{l}{y=kx+b}{x^2/4+y^2=1} ಪರಿಹರಿಸಿ

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = k x + b } \\ { \frac { x ^ { 2 } } { 4 } + y ^ { 2 } = 1 } \end{array} \right.$$

x, y ಪರಿಹರಿಸಿ

$$x=-\frac{2\left(2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}\text{, }y=\frac{-2k\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}+b}{4k^{2}+1}$$

$$x=\frac{2\left(-2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}\text{, }y=\frac{2k\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}+b}{4k^{2}+1}\text{, }|k|\geq \frac{\sqrt{b^{2}-1}}{2}\text{ or }|b|<1$$

ಪರ್ಯಾಯ ಮತ್ತು ವರ್ಗೀಯ ಸೂತ್ರ ಬಳಸುವಿಕೆ ಕ್ರಮಗಳು

ಮೊದಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣ ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಿಂದ kx ಕಳೆಯಿರಿ.

$$y-kx=b$$

ಎರಡನೆಯ ಸಮೀಕರಣ ಪರಿಗಣಿಸಿ. 4 ಮೂಲಕ ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡು ಕಡೆಗಳಲ್ಲಿ ಗುಣಿಸಿ.

$$x^{2}+4y^{2}=4$$

ಪರ್ಯಾಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಮೀಕರಣಗಳ ಜೋಡಿಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ಮೊದಲು ಚರಾಂಶಗಳ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಒಂದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ. ತದನಂತರ ಇತರ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಆ ಚರಾಂಶಕ್ಕೆ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಬದಲಿಸಿ.

$$y+\left(-k\right)x=b,x^{2}+4y^{2}=4$$

ಸಮ ಚಿಹ್ನೆಯ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ y ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುವ ಮೂಲಕ y ಗಾಗಿ y+\left(-k\right)x=b ಪರಿಹರಿಸಿ.

$$y+\left(-k\right)x=b$$

ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಿಂದ \left(-k\right)x ಕಳೆಯಿರಿ.

$$y=kx+b$$

ಇತರ ಸಮೀಕರಣ x^{2}+4y^{2}=4 ನಲ್ಲಿ y ಗಾಗಿ kx+b ಬದಲಿಸಿ.

$$x^{2}+4\left(kx+b\right)^{2}=4$$

ವರ್ಗ kx+b.

$$x^{2}+4\left(k^{2}x^{2}+2bkx+b^{2}\right)=4$$

k^{2}x^{2}+2bkx+b^{2} ಅನ್ನು 4 ಬಾರಿ ಗುಣಿಸಿ.

$$x^{2}+4k^{2}x^{2}+8bkx+4b^{2}=4$$

4k^{2}x^{2} ಗೆ x^{2} ಸೇರಿಸಿ.

$$\left(4k^{2}+1\right)x^{2}+8bkx+4b^{2}=4$$

ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಿಂದ 4 ಕಳೆಯಿರಿ.

$$\left(4k^{2}+1\right)x^{2}+8bkx+4b^{2}-4=0$$

ಈ ಸಮೀಕರಣವು ಪ್ರಮಾಣಿತ ಫಾರ್ಮ್‌ನಲ್ಲಿದೆ: ax^{2}+bx+c=0. ವರ್ಗ ಸೂತ್ರ \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ನಲ್ಲಿ a ಗೆ 1+4k^{2}, b ಗೆ 4\times 2kb ಮತ್ತು c ಗೆ -4+4b^{2} ಬದಲಿಸಿ.

$$x=\frac{-8bk±\sqrt{\left(8bk\right)^{2}-4\left(4k^{2}+1\right)\left(4b^{2}-4\right)}}{2\left(4k^{2}+1\right)}$$

ವರ್ಗ 4\times 2kb.

$$x=\frac{-8bk±\sqrt{64b^{2}k^{2}-4\left(4k^{2}+1\right)\left(4b^{2}-4\right)}}{2\left(4k^{2}+1\right)}$$

1+4k^{2} ಅನ್ನು -4 ಬಾರಿ ಗುಣಿಸಿ.

$$x=\frac{-8bk±\sqrt{64b^{2}k^{2}+\left(-16k^{2}-4\right)\left(4b^{2}-4\right)}}{2\left(4k^{2}+1\right)}$$

-4+4b^{2} ಅನ್ನು -4-16k^{2} ಬಾರಿ ಗುಣಿಸಿ.

$$x=\frac{-8bk±\sqrt{64b^{2}k^{2}-16\left(b^{2}-1\right)\left(4k^{2}+1\right)}}{2\left(4k^{2}+1\right)}$$

-16\left(1+4k^{2}\right)\left(b^{2}-1\right) ಗೆ 64k^{2}b^{2} ಸೇರಿಸಿ.

$$x=\frac{-8bk±\sqrt{16+64k^{2}-16b^{2}}}{2\left(4k^{2}+1\right)}$$

-16b^{2}+64k^{2}+16 ನ ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ.

$$x=\frac{-8bk±4\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}}{2\left(4k^{2}+1\right)}$$

1+4k^{2} ಅನ್ನು 2 ಬಾರಿ ಗುಣಿಸಿ.

$$x=\frac{-8bk±4\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}}{8k^{2}+2}$$

± ಎನ್ನುವುದು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುವಾಗ x=\frac{-8bk±4\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}}{8k^{2}+2} ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಇದೀಗ ಪರಿಹರಿಸಿ. 4\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1} ಗೆ -8kb ಸೇರಿಸಿ.

$$x=\frac{-8bk+4\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}}{8k^{2}+2}$$

2+8k^{2} ದಿಂದ -8bk+4\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1} ಭಾಗಿಸಿ.

$$x=\frac{2\left(-2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}$$

± ಎನ್ನುವುದು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುವಾಗ x=\frac{-8bk±4\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}}{8k^{2}+2} ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಇದೀಗ ಪರಿಹರಿಸಿ. -8kb ದಿಂದ 4\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1} ಕಳೆಯಿರಿ.

$$x=\frac{-8bk-4\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}}{8k^{2}+2}$$

2+8k^{2} ದಿಂದ -8kb-4\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1} ಭಾಗಿಸಿ.

$$x=-\frac{2\left(2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}$$

x ಗೆ ಎರಡು ಪರಿಹಾರಗಳಿವೆ: \frac{2\left(-2bk+\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1}\right)}{1+4k^{2}} ಮತ್ತು -\frac{2\left(2bk+\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1}\right)}{1+4k^{2}}. ಎರಡೂ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಗೊಳಿಸುವ y ಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಪರಿಹಾರ ಹುಡುಕಲು y=kx+b ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ x ಗಾಗಿ \frac{2\left(-2bk+\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1}\right)}{1+4k^{2}} ಬದಲಿಸಿ.

$$y=k\times \frac{2\left(-2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}+b$$

\frac{2\left(-2bk+\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1}\right)}{1+4k^{2}} ಅನ್ನು k ಬಾರಿ ಗುಣಿಸಿ.

$$y=\frac{2\left(-2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}k+b$$

ಇದೀಗ y=kx+b ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ x ಗಾಗಿ -\frac{2\left(2bk+\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1}\right)}{1+4k^{2}} ಅನ್ನು ಬದಲಿಸಿ ಹಾಗೂ ಎರಡೂ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುವ y ಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಪರಿಹಾರ ಹುಡುಕಲು ಪರಿಹರಿಸಿ.

$$y=k\left(-\frac{2\left(2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}\right)+b$$

-\frac{2\left(2bk+\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1}\right)}{1+4k^{2}} ಅನ್ನು k ಬಾರಿ ಗುಣಿಸಿ.

$$y=\left(-\frac{2\left(2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}\right)k+b$$

ಸಿಸ್ಟಂ ಅನ್ನು ಇದೀಗ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗಿದೆ.

$$y=\frac{2\left(-2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}k+b,x=\frac{2\left(-2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}\text{ or }y=\left(-\frac{2\left(2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}\right)k+b,x=-\frac{2\left(2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}$$