{l}{2/3x+1/7y=9}{1/3x-5/7y=-12} ಪರಿಹರಿಸಿ

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 2 } { 3 } x + \frac { 1 } { 7 } y = 9 } \\ { \frac { 1 } { 3 } x - \frac { 5 } { 7 } y = - 12 } \end{array} \right.$$

x, y ಪರಿಹರಿಸಿ

$$x=9$$

$$y=21$$

ಪರ್ಯಾಯ ಬಳಸುವಿಕೆ ಕ್ರಮಗಳು

ಪರ್ಯಾಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಮೀಕರಣಗಳ ಜೋಡಿಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ಮೊದಲು ಚರಾಂಶಗಳ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಒಂದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ. ತದನಂತರ ಇತರ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಆ ಚರಾಂಶಕ್ಕೆ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಬದಲಿಸಿ.

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{7}y=9,\frac{1}{3}x-\frac{5}{7}y=-12$$

ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಆರಿಸಿ ಹಾಗೂ ಸಮ ಚಿಹ್ನೆಯ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ x ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುವ ಮೂಲಕ x ಗಾಗಿ ಅದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ.

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{7}y=9$$

ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಿಂದ \frac{y}{7} ಕಳೆಯಿರಿ.

$$\frac{2}{3}x=-\frac{1}{7}y+9$$

ಭಿನ್ನಾಂಕದ ವ್ಯುತ್ಕ್ರಮದಿಂದ ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಲ್ಲಿ ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಯಾವುದು ಒಂದೇ ಬರುತ್ತದೆಯೋ, \frac{2}{3} ದಿಂದ ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಲ್ಲಿ ಭಾಗಿಸಿ.

$$x=\frac{3}{2}\left(-\frac{1}{7}y+9\right)$$

-\frac{y}{7}+9 ಅನ್ನು \frac{3}{2} ಬಾರಿ ಗುಣಿಸಿ.

$$x=-\frac{3}{14}y+\frac{27}{2}$$

ಇತರ ಸಮೀಕರಣ \frac{1}{3}x-\frac{5}{7}y=-12 ನಲ್ಲಿ x ಗಾಗಿ -\frac{3y}{14}+\frac{27}{2} ಬದಲಿಸಿ.

$$\frac{1}{3}\left(-\frac{3}{14}y+\frac{27}{2}\right)-\frac{5}{7}y=-12$$

-\frac{3y}{14}+\frac{27}{2} ಅನ್ನು \frac{1}{3} ಬಾರಿ ಗುಣಿಸಿ.

$$-\frac{1}{14}y+\frac{9}{2}-\frac{5}{7}y=-12$$

-\frac{5y}{7} ಗೆ -\frac{y}{14} ಸೇರಿಸಿ.

$$-\frac{11}{14}y+\frac{9}{2}=-12$$

ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಿಂದ \frac{9}{2} ಕಳೆಯಿರಿ.

$$-\frac{11}{14}y=-\frac{33}{2}$$

ಭಿನ್ನಾಂಕದ ವ್ಯುತ್ಕ್ರಮದಿಂದ ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಲ್ಲಿ ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಯಾವುದು ಒಂದೇ ಬರುತ್ತದೆಯೋ, -\frac{11}{14} ದಿಂದ ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಲ್ಲಿ ಭಾಗಿಸಿ.

$$y=21$$

x=-\frac{3}{14}y+\frac{27}{2} ನಲ್ಲಿ y ಗಾಗಿ 21 ಬದಲಿಸಿ. ಏಕೆಂದರೆ ಫಲಿತಾಂಶ ಸಮೀಕರಣವು ಕೇವಲ ಒಂದು ಚರಾಂಶ ಹೊಂದಿದೆ, ನೀವು ನೇರವಾಗಿ x ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು.

$$x=-\frac{3}{14}\times 21+\frac{27}{2}$$

21 ಅನ್ನು -\frac{3}{14} ಬಾರಿ ಗುಣಿಸಿ.

$$x=\frac{-9+27}{2}$$

ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದವನ್ನು ಹುಡುಕುವ ಮತ್ತು ಅಂಶಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ -\frac{9}{2} ಗೆ \frac{27}{2} ಸೇರಿಸಿ. ತದನಂತರ ಸಾಧ್ಯವಾದರೆ, ಅತಿ ಕಡಿಮೆ ಪದಗಳಿಗೆ ಭಿನ್ನಾಂಶವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಿ.

$$x=9$$

ಸಿಸ್ಟಂ ಅನ್ನು ಇದೀಗ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗಿದೆ.

$$x=9,y=21$$

ಮಾತೃಕೆಗಳ ಬಳಸುವಿಕೆ ಕ್ರಮಗಳು

ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪ್ರಮಾಣಿತ ಫಾರ್ಮ್‌ನಲ್ಲಿ ಇರಿಸಿ ತದನಂತರ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಸೈಸ್ ಬಳಸಿ.

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{7}y=9,\frac{1}{3}x-\frac{5}{7}y=-12$$

ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಮಾತೃಕೆ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ.

$$\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{7}\\\frac{1}{3}&-\frac{5}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\-12\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{7}\\\frac{1}{3}&-\frac{5}{7}\end{matrix}\right) ನ ವಿಲೋಮ ಮಾತೃಕೆ ಮೂಲಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಎಡಕ್ಕೆ ಗುಣಾಕಾರ ಮಾಡಿ.

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{7}\\\frac{1}{3}&-\frac{5}{7}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{7}\\\frac{1}{3}&-\frac{5}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{7}\\\frac{1}{3}&-\frac{5}{7}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-12\end{matrix}\right)$$

ಮಾತೃಕೆ ಮತ್ತು ಅದರ ವಿಲೋಮದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಗುರುತು ಮಾತೃಕೆ ಆಗಿದೆ.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{7}\\\frac{1}{3}&-\frac{5}{7}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-12\end{matrix}\right)$$

ಸಮಾನ ಚಿಹ್ನೆಯ ಎಡ ಬದಿಯಲ್ಲಿ ಮಾತೃಕೆಗಳನ್ನು ಗುಣಾಕಾರ ಮಾಡಿ.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{7}\\\frac{1}{3}&-\frac{5}{7}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-12\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) ಗೆ; ವಿಲೋಮ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ಆಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಗುಣಾಕಾರ ಸಮಸ್ಯೆಯೆಂದು ಮರುಬರೆಯಬಹುದು.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{5}{7}}{\frac{2}{3}\left(-\frac{5}{7}\right)-\frac{1}{7}\times \frac{1}{3}}&-\frac{\frac{1}{7}}{\frac{2}{3}\left(-\frac{5}{7}\right)-\frac{1}{7}\times \frac{1}{3}}\\-\frac{\frac{1}{3}}{\frac{2}{3}\left(-\frac{5}{7}\right)-\frac{1}{7}\times \frac{1}{3}}&\frac{\frac{2}{3}}{\frac{2}{3}\left(-\frac{5}{7}\right)-\frac{1}{7}\times \frac{1}{3}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-12\end{matrix}\right)$$

ಅಂಕಗಣಿತ ಮಾಡಿ.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{11}&\frac{3}{11}\\\frac{7}{11}&-\frac{14}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-12\end{matrix}\right)$$

ಮಾತೃಕೆಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಿ.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{11}\times 9+\frac{3}{11}\left(-12\right)\\\frac{7}{11}\times 9-\frac{14}{11}\left(-12\right)\end{matrix}\right)$$

ಅಂಕಗಣಿತ ಮಾಡಿ.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\21\end{matrix}\right)$$

ಮಾತೃಕೆ ಅಂಶಗಳು x ಮತ್ತು y ಬೇರೆ ಮಾಡಿ.

$$x=9,y=21$$

ತೆಗೆದುಹಾಕುವಿಕೆ ಬಳಸುವಿಕೆ ಕ್ರಮಗಳು

ತೆಗೆದುಹಾಕುವಿಕೆ ಮೂಲಕ ಪರಿಹರಿಸಲು, ಚರಾಂಶಗಳಲ್ಲಿನ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಆಗಿರಬೇಕು ಈ ಮೂಲಕ ಇತರೆಯಿಂದ ಒಂದು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ವ್ಯವಕಲನ ಮಾಡಿದಾಗ ಚರಾಂಶವನ್ನು ರದ್ದುಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{7}y=9,\frac{1}{3}x-\frac{5}{7}y=-12$$

\frac{2x}{3} ಮತ್ತು \frac{x}{3} ಸಮವಾಗಿ ಮಾಡಲು, ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣದ ಪ್ರತಿ ಬದಿಯಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಪದಗಳನ್ನು \frac{1}{3} ಎರಡನೇ ಪ್ರತಿ ಬದಿಯಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಪದಗಳನ್ನು \frac{2}{3} ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ.

$$\frac{1}{3}\times \frac{2}{3}x+\frac{1}{3}\times \frac{1}{7}y=\frac{1}{3}\times 9,\frac{2}{3}\times \frac{1}{3}x+\frac{2}{3}\left(-\frac{5}{7}\right)y=\frac{2}{3}\left(-12\right)$$

ಸರಳೀಕೃತಗೊಳಿಸಿ.

$$\frac{2}{9}x+\frac{1}{21}y=3,\frac{2}{9}x-\frac{10}{21}y=-8$$

ಸಮ ಚಿಹ್ನೆಯ ಪ್ರತಿ ಬದಿಯಲ್ಲಿ ಪದಗಳಂತಹವುಗಳನ್ನು ಕಳೆಯುವ ಮೂಲಕ \frac{2}{9}x+\frac{1}{21}y=3 ದಿಂದ \frac{2}{9}x-\frac{10}{21}y=-8 ಕಳೆಯಿರಿ.

$$\frac{2}{9}x-\frac{2}{9}x+\frac{1}{21}y+\frac{10}{21}y=3+8$$

-\frac{2x}{9} ಗೆ \frac{2x}{9} ಸೇರಿಸಿ. ನಿಯಮಗಳು \frac{2x}{9} ಮತ್ತು -\frac{2x}{9} ರದ್ದುಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ, ಈ ಮೂಲಕ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದಾಗ ಏಕೈಕ ಚರಾಂಶದ ಜೊತೆಗೆ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಉಳಿಸಿದೆ.

$$\frac{1}{21}y+\frac{10}{21}y=3+8$$

\frac{10y}{21} ಗೆ \frac{y}{21} ಸೇರಿಸಿ.

$$\frac{11}{21}y=3+8$$

8 ಗೆ 3 ಸೇರಿಸಿ.

$$\frac{11}{21}y=11$$

ಭಿನ್ನಾಂಕದ ವ್ಯುತ್ಕ್ರಮದಿಂದ ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಲ್ಲಿ ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಯಾವುದು ಒಂದೇ ಬರುತ್ತದೆಯೋ, \frac{11}{21} ದಿಂದ ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಲ್ಲಿ ಭಾಗಿಸಿ.

$$y=21$$

\frac{1}{3}x-\frac{5}{7}y=-12 ನಲ್ಲಿ y ಗಾಗಿ 21 ಬದಲಿಸಿ. ಏಕೆಂದರೆ ಫಲಿತಾಂಶ ಸಮೀಕರಣವು ಕೇವಲ ಒಂದು ಚರಾಂಶ ಹೊಂದಿದೆ, ನೀವು ನೇರವಾಗಿ x ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು.

$$\frac{1}{3}x-\frac{5}{7}\times 21=-12$$

21 ಅನ್ನು -\frac{5}{7} ಬಾರಿ ಗುಣಿಸಿ.

$$\frac{1}{3}x-15=-12$$

ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಲ್ಲಿ 15 ಸೇರಿಸಿ.

$$\frac{1}{3}x=3$$

3 ಮೂಲಕ ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಲ್ಲಿ ಗುಣಿಸಿ.

$$x=9$$

ಸಿಸ್ಟಂ ಅನ್ನು ಇದೀಗ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗಿದೆ.

$$x=9,y=21$$