{l}{25c+22T=152000}{11c+12T=75000} ಪರಿಹರಿಸಿ

$$\left. \begin{array} { l } { 25 c + 22 T = 152000 } \\ { 11 c + 12 T = 75000 } \end{array} \right.$$

c, T ಪರಿಹರಿಸಿ

$$c=3000$$

$$T=3500$$

ಪರ್ಯಾಯ ಬಳಸುವಿಕೆ ಕ್ರಮಗಳು

ಪರ್ಯಾಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಮೀಕರಣಗಳ ಜೋಡಿಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ಮೊದಲು ಚರಾಂಶಗಳ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಒಂದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ. ತದನಂತರ ಇತರ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಆ ಚರಾಂಶಕ್ಕೆ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಬದಲಿಸಿ.

$$25c+22T=152000,11c+12T=75000$$

ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಆರಿಸಿ ಹಾಗೂ ಸಮ ಚಿಹ್ನೆಯ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ c ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುವ ಮೂಲಕ c ಗಾಗಿ ಅದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ.

$$25c+22T=152000$$

ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಿಂದ 22T ಕಳೆಯಿರಿ.

$$25c=-22T+152000$$

25 ದಿಂದ ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಲ್ಲಿ ಭಾಗಿಸಿ.

$$c=\frac{1}{25}\left(-22T+152000\right)$$

-22T+152000 ಅನ್ನು \frac{1}{25} ಬಾರಿ ಗುಣಿಸಿ.

$$c=-\frac{22}{25}T+6080$$

ಇತರ ಸಮೀಕರಣ 11c+12T=75000 ನಲ್ಲಿ c ಗಾಗಿ -\frac{22T}{25}+6080 ಬದಲಿಸಿ.

$$11\left(-\frac{22}{25}T+6080\right)+12T=75000$$

-\frac{22T}{25}+6080 ಅನ್ನು 11 ಬಾರಿ ಗುಣಿಸಿ.

$$-\frac{242}{25}T+66880+12T=75000$$

12T ಗೆ -\frac{242T}{25} ಸೇರಿಸಿ.

$$\frac{58}{25}T+66880=75000$$

ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಿಂದ 66880 ಕಳೆಯಿರಿ.

$$\frac{58}{25}T=8120$$

ಭಿನ್ನಾಂಕದ ವ್ಯುತ್ಕ್ರಮದಿಂದ ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಲ್ಲಿ ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಯಾವುದು ಒಂದೇ ಬರುತ್ತದೆಯೋ, \frac{58}{25} ದಿಂದ ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಲ್ಲಿ ಭಾಗಿಸಿ.

$$T=3500$$

c=-\frac{22}{25}T+6080 ನಲ್ಲಿ T ಗಾಗಿ 3500 ಬದಲಿಸಿ. ಏಕೆಂದರೆ ಫಲಿತಾಂಶ ಸಮೀಕರಣವು ಕೇವಲ ಒಂದು ಚರಾಂಶ ಹೊಂದಿದೆ, ನೀವು ನೇರವಾಗಿ c ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು.

$$c=-\frac{22}{25}\times 3500+6080$$

3500 ಅನ್ನು -\frac{22}{25} ಬಾರಿ ಗುಣಿಸಿ.

$$c=-3080+6080$$

-3080 ಗೆ 6080 ಸೇರಿಸಿ.

$$c=3000$$

ಸಿಸ್ಟಂ ಅನ್ನು ಇದೀಗ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗಿದೆ.

$$c=3000,T=3500$$

ಮಾತೃಕೆಗಳ ಬಳಸುವಿಕೆ ಕ್ರಮಗಳು

ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪ್ರಮಾಣಿತ ಫಾರ್ಮ್‌ನಲ್ಲಿ ಇರಿಸಿ ತದನಂತರ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಸೈಸ್ ಬಳಸಿ.

$$25c+22T=152000,11c+12T=75000$$

ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಮಾತೃಕೆ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ.

$$\left(\begin{matrix}25&22\\11&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\T\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}152000\\75000\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}25&22\\11&12\end{matrix}\right) ನ ವಿಲೋಮ ಮಾತೃಕೆ ಮೂಲಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಎಡಕ್ಕೆ ಗುಣಾಕಾರ ಮಾಡಿ.

$$inverse(\left(\begin{matrix}25&22\\11&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25&22\\11&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\T\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&22\\11&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}152000\\75000\end{matrix}\right)$$

ಮಾತೃಕೆ ಮತ್ತು ಅದರ ವಿಲೋಮದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಗುರುತು ಮಾತೃಕೆ ಆಗಿದೆ.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\T\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&22\\11&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}152000\\75000\end{matrix}\right)$$

ಸಮಾನ ಚಿಹ್ನೆಯ ಎಡ ಬದಿಯಲ್ಲಿ ಮಾತೃಕೆಗಳನ್ನು ಗುಣಾಕಾರ ಮಾಡಿ.

$$\left(\begin{matrix}c\\T\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&22\\11&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}152000\\75000\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) ಗೆ; ವಿಲೋಮ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ಆಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಗುಣಾಕಾರ ಸಮಸ್ಯೆಯೆಂದು ಮರುಬರೆಯಬಹುದು.

$$\left(\begin{matrix}c\\T\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{25\times 12-22\times 11}&-\frac{22}{25\times 12-22\times 11}\\-\frac{11}{25\times 12-22\times 11}&\frac{25}{25\times 12-22\times 11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}152000\\75000\end{matrix}\right)$$

ಅಂಕಗಣಿತ ಮಾಡಿ.

$$\left(\begin{matrix}c\\T\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{29}&-\frac{11}{29}\\-\frac{11}{58}&\frac{25}{58}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}152000\\75000\end{matrix}\right)$$

ಮಾತೃಕೆಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಿ.

$$\left(\begin{matrix}c\\T\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{29}\times 152000-\frac{11}{29}\times 75000\\-\frac{11}{58}\times 152000+\frac{25}{58}\times 75000\end{matrix}\right)$$

ಅಂಕಗಣಿತ ಮಾಡಿ.

$$\left(\begin{matrix}c\\T\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3000\\3500\end{matrix}\right)$$

ಮಾತೃಕೆ ಅಂಶಗಳು c ಮತ್ತು T ಬೇರೆ ಮಾಡಿ.

$$c=3000,T=3500$$

ತೆಗೆದುಹಾಕುವಿಕೆ ಬಳಸುವಿಕೆ ಕ್ರಮಗಳು

ತೆಗೆದುಹಾಕುವಿಕೆ ಮೂಲಕ ಪರಿಹರಿಸಲು, ಚರಾಂಶಗಳಲ್ಲಿನ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಆಗಿರಬೇಕು ಈ ಮೂಲಕ ಇತರೆಯಿಂದ ಒಂದು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ವ್ಯವಕಲನ ಮಾಡಿದಾಗ ಚರಾಂಶವನ್ನು ರದ್ದುಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

$$25c+22T=152000,11c+12T=75000$$

25c ಮತ್ತು 11c ಸಮವಾಗಿ ಮಾಡಲು, ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣದ ಪ್ರತಿ ಬದಿಯಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಪದಗಳನ್ನು 11 ಎರಡನೇ ಪ್ರತಿ ಬದಿಯಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಪದಗಳನ್ನು 25 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ.

$$11\times 25c+11\times 22T=11\times 152000,25\times 11c+25\times 12T=25\times 75000$$

ಸರಳೀಕೃತಗೊಳಿಸಿ.

$$275c+242T=1672000,275c+300T=1875000$$

ಸಮ ಚಿಹ್ನೆಯ ಪ್ರತಿ ಬದಿಯಲ್ಲಿ ಪದಗಳಂತಹವುಗಳನ್ನು ಕಳೆಯುವ ಮೂಲಕ 275c+242T=1672000 ದಿಂದ 275c+300T=1875000 ಕಳೆಯಿರಿ.

$$275c-275c+242T-300T=1672000-1875000$$

-275c ಗೆ 275c ಸೇರಿಸಿ. ನಿಯಮಗಳು 275c ಮತ್ತು -275c ರದ್ದುಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ, ಈ ಮೂಲಕ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದಾಗ ಏಕೈಕ ಚರಾಂಶದ ಜೊತೆಗೆ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಉಳಿಸಿದೆ.

$$242T-300T=1672000-1875000$$

-300T ಗೆ 242T ಸೇರಿಸಿ.

$$-58T=1672000-1875000$$

-1875000 ಗೆ 1672000 ಸೇರಿಸಿ.

$$-58T=-203000$$

-58 ದಿಂದ ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಲ್ಲಿ ಭಾಗಿಸಿ.

$$T=3500$$

11c+12T=75000 ನಲ್ಲಿ T ಗಾಗಿ 3500 ಬದಲಿಸಿ. ಏಕೆಂದರೆ ಫಲಿತಾಂಶ ಸಮೀಕರಣವು ಕೇವಲ ಒಂದು ಚರಾಂಶ ಹೊಂದಿದೆ, ನೀವು ನೇರವಾಗಿ c ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು.

$$11c+12\times 3500=75000$$

3500 ಅನ್ನು 12 ಬಾರಿ ಗುಣಿಸಿ.

$$11c+42000=75000$$

ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಿಂದ 42000 ಕಳೆಯಿರಿ.

$$11c=33000$$

11 ದಿಂದ ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಲ್ಲಿ ಭಾಗಿಸಿ.

$$c=3000$$

ಸಿಸ್ಟಂ ಅನ್ನು ಇದೀಗ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗಿದೆ.

$$c=3000,T=3500$$