{l}{x+1/y+2=2/3}{x-2/y-1=1/3} ಪರಿಹರಿಸಿ

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x + 1 } { y + 2 } = \frac { 2 } { 3 } } \\ { \frac { x - 2 } { y - 1 } = \frac { 1 } { 3 } } \end{array} \right.$$

x, y ಪರಿಹರಿಸಿ

$$x=3$$

$$y=4$$

ಪರ್ಯಾಯ ಬಳಸುವಿಕೆ ಕ್ರಮಗಳು

ಮೊದಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣ ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಭಾಗಿಸುವಿಕೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸದೇ ಇರುವುದರಿಂದ y ವೇರಿಯೇಬಲ್ -2 ಗೆ ಸಮನಾಗಿರಬಾರದು. ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು 3\left(y+2\right), y+2,3 ರ ಕನಿಷ್ಠ ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದದಿಂದ ಗುಣಾಕಾರ ಮಾಡಿ.

$$3\left(x+1\right)=2\left(y+2\right)$$

x+1 ದಿಂದ 3 ಗುಣಿಸಲು ವಿಭಾಜಕ ಗುಣವನ್ನು ಬಳಸಿ.

$$3x+3=2\left(y+2\right)$$

y+2 ದಿಂದ 2 ಗುಣಿಸಲು ವಿಭಾಜಕ ಗುಣವನ್ನು ಬಳಸಿ.

$$3x+3=2y+4$$

ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಿಂದ 2y ಕಳೆಯಿರಿ.

$$3x+3-2y=4$$

ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಿಂದ 3 ಕಳೆಯಿರಿ.

$$3x-2y=4-3$$

1 ಪಡೆದುಕೊಳ್ಳಲು 4 ದಿಂದ 3 ಕಳೆಯಿರಿ.

$$3x-2y=1$$

ಎರಡನೆಯ ಸಮೀಕರಣ ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಭಾಗಿಸುವಿಕೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸದೇ ಇರುವುದರಿಂದ y ವೇರಿಯೇಬಲ್ 1 ಗೆ ಸಮನಾಗಿರಬಾರದು. ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು 3\left(y-1\right), y-1,3 ರ ಕನಿಷ್ಠ ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದದಿಂದ ಗುಣಾಕಾರ ಮಾಡಿ.

$$3\left(x-2\right)=y-1$$

x-2 ದಿಂದ 3 ಗುಣಿಸಲು ವಿಭಾಜಕ ಗುಣವನ್ನು ಬಳಸಿ.

$$3x-6=y-1$$

ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಿಂದ y ಕಳೆಯಿರಿ.

$$3x-6-y=-1$$

ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಿಗೆ 6 ಸೇರಿಸಿ.

$$3x-y=-1+6$$

5 ಪಡೆದುಕೊಳ್ಳಲು -1 ಮತ್ತು 6 ಸೇರಿಸಿ.

$$3x-y=5$$

ಪರ್ಯಾಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಮೀಕರಣಗಳ ಜೋಡಿಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ಮೊದಲು ಚರಾಂಶಗಳ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಒಂದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ. ತದನಂತರ ಇತರ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಆ ಚರಾಂಶಕ್ಕೆ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಬದಲಿಸಿ.

$$3x-2y=1,3x-y=5$$

ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಆರಿಸಿ ಹಾಗೂ ಸಮ ಚಿಹ್ನೆಯ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ x ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುವ ಮೂಲಕ x ಗಾಗಿ ಅದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ.

$$3x-2y=1$$

ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಲ್ಲಿ 2y ಸೇರಿಸಿ.

$$3x=2y+1$$

3 ದಿಂದ ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಲ್ಲಿ ಭಾಗಿಸಿ.

$$x=\frac{1}{3}\left(2y+1\right)$$

2y+1 ಅನ್ನು \frac{1}{3} ಬಾರಿ ಗುಣಿಸಿ.

$$x=\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}$$

ಇತರ ಸಮೀಕರಣ 3x-y=5 ನಲ್ಲಿ x ಗಾಗಿ \frac{2y+1}{3} ಬದಲಿಸಿ.

$$3\left(\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}\right)-y=5$$

\frac{2y+1}{3} ಅನ್ನು 3 ಬಾರಿ ಗುಣಿಸಿ.

$$2y+1-y=5$$

-y ಗೆ 2y ಸೇರಿಸಿ.

$$y+1=5$$

ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಿಂದ 1 ಕಳೆಯಿರಿ.

$$y=4$$

x=\frac{2}{3}y+\frac{1}{3} ನಲ್ಲಿ y ಗಾಗಿ 4 ಬದಲಿಸಿ. ಏಕೆಂದರೆ ಫಲಿತಾಂಶ ಸಮೀಕರಣವು ಕೇವಲ ಒಂದು ಚರಾಂಶ ಹೊಂದಿದೆ, ನೀವು ನೇರವಾಗಿ x ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು.

$$x=\frac{2}{3}\times 4+\frac{1}{3}$$

4 ಅನ್ನು \frac{2}{3} ಬಾರಿ ಗುಣಿಸಿ.

$$x=\frac{8+1}{3}$$

ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದವನ್ನು ಹುಡುಕುವ ಮತ್ತು ಅಂಶಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ \frac{8}{3} ಗೆ \frac{1}{3} ಸೇರಿಸಿ. ತದನಂತರ ಸಾಧ್ಯವಾದರೆ, ಅತಿ ಕಡಿಮೆ ಪದಗಳಿಗೆ ಭಿನ್ನಾಂಶವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಿ.

$$x=3$$

ಸಿಸ್ಟಂ ಅನ್ನು ಇದೀಗ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗಿದೆ.

$$x=3,y=4$$

ಮಾತೃಕೆಗಳ ಬಳಸುವಿಕೆ ಕ್ರಮಗಳು

ಮೊದಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣ ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಭಾಗಿಸುವಿಕೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸದೇ ಇರುವುದರಿಂದ y ವೇರಿಯೇಬಲ್ -2 ಗೆ ಸಮನಾಗಿರಬಾರದು. ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು 3\left(y+2\right), y+2,3 ರ ಕನಿಷ್ಠ ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದದಿಂದ ಗುಣಾಕಾರ ಮಾಡಿ.

$$3\left(x+1\right)=2\left(y+2\right)$$

x+1 ದಿಂದ 3 ಗುಣಿಸಲು ವಿಭಾಜಕ ಗುಣವನ್ನು ಬಳಸಿ.

$$3x+3=2\left(y+2\right)$$

y+2 ದಿಂದ 2 ಗುಣಿಸಲು ವಿಭಾಜಕ ಗುಣವನ್ನು ಬಳಸಿ.

$$3x+3=2y+4$$

ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಿಂದ 2y ಕಳೆಯಿರಿ.

$$3x+3-2y=4$$

ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಿಂದ 3 ಕಳೆಯಿರಿ.

$$3x-2y=4-3$$

1 ಪಡೆದುಕೊಳ್ಳಲು 4 ದಿಂದ 3 ಕಳೆಯಿರಿ.

$$3x-2y=1$$

ಎರಡನೆಯ ಸಮೀಕರಣ ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಭಾಗಿಸುವಿಕೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸದೇ ಇರುವುದರಿಂದ y ವೇರಿಯೇಬಲ್ 1 ಗೆ ಸಮನಾಗಿರಬಾರದು. ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು 3\left(y-1\right), y-1,3 ರ ಕನಿಷ್ಠ ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದದಿಂದ ಗುಣಾಕಾರ ಮಾಡಿ.

$$3\left(x-2\right)=y-1$$

x-2 ದಿಂದ 3 ಗುಣಿಸಲು ವಿಭಾಜಕ ಗುಣವನ್ನು ಬಳಸಿ.

$$3x-6=y-1$$

ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಿಂದ y ಕಳೆಯಿರಿ.

$$3x-6-y=-1$$

ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಿಗೆ 6 ಸೇರಿಸಿ.

$$3x-y=-1+6$$

5 ಪಡೆದುಕೊಳ್ಳಲು -1 ಮತ್ತು 6 ಸೇರಿಸಿ.

$$3x-y=5$$

ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪ್ರಮಾಣಿತ ಫಾರ್ಮ್‌ನಲ್ಲಿ ಇರಿಸಿ ತದನಂತರ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಸೈಸ್ ಬಳಸಿ.

$$3x-2y=1,3x-y=5$$

ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಮಾತೃಕೆ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&-2\\3&-1\end{matrix}\right) ನ ವಿಲೋಮ ಮಾತೃಕೆ ಮೂಲಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಎಡಕ್ಕೆ ಗುಣಾಕಾರ ಮಾಡಿ.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

ಮಾತೃಕೆ ಮತ್ತು ಅದರ ವಿಲೋಮದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಗುರುತು ಮಾತೃಕೆ ಆಗಿದೆ.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

ಸಮಾನ ಚಿಹ್ನೆಯ ಎಡ ಬದಿಯಲ್ಲಿ ಮಾತೃಕೆಗಳನ್ನು ಗುಣಾಕಾರ ಮಾಡಿ.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) ಗೆ; ವಿಲೋಮ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ಆಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಗುಣಾಕಾರ ಸಮಸ್ಯೆಯೆಂದು ಮರುಬರೆಯಬಹುದು.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{3\left(-1\right)-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{3\left(-1\right)-\left(-2\times 3\right)}&\frac{3}{3\left(-1\right)-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

ಅಂಕಗಣಿತ ಮಾಡಿ.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

ಮಾತೃಕೆಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಿ.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\times 5\\-1+5\end{matrix}\right)$$

ಅಂಕಗಣಿತ ಮಾಡಿ.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

ಮಾತೃಕೆ ಅಂಶಗಳು x ಮತ್ತು y ಬೇರೆ ಮಾಡಿ.

$$x=3,y=4$$

ತೆಗೆದುಹಾಕುವಿಕೆ ಬಳಸುವಿಕೆ ಕ್ರಮಗಳು

ಮೊದಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣ ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಭಾಗಿಸುವಿಕೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸದೇ ಇರುವುದರಿಂದ y ವೇರಿಯೇಬಲ್ -2 ಗೆ ಸಮನಾಗಿರಬಾರದು. ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು 3\left(y+2\right), y+2,3 ರ ಕನಿಷ್ಠ ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದದಿಂದ ಗುಣಾಕಾರ ಮಾಡಿ.

$$3\left(x+1\right)=2\left(y+2\right)$$

x+1 ದಿಂದ 3 ಗುಣಿಸಲು ವಿಭಾಜಕ ಗುಣವನ್ನು ಬಳಸಿ.

$$3x+3=2\left(y+2\right)$$

y+2 ದಿಂದ 2 ಗುಣಿಸಲು ವಿಭಾಜಕ ಗುಣವನ್ನು ಬಳಸಿ.

$$3x+3=2y+4$$

ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಿಂದ 2y ಕಳೆಯಿರಿ.

$$3x+3-2y=4$$

ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಿಂದ 3 ಕಳೆಯಿರಿ.

$$3x-2y=4-3$$

1 ಪಡೆದುಕೊಳ್ಳಲು 4 ದಿಂದ 3 ಕಳೆಯಿರಿ.

$$3x-2y=1$$

ಎರಡನೆಯ ಸಮೀಕರಣ ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಭಾಗಿಸುವಿಕೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸದೇ ಇರುವುದರಿಂದ y ವೇರಿಯೇಬಲ್ 1 ಗೆ ಸಮನಾಗಿರಬಾರದು. ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು 3\left(y-1\right), y-1,3 ರ ಕನಿಷ್ಠ ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದದಿಂದ ಗುಣಾಕಾರ ಮಾಡಿ.

$$3\left(x-2\right)=y-1$$

x-2 ದಿಂದ 3 ಗುಣಿಸಲು ವಿಭಾಜಕ ಗುಣವನ್ನು ಬಳಸಿ.

$$3x-6=y-1$$

ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಿಂದ y ಕಳೆಯಿರಿ.

$$3x-6-y=-1$$

ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಿಗೆ 6 ಸೇರಿಸಿ.

$$3x-y=-1+6$$

5 ಪಡೆದುಕೊಳ್ಳಲು -1 ಮತ್ತು 6 ಸೇರಿಸಿ.

$$3x-y=5$$

ತೆಗೆದುಹಾಕುವಿಕೆ ಮೂಲಕ ಪರಿಹರಿಸಲು, ಚರಾಂಶಗಳಲ್ಲಿನ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಆಗಿರಬೇಕು ಈ ಮೂಲಕ ಇತರೆಯಿಂದ ಒಂದು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ವ್ಯವಕಲನ ಮಾಡಿದಾಗ ಚರಾಂಶವನ್ನು ರದ್ದುಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

$$3x-2y=1,3x-y=5$$

ಸಮ ಚಿಹ್ನೆಯ ಪ್ರತಿ ಬದಿಯಲ್ಲಿ ಪದಗಳಂತಹವುಗಳನ್ನು ಕಳೆಯುವ ಮೂಲಕ 3x-2y=1 ದಿಂದ 3x-y=5 ಕಳೆಯಿರಿ.

$$3x-3x-2y+y=1-5$$

-3x ಗೆ 3x ಸೇರಿಸಿ. ನಿಯಮಗಳು 3x ಮತ್ತು -3x ರದ್ದುಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ, ಈ ಮೂಲಕ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದಾಗ ಏಕೈಕ ಚರಾಂಶದ ಜೊತೆಗೆ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಉಳಿಸಿದೆ.

$$-2y+y=1-5$$

y ಗೆ -2y ಸೇರಿಸಿ.

$$-y=1-5$$

-5 ಗೆ 1 ಸೇರಿಸಿ.

$$-y=-4$$

-1 ದಿಂದ ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಲ್ಲಿ ಭಾಗಿಸಿ.

$$y=4$$

3x-y=5 ನಲ್ಲಿ y ಗಾಗಿ 4 ಬದಲಿಸಿ. ಏಕೆಂದರೆ ಫಲಿತಾಂಶ ಸಮೀಕರಣವು ಕೇವಲ ಒಂದು ಚರಾಂಶ ಹೊಂದಿದೆ, ನೀವು ನೇರವಾಗಿ x ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು.

$$3x-4=5$$

ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಲ್ಲಿ 4 ಸೇರಿಸಿ.

$$3x=9$$

3 ದಿಂದ ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಲ್ಲಿ ಭಾಗಿಸಿ.

$$x=3$$

ಸಿಸ್ಟಂ ಅನ್ನು ಇದೀಗ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗಿದೆ.

$$x=3,y=4$$