\left\{ \begin{array} { l } { x - \frac { 2 } { 3 } y = 2 } \\ { \frac { 1 } { 2 } x + \frac { 1 } { 3 } y = - 2 } \end{array} \right.
x, y ಪರಿಹರಿಸಿ
x=-1
y = -\frac{9}{2} = -4\frac{1}{2} = -4.5
ಗ್ರಾಫ್
ಹಂಚಿ
ಕ್ಲಿಪ್ಬೋರ್ಡ್ಗೆ ನಕಲಿಸಿ
x-\frac{2}{3}y=2,\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=-2
ಪರ್ಯಾಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಮೀಕರಣಗಳ ಜೋಡಿಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ಮೊದಲು ಚರಾಂಶಗಳ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಒಂದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ. ತದನಂತರ ಇತರ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಆ ಚರಾಂಶಕ್ಕೆ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಬದಲಿಸಿ.
x-\frac{2}{3}y=2
ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಆರಿಸಿ ಹಾಗೂ ಸಮ ಚಿಹ್ನೆಯ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ x ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುವ ಮೂಲಕ x ಗಾಗಿ ಅದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ.
x=\frac{2}{3}y+2
ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಲ್ಲಿ \frac{2y}{3} ಸೇರಿಸಿ.
\frac{1}{2}\left(\frac{2}{3}y+2\right)+\frac{1}{3}y=-2
ಇತರ ಸಮೀಕರಣ \frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=-2 ನಲ್ಲಿ x ಗಾಗಿ \frac{2y}{3}+2 ಬದಲಿಸಿ.
\frac{1}{3}y+1+\frac{1}{3}y=-2
\frac{2y}{3}+2 ಅನ್ನು \frac{1}{2} ಬಾರಿ ಗುಣಿಸಿ.
\frac{2}{3}y+1=-2
\frac{y}{3} ಗೆ \frac{y}{3} ಸೇರಿಸಿ.
\frac{2}{3}y=-3
ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಿಂದ 1 ಕಳೆಯಿರಿ.
y=-\frac{9}{2}
ಭಿನ್ನಾಂಕದ ವ್ಯುತ್ಕ್ರಮದಿಂದ ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಲ್ಲಿ ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಯಾವುದು ಒಂದೇ ಬರುತ್ತದೆಯೋ, \frac{2}{3} ದಿಂದ ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಲ್ಲಿ ಭಾಗಿಸಿ.
x=\frac{2}{3}\left(-\frac{9}{2}\right)+2
x=\frac{2}{3}y+2 ನಲ್ಲಿ y ಗಾಗಿ -\frac{9}{2} ಬದಲಿಸಿ. ಏಕೆಂದರೆ ಫಲಿತಾಂಶ ಸಮೀಕರಣವು ಕೇವಲ ಒಂದು ಚರಾಂಶ ಹೊಂದಿದೆ, ನೀವು ನೇರವಾಗಿ x ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು.
x=-3+2
ಸಂಖ್ಯಾಕಾರ ಸಮಯ ಸಂಖ್ಯಾಕಾರ ಮತ್ತು ಛೇದ ಸಮಯ ಛೇದವನ್ನು ಗುಣಿಸುವ ಮೂಲಕ -\frac{9}{2} ಅನ್ನು \frac{2}{3} ಬಾರಿ ಗುಣಿಸಿ. ತದನಂತರ ಸಾಧ್ಯವಾದರೆ, ಅತಿ ಕಡಿಮೆ ಪದಗಳಿಗೆ ಭಿನ್ನಾಂಶವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಿ.
x=-1
-3 ಗೆ 2 ಸೇರಿಸಿ.
x=-1,y=-\frac{9}{2}
ಸಿಸ್ಟಂ ಅನ್ನು ಇದೀಗ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗಿದೆ.
x-\frac{2}{3}y=2,\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=-2
ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪ್ರಮಾಣಿತ ಫಾರ್ಮ್ನಲ್ಲಿ ಇರಿಸಿ ತದನಂತರ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಸೈಸ್ ಬಳಸಿ.
\left(\begin{matrix}1&-\frac{2}{3}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-2\end{matrix}\right)
ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಮಾತೃಕೆ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ.
inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{2}{3}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{2}{3}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{2}{3}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-2\end{matrix}\right)
\left(\begin{matrix}1&-\frac{2}{3}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right) ನ ವಿಲೋಮ ಮಾತೃಕೆ ಮೂಲಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಎಡಕ್ಕೆ ಗುಣಾಕಾರ ಮಾಡಿ.
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{2}{3}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-2\end{matrix}\right)
ಮಾತೃಕೆ ಮತ್ತು ಅದರ ವಿಲೋಮದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಗುರುತು ಮಾತೃಕೆ ಆಗಿದೆ.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{2}{3}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-2\end{matrix}\right)
ಸಮಾನ ಚಿಹ್ನೆಯ ಎಡ ಬದಿಯಲ್ಲಿ ಮಾತೃಕೆಗಳನ್ನು ಗುಣಾಕಾರ ಮಾಡಿ.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{3}-\left(-\frac{2}{3}\times \frac{1}{2}\right)}&-\frac{-\frac{2}{3}}{\frac{1}{3}-\left(-\frac{2}{3}\times \frac{1}{2}\right)}\\-\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{3}-\left(-\frac{2}{3}\times \frac{1}{2}\right)}&\frac{1}{\frac{1}{3}-\left(-\frac{2}{3}\times \frac{1}{2}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-2\end{matrix}\right)
2\times 2 ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) ಗೆ; ವಿಲೋಮ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ಆಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಗುಣಾಕಾರ ಸಮಸ್ಯೆಯೆಂದು ಮರುಬರೆಯಬಹುದು.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&1\\-\frac{3}{4}&\frac{3}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-2\end{matrix}\right)
ಅಂಕಗಣಿತ ಮಾಡಿ.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 2-2\\-\frac{3}{4}\times 2+\frac{3}{2}\left(-2\right)\end{matrix}\right)
ಮಾತೃಕೆಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಿ.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-\frac{9}{2}\end{matrix}\right)
ಅಂಕಗಣಿತ ಮಾಡಿ.
x=-1,y=-\frac{9}{2}
ಮಾತೃಕೆ ಅಂಶಗಳು x ಮತ್ತು y ಬೇರೆ ಮಾಡಿ.
x-\frac{2}{3}y=2,\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=-2
ತೆಗೆದುಹಾಕುವಿಕೆ ಮೂಲಕ ಪರಿಹರಿಸಲು, ಚರಾಂಶಗಳಲ್ಲಿನ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಆಗಿರಬೇಕು ಈ ಮೂಲಕ ಇತರೆಯಿಂದ ಒಂದು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ವ್ಯವಕಲನ ಮಾಡಿದಾಗ ಚರಾಂಶವನ್ನು ರದ್ದುಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\left(-\frac{2}{3}\right)y=\frac{1}{2}\times 2,\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=-2
x ಮತ್ತು \frac{x}{2} ಸಮವಾಗಿ ಮಾಡಲು, ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣದ ಪ್ರತಿ ಬದಿಯಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಪದಗಳನ್ನು \frac{1}{2} ಎರಡನೇ ಪ್ರತಿ ಬದಿಯಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಪದಗಳನ್ನು 1 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ.
\frac{1}{2}x-\frac{1}{3}y=1,\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=-2
ಸರಳೀಕೃತಗೊಳಿಸಿ.
\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}x-\frac{1}{3}y-\frac{1}{3}y=1+2
ಸಮ ಚಿಹ್ನೆಯ ಪ್ರತಿ ಬದಿಯಲ್ಲಿ ಪದಗಳಂತಹವುಗಳನ್ನು ಕಳೆಯುವ ಮೂಲಕ \frac{1}{2}x-\frac{1}{3}y=1 ದಿಂದ \frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=-2 ಕಳೆಯಿರಿ.
-\frac{1}{3}y-\frac{1}{3}y=1+2
-\frac{x}{2} ಗೆ \frac{x}{2} ಸೇರಿಸಿ. ನಿಯಮಗಳು \frac{x}{2} ಮತ್ತು -\frac{x}{2} ರದ್ದುಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ, ಈ ಮೂಲಕ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದಾಗ ಏಕೈಕ ಚರಾಂಶದ ಜೊತೆಗೆ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಉಳಿಸಿದೆ.
-\frac{2}{3}y=1+2
-\frac{y}{3} ಗೆ -\frac{y}{3} ಸೇರಿಸಿ.
-\frac{2}{3}y=3
2 ಗೆ 1 ಸೇರಿಸಿ.
y=-\frac{9}{2}
ಭಿನ್ನಾಂಕದ ವ್ಯುತ್ಕ್ರಮದಿಂದ ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಲ್ಲಿ ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಯಾವುದು ಒಂದೇ ಬರುತ್ತದೆಯೋ, -\frac{2}{3} ದಿಂದ ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಲ್ಲಿ ಭಾಗಿಸಿ.
\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}\left(-\frac{9}{2}\right)=-2
\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=-2 ನಲ್ಲಿ y ಗಾಗಿ -\frac{9}{2} ಬದಲಿಸಿ. ಏಕೆಂದರೆ ಫಲಿತಾಂಶ ಸಮೀಕರಣವು ಕೇವಲ ಒಂದು ಚರಾಂಶ ಹೊಂದಿದೆ, ನೀವು ನೇರವಾಗಿ x ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು.
\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}=-2
ಸಂಖ್ಯಾಕಾರ ಸಮಯ ಸಂಖ್ಯಾಕಾರ ಮತ್ತು ಛೇದ ಸಮಯ ಛೇದವನ್ನು ಗುಣಿಸುವ ಮೂಲಕ -\frac{9}{2} ಅನ್ನು \frac{1}{3} ಬಾರಿ ಗುಣಿಸಿ. ತದನಂತರ ಸಾಧ್ಯವಾದರೆ, ಅತಿ ಕಡಿಮೆ ಪದಗಳಿಗೆ ಭಿನ್ನಾಂಶವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಿ.
\frac{1}{2}x=-\frac{1}{2}
ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಲ್ಲಿ \frac{3}{2} ಸೇರಿಸಿ.
x=-1
2 ಮೂಲಕ ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಲ್ಲಿ ಗುಣಿಸಿ.
x=-1,y=-\frac{9}{2}
ಸಿಸ್ಟಂ ಅನ್ನು ಇದೀಗ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗಿದೆ.
ಉದಾಹರಣೆಗಳು
ವರ್ಗ ಸಮೀಕರಣ
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
ಟ್ರಿಗ್ನಾಮೆಟ್ರಿ
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
ರೇಖಾ ಸಮೀಕರಣ
y = 3x + 4
ಅಂಕಗಣಿತ
699 * 533
ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
ಏಕಕಾಲಿಕ ಸಮೀಕರಣ
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
ಡಿಫರೆನ್ಶಿಯೇಶನ್
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
ಇಂಟಿಗ್ರೇಶನ್
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
ಮಿತಿಗಳು
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}