{l}{1/2x-4/5y=-2}{1/6x-1/3y=2} ಪರಿಹರಿಸಿ

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 1 } { 2 } x - \frac { 4 } { 5 } y = - 2 } \\ { \frac { 1 } { 6 } x - \frac { 1 } { 3 } y = 2 } \end{array} \right.$$

x, y ಪರಿಹರಿಸಿ

$$x=-68$$

$$y=-40$$

ಪರ್ಯಾಯ ಬಳಸುವಿಕೆ ಕ್ರಮಗಳು

ಪರ್ಯಾಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಮೀಕರಣಗಳ ಜೋಡಿಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ಮೊದಲು ಚರಾಂಶಗಳ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಒಂದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ. ತದನಂತರ ಇತರ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಆ ಚರಾಂಶಕ್ಕೆ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಬದಲಿಸಿ.

$$\frac{1}{2}x-\frac{4}{5}y=-2,\frac{1}{6}x-\frac{1}{3}y=2$$

ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಆರಿಸಿ ಹಾಗೂ ಸಮ ಚಿಹ್ನೆಯ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ x ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುವ ಮೂಲಕ x ಗಾಗಿ ಅದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ.

$$\frac{1}{2}x-\frac{4}{5}y=-2$$

ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಲ್ಲಿ \frac{4y}{5} ಸೇರಿಸಿ.

$$\frac{1}{2}x=\frac{4}{5}y-2$$

2 ಮೂಲಕ ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಲ್ಲಿ ಗುಣಿಸಿ.

$$x=2\left(\frac{4}{5}y-2\right)$$

\frac{4y}{5}-2 ಅನ್ನು 2 ಬಾರಿ ಗುಣಿಸಿ.

$$x=\frac{8}{5}y-4$$

ಇತರ ಸಮೀಕರಣ \frac{1}{6}x-\frac{1}{3}y=2 ನಲ್ಲಿ x ಗಾಗಿ \frac{8y}{5}-4 ಬದಲಿಸಿ.

$$\frac{1}{6}\left(\frac{8}{5}y-4\right)-\frac{1}{3}y=2$$

\frac{8y}{5}-4 ಅನ್ನು \frac{1}{6} ಬಾರಿ ಗುಣಿಸಿ.

$$\frac{4}{15}y-\frac{2}{3}-\frac{1}{3}y=2$$

-\frac{y}{3} ಗೆ \frac{4y}{15} ಸೇರಿಸಿ.

$$-\frac{1}{15}y-\frac{2}{3}=2$$

ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಲ್ಲಿ \frac{2}{3} ಸೇರಿಸಿ.

$$-\frac{1}{15}y=\frac{8}{3}$$

-15 ಮೂಲಕ ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಲ್ಲಿ ಗುಣಿಸಿ.

$$y=-40$$

x=\frac{8}{5}y-4 ನಲ್ಲಿ y ಗಾಗಿ -40 ಬದಲಿಸಿ. ಏಕೆಂದರೆ ಫಲಿತಾಂಶ ಸಮೀಕರಣವು ಕೇವಲ ಒಂದು ಚರಾಂಶ ಹೊಂದಿದೆ, ನೀವು ನೇರವಾಗಿ x ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು.

$$x=\frac{8}{5}\left(-40\right)-4$$

-40 ಅನ್ನು \frac{8}{5} ಬಾರಿ ಗುಣಿಸಿ.

$$x=-64-4$$

-64 ಗೆ -4 ಸೇರಿಸಿ.

$$x=-68$$

ಸಿಸ್ಟಂ ಅನ್ನು ಇದೀಗ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗಿದೆ.

$$x=-68,y=-40$$

ಮಾತೃಕೆಗಳ ಬಳಸುವಿಕೆ ಕ್ರಮಗಳು

ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪ್ರಮಾಣಿತ ಫಾರ್ಮ್‌ನಲ್ಲಿ ಇರಿಸಿ ತದನಂತರ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಸೈಸ್ ಬಳಸಿ.

$$\frac{1}{2}x-\frac{4}{5}y=-2,\frac{1}{6}x-\frac{1}{3}y=2$$

ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಮಾತೃಕೆ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ.

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{4}{5}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{4}{5}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right) ನ ವಿಲೋಮ ಮಾತೃಕೆ ಮೂಲಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಎಡಕ್ಕೆ ಗುಣಾಕಾರ ಮಾಡಿ.

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{4}{5}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{4}{5}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{4}{5}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

ಮಾತೃಕೆ ಮತ್ತು ಅದರ ವಿಲೋಮದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಗುರುತು ಮಾತೃಕೆ ಆಗಿದೆ.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{4}{5}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

ಸಮಾನ ಚಿಹ್ನೆಯ ಎಡ ಬದಿಯಲ್ಲಿ ಮಾತೃಕೆಗಳನ್ನು ಗುಣಾಕಾರ ಮಾಡಿ.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{4}{5}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) ಗೆ; ವಿಲೋಮ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ಆಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಗುಣಾಕಾರ ಸಮಸ್ಯೆಯೆಂದು ಮರುಬರೆಯಬಹುದು.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{3}\right)-\left(-\frac{4}{5}\times \frac{1}{6}\right)}&-\frac{-\frac{4}{5}}{\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{3}\right)-\left(-\frac{4}{5}\times \frac{1}{6}\right)}\\-\frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{3}\right)-\left(-\frac{4}{5}\times \frac{1}{6}\right)}&\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{3}\right)-\left(-\frac{4}{5}\times \frac{1}{6}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

ಅಂಕಗಣಿತ ಮಾಡಿ.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10&-24\\5&-15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

ಮಾತೃಕೆಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಿ.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\left(-2\right)-24\times 2\\5\left(-2\right)-15\times 2\end{matrix}\right)$$

ಅಂಕಗಣಿತ ಮಾಡಿ.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-68\\-40\end{matrix}\right)$$

ಮಾತೃಕೆ ಅಂಶಗಳು x ಮತ್ತು y ಬೇರೆ ಮಾಡಿ.

$$x=-68,y=-40$$

ತೆಗೆದುಹಾಕುವಿಕೆ ಬಳಸುವಿಕೆ ಕ್ರಮಗಳು

ತೆಗೆದುಹಾಕುವಿಕೆ ಮೂಲಕ ಪರಿಹರಿಸಲು, ಚರಾಂಶಗಳಲ್ಲಿನ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಆಗಿರಬೇಕು ಈ ಮೂಲಕ ಇತರೆಯಿಂದ ಒಂದು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ವ್ಯವಕಲನ ಮಾಡಿದಾಗ ಚರಾಂಶವನ್ನು ರದ್ದುಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

$$\frac{1}{2}x-\frac{4}{5}y=-2,\frac{1}{6}x-\frac{1}{3}y=2$$

\frac{x}{2} ಮತ್ತು \frac{x}{6} ಸಮವಾಗಿ ಮಾಡಲು, ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣದ ಪ್ರತಿ ಬದಿಯಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಪದಗಳನ್ನು \frac{1}{6} ಎರಡನೇ ಪ್ರತಿ ಬದಿಯಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಪದಗಳನ್ನು \frac{1}{2} ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ.

$$\frac{1}{6}\times \frac{1}{2}x+\frac{1}{6}\left(-\frac{4}{5}\right)y=\frac{1}{6}\left(-2\right),\frac{1}{2}\times \frac{1}{6}x+\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{3}\right)y=\frac{1}{2}\times 2$$

ಸರಳೀಕೃತಗೊಳಿಸಿ.

$$\frac{1}{12}x-\frac{2}{15}y=-\frac{1}{3},\frac{1}{12}x-\frac{1}{6}y=1$$

ಸಮ ಚಿಹ್ನೆಯ ಪ್ರತಿ ಬದಿಯಲ್ಲಿ ಪದಗಳಂತಹವುಗಳನ್ನು ಕಳೆಯುವ ಮೂಲಕ \frac{1}{12}x-\frac{2}{15}y=-\frac{1}{3} ದಿಂದ \frac{1}{12}x-\frac{1}{6}y=1 ಕಳೆಯಿರಿ.

$$\frac{1}{12}x-\frac{1}{12}x-\frac{2}{15}y+\frac{1}{6}y=-\frac{1}{3}-1$$

-\frac{x}{12} ಗೆ \frac{x}{12} ಸೇರಿಸಿ. ನಿಯಮಗಳು \frac{x}{12} ಮತ್ತು -\frac{x}{12} ರದ್ದುಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ, ಈ ಮೂಲಕ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದಾಗ ಏಕೈಕ ಚರಾಂಶದ ಜೊತೆಗೆ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಉಳಿಸಿದೆ.

$$-\frac{2}{15}y+\frac{1}{6}y=-\frac{1}{3}-1$$

\frac{y}{6} ಗೆ -\frac{2y}{15} ಸೇರಿಸಿ.

$$\frac{1}{30}y=-\frac{1}{3}-1$$

-1 ಗೆ -\frac{1}{3} ಸೇರಿಸಿ.

$$\frac{1}{30}y=-\frac{4}{3}$$

30 ಮೂಲಕ ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಲ್ಲಿ ಗುಣಿಸಿ.

$$y=-40$$

\frac{1}{6}x-\frac{1}{3}y=2 ನಲ್ಲಿ y ಗಾಗಿ -40 ಬದಲಿಸಿ. ಏಕೆಂದರೆ ಫಲಿತಾಂಶ ಸಮೀಕರಣವು ಕೇವಲ ಒಂದು ಚರಾಂಶ ಹೊಂದಿದೆ, ನೀವು ನೇರವಾಗಿ x ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು.

$$\frac{1}{6}x-\frac{1}{3}\left(-40\right)=2$$

-40 ಅನ್ನು -\frac{1}{3} ಬಾರಿ ಗುಣಿಸಿ.

$$\frac{1}{6}x+\frac{40}{3}=2$$

ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಿಂದ \frac{40}{3} ಕಳೆಯಿರಿ.

$$\frac{1}{6}x=-\frac{34}{3}$$

6 ಮೂಲಕ ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಲ್ಲಿ ಗುಣಿಸಿ.

$$x=-68$$

ಸಿಸ್ಟಂ ಅನ್ನು ಇದೀಗ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗಿದೆ.

$$x=-68,y=-40$$