{c}{9X-3Y=-9}{3X+Y=9} ಪರಿಹರಿಸಿ

$$\left. \begin{array} { c } { 9 X - 3 Y = - 9 } \\ { 3 X + Y = 9 } \end{array} \right.$$

X, Y ಪರಿಹರಿಸಿ

$$X=1$$

$$Y=6$$

ಪರ್ಯಾಯ ಬಳಸುವಿಕೆ ಕ್ರಮಗಳು

ಪರ್ಯಾಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಮೀಕರಣಗಳ ಜೋಡಿಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ಮೊದಲು ಚರಾಂಶಗಳ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಒಂದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ. ತದನಂತರ ಇತರ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಆ ಚರಾಂಶಕ್ಕೆ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಬದಲಿಸಿ.

$$9X-3Y=-9,3X+Y=9$$

ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಆರಿಸಿ ಹಾಗೂ ಸಮ ಚಿಹ್ನೆಯ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ X ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುವ ಮೂಲಕ X ಗಾಗಿ ಅದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ.

$$9X-3Y=-9$$

ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಲ್ಲಿ 3Y ಸೇರಿಸಿ.

$$9X=3Y-9$$

9 ದಿಂದ ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಲ್ಲಿ ಭಾಗಿಸಿ.

$$X=\frac{1}{9}\left(3Y-9\right)$$

-9+3Y ಅನ್ನು \frac{1}{9} ಬಾರಿ ಗುಣಿಸಿ.

$$X=\frac{1}{3}Y-1$$

ಇತರ ಸಮೀಕರಣ 3X+Y=9 ನಲ್ಲಿ X ಗಾಗಿ \frac{Y}{3}-1 ಬದಲಿಸಿ.

$$3\left(\frac{1}{3}Y-1\right)+Y=9$$

\frac{Y}{3}-1 ಅನ್ನು 3 ಬಾರಿ ಗುಣಿಸಿ.

$$Y-3+Y=9$$

Y ಗೆ Y ಸೇರಿಸಿ.

$$2Y-3=9$$

ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಲ್ಲಿ 3 ಸೇರಿಸಿ.

$$2Y=12$$

2 ದಿಂದ ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಲ್ಲಿ ಭಾಗಿಸಿ.

$$Y=6$$

X=\frac{1}{3}Y-1 ನಲ್ಲಿ Y ಗಾಗಿ 6 ಬದಲಿಸಿ. ಏಕೆಂದರೆ ಫಲಿತಾಂಶ ಸಮೀಕರಣವು ಕೇವಲ ಒಂದು ಚರಾಂಶ ಹೊಂದಿದೆ, ನೀವು ನೇರವಾಗಿ X ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು.

$$X=\frac{1}{3}\times 6-1$$

6 ಅನ್ನು \frac{1}{3} ಬಾರಿ ಗುಣಿಸಿ.

$$X=2-1$$

2 ಗೆ -1 ಸೇರಿಸಿ.

$$X=1$$

ಸಿಸ್ಟಂ ಅನ್ನು ಇದೀಗ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗಿದೆ.

$$X=1,Y=6$$

ಮಾತೃಕೆಗಳ ಬಳಸುವಿಕೆ ಕ್ರಮಗಳು

ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪ್ರಮಾಣಿತ ಫಾರ್ಮ್‌ನಲ್ಲಿ ಇರಿಸಿ ತದನಂತರ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಸೈಸ್ ಬಳಸಿ.

$$9X-3Y=-9,3X+Y=9$$

ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಮಾತೃಕೆ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ.

$$\left(\begin{matrix}9&-3\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\9\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}9&-3\\3&1\end{matrix}\right) ನ ವಿಲೋಮ ಮಾತೃಕೆ ಮೂಲಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಎಡಕ್ಕೆ ಗುಣಾಕಾರ ಮಾಡಿ.

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&-3\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&-3\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-3\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\9\end{matrix}\right)$$

ಮಾತೃಕೆ ಮತ್ತು ಅದರ ವಿಲೋಮದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಗುರುತು ಮಾತೃಕೆ ಆಗಿದೆ.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-3\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\9\end{matrix}\right)$$

ಸಮಾನ ಚಿಹ್ನೆಯ ಎಡ ಬದಿಯಲ್ಲಿ ಮಾತೃಕೆಗಳನ್ನು ಗುಣಾಕಾರ ಮಾಡಿ.

$$\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-3\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) ಗೆ; ವಿಲೋಮ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ಆಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಗುಣಾಕಾರ ಸಮಸ್ಯೆಯೆಂದು ಮರುಬರೆಯಬಹುದು.

$$\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{9-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{9-\left(-3\times 3\right)}&\frac{9}{9-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\9\end{matrix}\right)$$

ಅಂಕಗಣಿತ ಮಾಡಿ.

$$\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{18}&\frac{1}{6}\\-\frac{1}{6}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\9\end{matrix}\right)$$

ಮಾತೃಕೆಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಿ.

$$\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{18}\left(-9\right)+\frac{1}{6}\times 9\\-\frac{1}{6}\left(-9\right)+\frac{1}{2}\times 9\end{matrix}\right)$$

ಅಂಕಗಣಿತ ಮಾಡಿ.

$$\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\6\end{matrix}\right)$$

ಮಾತೃಕೆ ಅಂಶಗಳು X ಮತ್ತು Y ಬೇರೆ ಮಾಡಿ.

$$X=1,Y=6$$

ತೆಗೆದುಹಾಕುವಿಕೆ ಬಳಸುವಿಕೆ ಕ್ರಮಗಳು

ತೆಗೆದುಹಾಕುವಿಕೆ ಮೂಲಕ ಪರಿಹರಿಸಲು, ಚರಾಂಶಗಳಲ್ಲಿನ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಆಗಿರಬೇಕು ಈ ಮೂಲಕ ಇತರೆಯಿಂದ ಒಂದು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ವ್ಯವಕಲನ ಮಾಡಿದಾಗ ಚರಾಂಶವನ್ನು ರದ್ದುಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

$$9X-3Y=-9,3X+Y=9$$

9X ಮತ್ತು 3X ಸಮವಾಗಿ ಮಾಡಲು, ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣದ ಪ್ರತಿ ಬದಿಯಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಪದಗಳನ್ನು 3 ಎರಡನೇ ಪ್ರತಿ ಬದಿಯಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಪದಗಳನ್ನು 9 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ.

$$3\times 9X+3\left(-3\right)Y=3\left(-9\right),9\times 3X+9Y=9\times 9$$

ಸರಳೀಕೃತಗೊಳಿಸಿ.

$$27X-9Y=-27,27X+9Y=81$$

ಸಮ ಚಿಹ್ನೆಯ ಪ್ರತಿ ಬದಿಯಲ್ಲಿ ಪದಗಳಂತಹವುಗಳನ್ನು ಕಳೆಯುವ ಮೂಲಕ 27X-9Y=-27 ದಿಂದ 27X+9Y=81 ಕಳೆಯಿರಿ.

$$27X-27X-9Y-9Y=-27-81$$

-27X ಗೆ 27X ಸೇರಿಸಿ. ನಿಯಮಗಳು 27X ಮತ್ತು -27X ರದ್ದುಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ, ಈ ಮೂಲಕ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದಾಗ ಏಕೈಕ ಚರಾಂಶದ ಜೊತೆಗೆ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಉಳಿಸಿದೆ.

$$-9Y-9Y=-27-81$$

-9Y ಗೆ -9Y ಸೇರಿಸಿ.

$$-18Y=-27-81$$

-81 ಗೆ -27 ಸೇರಿಸಿ.

$$-18Y=-108$$

-18 ದಿಂದ ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಲ್ಲಿ ಭಾಗಿಸಿ.

$$Y=6$$

3X+Y=9 ನಲ್ಲಿ Y ಗಾಗಿ 6 ಬದಲಿಸಿ. ಏಕೆಂದರೆ ಫಲಿತಾಂಶ ಸಮೀಕರಣವು ಕೇವಲ ಒಂದು ಚರಾಂಶ ಹೊಂದಿದೆ, ನೀವು ನೇರವಾಗಿ X ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು.

$$3X+6=9$$

ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಿಂದ 6 ಕಳೆಯಿರಿ.

$$3X=3$$

3 ದಿಂದ ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಲ್ಲಿ ಭಾಗಿಸಿ.

$$X=1$$

ಸಿಸ್ಟಂ ಅನ್ನು ಇದೀಗ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗಿದೆ.

$$X=1,Y=6$$