{l}{x^2/9+y^2/4=1}{3x+4y=1} ಪರಿಹರಿಸಿ

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x ^ { 2 } } { 9 } + \frac { y ^ { 2 } } { 4 } = 1 } \\ { 3 x + 4 y = 1 } \end{array} \right.$$

x, y ಪರಿಹರಿಸಿ

$$x=\frac{63}{29}\approx 2.172413793\text{, }y=-\frac{40}{29}\approx -1.379310345$$

$$x=-\frac{9}{5}=-1.8\text{, }y=\frac{8}{5}=1.6$$

ಪರ್ಯಾಯ ಮತ್ತು ವರ್ಗೀಯ ಸೂತ್ರ ಬಳಸುವಿಕೆ ಕ್ರಮಗಳು

ಮೊದಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣ ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು 36, 9,4 ರ ಕನಿಷ್ಠ ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದದಿಂದ ಗುಣಾಕಾರ ಮಾಡಿ.

$$4x^{2}+9y^{2}=36$$

ಪರ್ಯಾಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಮೀಕರಣಗಳ ಜೋಡಿಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ಮೊದಲು ಚರಾಂಶಗಳ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಒಂದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ. ತದನಂತರ ಇತರ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಆ ಚರಾಂಶಕ್ಕೆ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಬದಲಿಸಿ.

$$3x+4y=1,9y^{2}+4x^{2}=36$$

ಸಮ ಚಿಹ್ನೆಯ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ x ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುವ ಮೂಲಕ x ಗಾಗಿ 3x+4y=1 ಪರಿಹರಿಸಿ.

$$3x+4y=1$$

ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಿಂದ 4y ಕಳೆಯಿರಿ.

$$3x=-4y+1$$

3 ದಿಂದ ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಲ್ಲಿ ಭಾಗಿಸಿ.

$$x=-\frac{4}{3}y+\frac{1}{3}$$

ಇತರ ಸಮೀಕರಣ 9y^{2}+4x^{2}=36 ನಲ್ಲಿ x ಗಾಗಿ -\frac{4}{3}y+\frac{1}{3} ಬದಲಿಸಿ.

$$9y^{2}+4\left(-\frac{4}{3}y+\frac{1}{3}\right)^{2}=36$$

ವರ್ಗ -\frac{4}{3}y+\frac{1}{3}.

$$9y^{2}+4\left(\frac{16}{9}y^{2}-\frac{8}{9}y+\frac{1}{9}\right)=36$$

\frac{16}{9}y^{2}-\frac{8}{9}y+\frac{1}{9} ಅನ್ನು 4 ಬಾರಿ ಗುಣಿಸಿ.

$$9y^{2}+\frac{64}{9}y^{2}-\frac{32}{9}y+\frac{4}{9}=36$$

\frac{64}{9}y^{2} ಗೆ 9y^{2} ಸೇರಿಸಿ.

$$\frac{145}{9}y^{2}-\frac{32}{9}y+\frac{4}{9}=36$$

ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಿಂದ 36 ಕಳೆಯಿರಿ.

$$\frac{145}{9}y^{2}-\frac{32}{9}y-\frac{320}{9}=0$$

ಈ ಸಮೀಕರಣವು ಪ್ರಮಾಣಿತ ಫಾರ್ಮ್‌ನಲ್ಲಿದೆ: ax^{2}+bx+c=0. ವರ್ಗ ಸೂತ್ರ \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ನಲ್ಲಿ a ಗೆ 9+4\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}, b ಗೆ 4\times \frac{1}{3}\left(-\frac{4}{3}\right)\times 2 ಮತ್ತು c ಗೆ -\frac{320}{9} ಬದಲಿಸಿ.

$$y=\frac{-\left(-\frac{32}{9}\right)±\sqrt{\left(-\frac{32}{9}\right)^{2}-4\times \frac{145}{9}\left(-\frac{320}{9}\right)}}{2\times \frac{145}{9}}$$

ವರ್ಗ 4\times \frac{1}{3}\left(-\frac{4}{3}\right)\times 2.

$$y=\frac{-\left(-\frac{32}{9}\right)±\sqrt{\frac{1024}{81}-4\times \frac{145}{9}\left(-\frac{320}{9}\right)}}{2\times \frac{145}{9}}$$

9+4\left(-\frac{4}{3}\right)^{2} ಅನ್ನು -4 ಬಾರಿ ಗುಣಿಸಿ.

$$y=\frac{-\left(-\frac{32}{9}\right)±\sqrt{\frac{1024}{81}-\frac{580}{9}\left(-\frac{320}{9}\right)}}{2\times \frac{145}{9}}$$

ಸಂಖ್ಯಾಕಾರ ಸಮಯ ಸಂಖ್ಯಾಕಾರ ಮತ್ತು ಛೇದ ಸಮಯ ಛೇದವನ್ನು ಗುಣಿಸುವ ಮೂಲಕ -\frac{320}{9} ಅನ್ನು -\frac{580}{9} ಬಾರಿ ಗುಣಿಸಿ. ತದನಂತರ ಸಾಧ್ಯವಾದರೆ, ಅತಿ ಕಡಿಮೆ ಪದಗಳಿಗೆ ಭಿನ್ನಾಂಶವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಿ.

$$y=\frac{-\left(-\frac{32}{9}\right)±\sqrt{\frac{1024+185600}{81}}}{2\times \frac{145}{9}}$$

ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದವನ್ನು ಹುಡುಕುವ ಮತ್ತು ಅಂಶಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ \frac{185600}{81} ಗೆ \frac{1024}{81} ಸೇರಿಸಿ. ತದನಂತರ ಸಾಧ್ಯವಾದರೆ, ಅತಿ ಕಡಿಮೆ ಪದಗಳಿಗೆ ಭಿನ್ನಾಂಶವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಿ.

$$y=\frac{-\left(-\frac{32}{9}\right)±\sqrt{2304}}{2\times \frac{145}{9}}$$

2304 ನ ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ.

$$y=\frac{-\left(-\frac{32}{9}\right)±48}{2\times \frac{145}{9}}$$

4\times \frac{1}{3}\left(-\frac{4}{3}\right)\times 2 ನ ವಿಲೋಮವು \frac{32}{9} ಆಗಿದೆ.

$$y=\frac{\frac{32}{9}±48}{2\times \frac{145}{9}}$$

9+4\left(-\frac{4}{3}\right)^{2} ಅನ್ನು 2 ಬಾರಿ ಗುಣಿಸಿ.

$$y=\frac{\frac{32}{9}±48}{\frac{290}{9}}$$

± ಎನ್ನುವುದು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುವಾಗ y=\frac{\frac{32}{9}±48}{\frac{290}{9}} ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಇದೀಗ ಪರಿಹರಿಸಿ. 48 ಗೆ \frac{32}{9} ಸೇರಿಸಿ.

$$y=\frac{\frac{464}{9}}{\frac{290}{9}}$$

\frac{290}{9} ನ ವ್ಯುತ್ಕ್ರಮದಿಂದ \frac{464}{9} ಗುಣಿಸುವ ಮೂಲಕ \frac{290}{9} ದಿಂದ \frac{464}{9} ಭಾಗಿಸಿ.

$$y=\frac{8}{5}$$

± ಎನ್ನುವುದು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುವಾಗ y=\frac{\frac{32}{9}±48}{\frac{290}{9}} ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಇದೀಗ ಪರಿಹರಿಸಿ. \frac{32}{9} ದಿಂದ 48 ಕಳೆಯಿರಿ.

$$y=-\frac{\frac{400}{9}}{\frac{290}{9}}$$

\frac{290}{9} ನ ವ್ಯುತ್ಕ್ರಮದಿಂದ -\frac{400}{9} ಗುಣಿಸುವ ಮೂಲಕ \frac{290}{9} ದಿಂದ -\frac{400}{9} ಭಾಗಿಸಿ.

$$y=-\frac{40}{29}$$

y ಗೆ ಎರಡು ಪರಿಹಾರಗಳಿವೆ: \frac{8}{5} ಮತ್ತು -\frac{40}{29}. ಎರಡೂ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಗೊಳಿಸುವ x ಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಪರಿಹಾರ ಹುಡುಕಲು x=-\frac{4}{3}y+\frac{1}{3} ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ y ಗಾಗಿ \frac{8}{5} ಬದಲಿಸಿ.

$$x=-\frac{4}{3}\times \frac{8}{5}+\frac{1}{3}$$

ಸಂಖ್ಯಾಕಾರ ಸಮಯ ಸಂಖ್ಯಾಕಾರ ಮತ್ತು ಛೇದ ಸಮಯ ಛೇದವನ್ನು ಗುಣಿಸುವ ಮೂಲಕ \frac{8}{5} ಅನ್ನು -\frac{4}{3} ಬಾರಿ ಗುಣಿಸಿ. ತದನಂತರ ಸಾಧ್ಯವಾದರೆ, ಅತಿ ಕಡಿಮೆ ಪದಗಳಿಗೆ ಭಿನ್ನಾಂಶವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಿ.

$$x=-\frac{32}{15}+\frac{1}{3}$$

\frac{1}{3} ಗೆ -\frac{4}{3}\times \frac{8}{5} ಸೇರಿಸಿ.

$$x=-\frac{9}{5}$$

ಇದೀಗ x=-\frac{4}{3}y+\frac{1}{3} ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ y ಗಾಗಿ -\frac{40}{29} ಅನ್ನು ಬದಲಿಸಿ ಹಾಗೂ ಎರಡೂ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುವ x ಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಪರಿಹಾರ ಹುಡುಕಲು ಪರಿಹರಿಸಿ.

$$x=-\frac{4}{3}\left(-\frac{40}{29}\right)+\frac{1}{3}$$

ಸಂಖ್ಯಾಕಾರ ಸಮಯ ಸಂಖ್ಯಾಕಾರ ಮತ್ತು ಛೇದ ಸಮಯ ಛೇದವನ್ನು ಗುಣಿಸುವ ಮೂಲಕ -\frac{40}{29} ಅನ್ನು -\frac{4}{3} ಬಾರಿ ಗುಣಿಸಿ. ತದನಂತರ ಸಾಧ್ಯವಾದರೆ, ಅತಿ ಕಡಿಮೆ ಪದಗಳಿಗೆ ಭಿನ್ನಾಂಶವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಿ.

$$x=\frac{160}{87}+\frac{1}{3}$$

\frac{1}{3} ಗೆ -\frac{40}{29}\left(-\frac{4}{3}\right) ಸೇರಿಸಿ.

$$x=\frac{63}{29}$$

ಸಿಸ್ಟಂ ಅನ್ನು ಇದೀಗ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗಿದೆ.

$$x=-\frac{9}{5},y=\frac{8}{5}\text{ or }x=\frac{63}{29},y=-\frac{40}{29}$$