅಂಕಗಣಿತ ಮಾಡಿ.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{15}{2}\\-14\end{matrix}\right)$$

ಮಾತೃಕೆ ಅಂಶಗಳು x ಮತ್ತು y ಬೇರೆ ಮಾಡಿ.

$$x=-\frac{15}{2},y=-14$$

ತೆಗೆದುಹಾಕುವಿಕೆ ಬಳಸುವಿಕೆ ಕ್ರಮಗಳು

ತೆಗೆದುಹಾಕುವಿಕೆ ಮೂಲಕ ಪರಿಹರಿಸಲು, ಚರಾಂಶಗಳಲ್ಲಿನ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಆಗಿರಬೇಕು ಈ ಮೂಲಕ ಇತರೆಯಿಂದ ಒಂದು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ವ್ಯವಕಲನ ಮಾಡಿದಾಗ ಚರಾಂಶವನ್ನು ರದ್ದುಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

$$8x-5y=10,6x-4y=11$$

8x ಮತ್ತು 6x ಸಮವಾಗಿ ಮಾಡಲು, ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣದ ಪ್ರತಿ ಬದಿಯಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಪದಗಳನ್ನು 6 ಎರಡನೇ ಪ್ರತಿ ಬದಿಯಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಪದಗಳನ್ನು 8 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ.

$$6\times 8x+6\left(-5\right)y=6\times 10,8\times 6x+8\left(-4\right)y=8\times 11$$

ಸರಳೀಕೃತಗೊಳಿಸಿ.

$$48x-30y=60,48x-32y=88$$

ಸಮ ಚಿಹ್ನೆಯ ಪ್ರತಿ ಬದಿಯಲ್ಲಿ ಪದಗಳಂತಹವುಗಳನ್ನು ಕಳೆಯುವ ಮೂಲಕ 48x-30y=60 ದಿಂದ 48x-32y=88 ಕಳೆಯಿರಿ.

$$48x-48x-30y+32y=60-88$$

-48x ಗೆ 48x ಸೇರಿಸಿ. ನಿಯಮಗಳು 48x ಮತ್ತು -48x ರದ್ದುಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ, ಈ ಮೂಲಕ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದಾಗ ಏಕೈಕ ಚರಾಂಶದ ಜೊತೆಗೆ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಉಳಿಸಿದೆ.

$$-30y+32y=60-88$$

32y ಗೆ -30y ಸೇರಿಸಿ.

$$2y=60-88$$

-88 ಗೆ 60 ಸೇರಿಸಿ.

$$2y=-28$$

2 ದಿಂದ ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಲ್ಲಿ ಭಾಗಿಸಿ.

$$y=-14$$

6x-4y=11 ನಲ್ಲಿ y ಗಾಗಿ -14 ಬದಲಿಸಿ. ಏಕೆಂದರೆ ಫಲಿತಾಂಶ ಸಮೀಕರಣವು ಕೇವಲ ಒಂದು ಚರಾಂಶ ಹೊಂದಿದೆ, ನೀವು ನೇರವಾಗಿ x ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು.

$$6x-4\left(-14\right)=11$$

-14 ಅನ್ನು -4 ಬಾರಿ ಗುಣಿಸಿ.

$$6x+56=11$$

ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಿಂದ 56 ಕಳೆಯಿರಿ.

$$6x=-45$$

6 ದಿಂದ ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಲ್ಲಿ ಭಾಗಿಸಿ.

$$x=-\frac{15}{2}$$

ಸಿಸ್ಟಂ ಅನ್ನು ಇದೀಗ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗಿದೆ.

$$x=-\frac{15}{2},y=-14$$