{l}{2X-2+4Y=1/2}{8(Y-1/2)=9(X+1)-4} ಪರಿಹರಿಸಿ

$$\left. \begin{array} { l } { 2 X - 2 + 4 Y = \frac { 1 } { 2 } } \\ { 8 ( Y - \frac { 1 } { 2 } ) = 9 ( X + 1 ) - 4 } \end{array} \right.$$

X, Y ಪರಿಹರಿಸಿ

$$X=-\frac{4}{13}\approx -0.307692308$$

$$Y=\frac{81}{104}\approx 0.778846154$$

ಪರ್ಯಾಯ ಬಳಸುವಿಕೆ ಕ್ರಮಗಳು

ಮೊದಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣ ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಿಗೆ 2 ಸೇರಿಸಿ.

$$2X+4Y=\frac{1}{2}+2$$

\frac{5}{2} ಪಡೆದುಕೊಳ್ಳಲು \frac{1}{2} ಮತ್ತು 2 ಸೇರಿಸಿ.

$$2X+4Y=\frac{5}{2}$$

ಎರಡನೆಯ ಸಮೀಕರಣ ಪರಿಗಣಿಸಿ. Y-\frac{1}{2} ದಿಂದ 8 ಗುಣಿಸಲು ವಿಭಾಜಕ ಗುಣವನ್ನು ಬಳಸಿ.

$$8Y-4=9\left(X+1\right)-4$$

X+1 ದಿಂದ 9 ಗುಣಿಸಲು ವಿಭಾಜಕ ಗುಣವನ್ನು ಬಳಸಿ.

$$8Y-4=9X+9-4$$

5 ಪಡೆದುಕೊಳ್ಳಲು 9 ದಿಂದ 4 ಕಳೆಯಿರಿ.

$$8Y-4=9X+5$$

ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಿಂದ 9X ಕಳೆಯಿರಿ.

$$8Y-4-9X=5$$

ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಿಗೆ 4 ಸೇರಿಸಿ.

$$8Y-9X=5+4$$

9 ಪಡೆದುಕೊಳ್ಳಲು 5 ಮತ್ತು 4 ಸೇರಿಸಿ.

$$8Y-9X=9$$

ಪರ್ಯಾಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಮೀಕರಣಗಳ ಜೋಡಿಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ಮೊದಲು ಚರಾಂಶಗಳ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಒಂದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ. ತದನಂತರ ಇತರ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಆ ಚರಾಂಶಕ್ಕೆ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಬದಲಿಸಿ.

$$2X+4Y=\frac{5}{2},-9X+8Y=9$$

ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಆರಿಸಿ ಹಾಗೂ ಸಮ ಚಿಹ್ನೆಯ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ X ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುವ ಮೂಲಕ X ಗಾಗಿ ಅದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ.

$$2X+4Y=\frac{5}{2}$$

ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಿಂದ 4Y ಕಳೆಯಿರಿ.

$$2X=-4Y+\frac{5}{2}$$

2 ದಿಂದ ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಲ್ಲಿ ಭಾಗಿಸಿ.

$$X=\frac{1}{2}\left(-4Y+\frac{5}{2}\right)$$

-4Y+\frac{5}{2} ಅನ್ನು \frac{1}{2} ಬಾರಿ ಗುಣಿಸಿ.

$$X=-2Y+\frac{5}{4}$$

ಇತರ ಸಮೀಕರಣ -9X+8Y=9 ನಲ್ಲಿ X ಗಾಗಿ -2Y+\frac{5}{4} ಬದಲಿಸಿ.

$$-9\left(-2Y+\frac{5}{4}\right)+8Y=9$$

-2Y+\frac{5}{4} ಅನ್ನು -9 ಬಾರಿ ಗುಣಿಸಿ.

$$18Y-\frac{45}{4}+8Y=9$$

8Y ಗೆ 18Y ಸೇರಿಸಿ.

$$26Y-\frac{45}{4}=9$$

ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಲ್ಲಿ \frac{45}{4} ಸೇರಿಸಿ.

$$26Y=\frac{81}{4}$$

26 ದಿಂದ ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಲ್ಲಿ ಭಾಗಿಸಿ.

$$Y=\frac{81}{104}$$

X=-2Y+\frac{5}{4} ನಲ್ಲಿ Y ಗಾಗಿ \frac{81}{104} ಬದಲಿಸಿ. ಏಕೆಂದರೆ ಫಲಿತಾಂಶ ಸಮೀಕರಣವು ಕೇವಲ ಒಂದು ಚರಾಂಶ ಹೊಂದಿದೆ, ನೀವು ನೇರವಾಗಿ X ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು.

$$X=-2\times \frac{81}{104}+\frac{5}{4}$$

\frac{81}{104} ಅನ್ನು -2 ಬಾರಿ ಗುಣಿಸಿ.

$$X=-\frac{81}{52}+\frac{5}{4}$$

ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದವನ್ನು ಹುಡುಕುವ ಮತ್ತು ಅಂಶಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ -\frac{81}{52} ಗೆ \frac{5}{4} ಸೇರಿಸಿ. ತದನಂತರ ಸಾಧ್ಯವಾದರೆ, ಅತಿ ಕಡಿಮೆ ಪದಗಳಿಗೆ ಭಿನ್ನಾಂಶವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಿ.

$$X=-\frac{4}{13}$$

ಸಿಸ್ಟಂ ಅನ್ನು ಇದೀಗ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗಿದೆ.

$$X=-\frac{4}{13},Y=\frac{81}{104}$$

ಮಾತೃಕೆಗಳ ಬಳಸುವಿಕೆ ಕ್ರಮಗಳು

ಮೊದಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣ ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಿಗೆ 2 ಸೇರಿಸಿ.

$$2X+4Y=\frac{1}{2}+2$$

\frac{5}{2} ಪಡೆದುಕೊಳ್ಳಲು \frac{1}{2} ಮತ್ತು 2 ಸೇರಿಸಿ.

$$2X+4Y=\frac{5}{2}$$

ಎರಡನೆಯ ಸಮೀಕರಣ ಪರಿಗಣಿಸಿ. Y-\frac{1}{2} ದಿಂದ 8 ಗುಣಿಸಲು ವಿಭಾಜಕ ಗುಣವನ್ನು ಬಳಸಿ.

$$8Y-4=9\left(X+1\right)-4$$

X+1 ದಿಂದ 9 ಗುಣಿಸಲು ವಿಭಾಜಕ ಗುಣವನ್ನು ಬಳಸಿ.

$$8Y-4=9X+9-4$$

5 ಪಡೆದುಕೊಳ್ಳಲು 9 ದಿಂದ 4 ಕಳೆಯಿರಿ.

$$8Y-4=9X+5$$

ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಿಂದ 9X ಕಳೆಯಿರಿ.

$$8Y-4-9X=5$$

ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಿಗೆ 4 ಸೇರಿಸಿ.

$$8Y-9X=5+4$$

9 ಪಡೆದುಕೊಳ್ಳಲು 5 ಮತ್ತು 4 ಸೇರಿಸಿ.

$$8Y-9X=9$$

ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪ್ರಮಾಣಿತ ಫಾರ್ಮ್‌ನಲ್ಲಿ ಇರಿಸಿ ತದನಂತರ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಸೈಸ್ ಬಳಸಿ.

$$2X+4Y=\frac{5}{2},-9X+8Y=9$$

ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಮಾತೃಕೆ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ.

$$\left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right) ನ ವಿಲೋಮ ಮಾತೃಕೆ ಮೂಲಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಎಡಕ್ಕೆ ಗುಣಾಕಾರ ಮಾಡಿ.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

ಮಾತೃಕೆ ಮತ್ತು ಅದರ ವಿಲೋಮದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಗುರುತು ಮಾತೃಕೆ ಆಗಿದೆ.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

ಸಮಾನ ಚಿಹ್ನೆಯ ಎಡ ಬದಿಯಲ್ಲಿ ಮಾತೃಕೆಗಳನ್ನು ಗುಣಾಕಾರ ಮಾಡಿ.

$$\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) ಗೆ; ವಿಲೋಮ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ಆಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಗುಣಾಕಾರ ಸಮಸ್ಯೆಯೆಂದು ಮರುಬರೆಯಬಹುದು.

$$\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{2\times 8-4\left(-9\right)}&-\frac{4}{2\times 8-4\left(-9\right)}\\-\frac{-9}{2\times 8-4\left(-9\right)}&\frac{2}{2\times 8-4\left(-9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

ಅಂಕಗಣಿತ ಮಾಡಿ.

$$\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}&-\frac{1}{13}\\\frac{9}{52}&\frac{1}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

ಮಾತೃಕೆಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಿ.

$$\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}\times \frac{5}{2}-\frac{1}{13}\times 9\\\frac{9}{52}\times \frac{5}{2}+\frac{1}{26}\times 9\end{matrix}\right)$$

ಅಂಕಗಣಿತ ಮಾಡಿ.

$$\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{13}\\\frac{81}{104}\end{matrix}\right)$$

ಮಾತೃಕೆ ಅಂಶಗಳು X ಮತ್ತು Y ಬೇರೆ ಮಾಡಿ.

$$X=-\frac{4}{13},Y=\frac{81}{104}$$

ತೆಗೆದುಹಾಕುವಿಕೆ ಬಳಸುವಿಕೆ ಕ್ರಮಗಳು

ಮೊದಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣ ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಿಗೆ 2 ಸೇರಿಸಿ.

$$2X+4Y=\frac{1}{2}+2$$

\frac{5}{2} ಪಡೆದುಕೊಳ್ಳಲು \frac{1}{2} ಮತ್ತು 2 ಸೇರಿಸಿ.

$$2X+4Y=\frac{5}{2}$$

ಎರಡನೆಯ ಸಮೀಕರಣ ಪರಿಗಣಿಸಿ. Y-\frac{1}{2} ದಿಂದ 8 ಗುಣಿಸಲು ವಿಭಾಜಕ ಗುಣವನ್ನು ಬಳಸಿ.

$$8Y-4=9\left(X+1\right)-4$$

X+1 ದಿಂದ 9 ಗುಣಿಸಲು ವಿಭಾಜಕ ಗುಣವನ್ನು ಬಳಸಿ.

$$8Y-4=9X+9-4$$

5 ಪಡೆದುಕೊಳ್ಳಲು 9 ದಿಂದ 4 ಕಳೆಯಿರಿ.

$$8Y-4=9X+5$$

ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಿಂದ 9X ಕಳೆಯಿರಿ.

$$8Y-4-9X=5$$

ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಿಗೆ 4 ಸೇರಿಸಿ.

$$8Y-9X=5+4$$

9 ಪಡೆದುಕೊಳ್ಳಲು 5 ಮತ್ತು 4 ಸೇರಿಸಿ.

$$8Y-9X=9$$

ತೆಗೆದುಹಾಕುವಿಕೆ ಮೂಲಕ ಪರಿಹರಿಸಲು, ಚರಾಂಶಗಳಲ್ಲಿನ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಆಗಿರಬೇಕು ಈ ಮೂಲಕ ಇತರೆಯಿಂದ ಒಂದು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ವ್ಯವಕಲನ ಮಾಡಿದಾಗ ಚರಾಂಶವನ್ನು ರದ್ದುಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

$$2X+4Y=\frac{5}{2},-9X+8Y=9$$

2X ಮತ್ತು -9X ಸಮವಾಗಿ ಮಾಡಲು, ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣದ ಪ್ರತಿ ಬದಿಯಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಪದಗಳನ್ನು -9 ಎರಡನೇ ಪ್ರತಿ ಬದಿಯಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಪದಗಳನ್ನು 2 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ.

$$-9\times 2X-9\times 4Y=-9\times \frac{5}{2},2\left(-9\right)X+2\times 8Y=2\times 9$$

ಸರಳೀಕೃತಗೊಳಿಸಿ.

$$-18X-36Y=-\frac{45}{2},-18X+16Y=18$$

ಸಮ ಚಿಹ್ನೆಯ ಪ್ರತಿ ಬದಿಯಲ್ಲಿ ಪದಗಳಂತಹವುಗಳನ್ನು ಕಳೆಯುವ ಮೂಲಕ -18X-36Y=-\frac{45}{2} ದಿಂದ -18X+16Y=18 ಕಳೆಯಿರಿ.

$$-18X+18X-36Y-16Y=-\frac{45}{2}-18$$

18X ಗೆ -18X ಸೇರಿಸಿ. ನಿಯಮಗಳು -18X ಮತ್ತು 18X ರದ್ದುಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ, ಈ ಮೂಲಕ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದಾಗ ಏಕೈಕ ಚರಾಂಶದ ಜೊತೆಗೆ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಉಳಿಸಿದೆ.

$$-36Y-16Y=-\frac{45}{2}-18$$

-16Y ಗೆ -36Y ಸೇರಿಸಿ.

$$-52Y=-\frac{45}{2}-18$$

-18 ಗೆ -\frac{45}{2} ಸೇರಿಸಿ.

$$-52Y=-\frac{81}{2}$$

-52 ದಿಂದ ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಲ್ಲಿ ಭಾಗಿಸಿ.

$$Y=\frac{81}{104}$$

-9X+8Y=9 ನಲ್ಲಿ Y ಗಾಗಿ \frac{81}{104} ಬದಲಿಸಿ. ಏಕೆಂದರೆ ಫಲಿತಾಂಶ ಸಮೀಕರಣವು ಕೇವಲ ಒಂದು ಚರಾಂಶ ಹೊಂದಿದೆ, ನೀವು ನೇರವಾಗಿ X ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು.

$$-9X+8\times \frac{81}{104}=9$$

\frac{81}{104} ಅನ್ನು 8 ಬಾರಿ ಗುಣಿಸಿ.

$$-9X+\frac{81}{13}=9$$

ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಿಂದ \frac{81}{13} ಕಳೆಯಿರಿ.

$$-9X=\frac{36}{13}$$

-9 ದಿಂದ ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಲ್ಲಿ ಭಾಗಿಸಿ.

$$X=-\frac{4}{13}$$

ಸಿಸ್ಟಂ ಅನ್ನು ಇದೀಗ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗಿದೆ.

$$X=-\frac{4}{13},Y=\frac{81}{104}$$