{l}{5x-2y=4}{x/2+y/3=2} ಪರಿಹರಿಸಿ

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - 2 y = 4 } \\ { \frac { x } { 2 } + \frac { y } { 3 } = 2 } \end{array} \right.$$

x, y ಪರಿಹರಿಸಿ

$$x=2$$

$$y=3$$

ಪರ್ಯಾಯ ಬಳಸುವಿಕೆ ಕ್ರಮಗಳು

ಪರ್ಯಾಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಮೀಕರಣಗಳ ಜೋಡಿಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ಮೊದಲು ಚರಾಂಶಗಳ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಒಂದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ. ತದನಂತರ ಇತರ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಆ ಚರಾಂಶಕ್ಕೆ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಬದಲಿಸಿ.

$$5x-2y=4,\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=2$$

ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಆರಿಸಿ ಹಾಗೂ ಸಮ ಚಿಹ್ನೆಯ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ x ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುವ ಮೂಲಕ x ಗಾಗಿ ಅದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ.

$$5x-2y=4$$

ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಲ್ಲಿ 2y ಸೇರಿಸಿ.

$$5x=2y+4$$

5 ದಿಂದ ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಲ್ಲಿ ಭಾಗಿಸಿ.

$$x=\frac{1}{5}\left(2y+4\right)$$

4+2y ಅನ್ನು \frac{1}{5} ಬಾರಿ ಗುಣಿಸಿ.

$$x=\frac{2}{5}y+\frac{4}{5}$$

ಇತರ ಸಮೀಕರಣ \frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=2 ನಲ್ಲಿ x ಗಾಗಿ \frac{4+2y}{5} ಬದಲಿಸಿ.

$$\frac{1}{2}\left(\frac{2}{5}y+\frac{4}{5}\right)+\frac{1}{3}y=2$$

\frac{4+2y}{5} ಅನ್ನು \frac{1}{2} ಬಾರಿ ಗುಣಿಸಿ.

$$\frac{1}{5}y+\frac{2}{5}+\frac{1}{3}y=2$$

\frac{y}{3} ಗೆ \frac{y}{5} ಸೇರಿಸಿ.

$$\frac{8}{15}y+\frac{2}{5}=2$$

ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಿಂದ \frac{2}{5} ಕಳೆಯಿರಿ.

$$\frac{8}{15}y=\frac{8}{5}$$

ಭಿನ್ನಾಂಕದ ವ್ಯುತ್ಕ್ರಮದಿಂದ ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಲ್ಲಿ ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಯಾವುದು ಒಂದೇ ಬರುತ್ತದೆಯೋ, \frac{8}{15} ದಿಂದ ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಲ್ಲಿ ಭಾಗಿಸಿ.

$$y=3$$

x=\frac{2}{5}y+\frac{4}{5} ನಲ್ಲಿ y ಗಾಗಿ 3 ಬದಲಿಸಿ. ಏಕೆಂದರೆ ಫಲಿತಾಂಶ ಸಮೀಕರಣವು ಕೇವಲ ಒಂದು ಚರಾಂಶ ಹೊಂದಿದೆ, ನೀವು ನೇರವಾಗಿ x ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು.

$$x=\frac{2}{5}\times 3+\frac{4}{5}$$

3 ಅನ್ನು \frac{2}{5} ಬಾರಿ ಗುಣಿಸಿ.

$$x=\frac{6+4}{5}$$

ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದವನ್ನು ಹುಡುಕುವ ಮತ್ತು ಅಂಶಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ \frac{6}{5} ಗೆ \frac{4}{5} ಸೇರಿಸಿ. ತದನಂತರ ಸಾಧ್ಯವಾದರೆ, ಅತಿ ಕಡಿಮೆ ಪದಗಳಿಗೆ ಭಿನ್ನಾಂಶವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಿ.

$$x=2$$

ಸಿಸ್ಟಂ ಅನ್ನು ಇದೀಗ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗಿದೆ.

$$x=2,y=3$$

ಮಾತೃಕೆಗಳ ಬಳಸುವಿಕೆ ಕ್ರಮಗಳು

ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪ್ರಮಾಣಿತ ಫಾರ್ಮ್‌ನಲ್ಲಿ ಇರಿಸಿ ತದನಂತರ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಸೈಸ್ ಬಳಸಿ.

$$5x-2y=4,\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=2$$

ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಮಾತೃಕೆ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ.

$$\left(\begin{matrix}5&-2\\\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&-2\\\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right) ನ ವಿಲೋಮ ಮಾತೃಕೆ ಮೂಲಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಎಡಕ್ಕೆ ಗುಣಾಕಾರ ಮಾಡಿ.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-2\\\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

ಮಾತೃಕೆ ಮತ್ತು ಅದರ ವಿಲೋಮದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಗುರುತು ಮಾತೃಕೆ ಆಗಿದೆ.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

ಸಮಾನ ಚಿಹ್ನೆಯ ಎಡ ಬದಿಯಲ್ಲಿ ಮಾತೃಕೆಗಳನ್ನು ಗುಣಾಕಾರ ಮಾಡಿ.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) ಗೆ; ವಿಲೋಮ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ಆಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಗುಣಾಕಾರ ಸಮಸ್ಯೆಯೆಂದು ಮರುಬರೆಯಬಹುದು.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{3}}{5\times \frac{1}{3}-\left(-2\times \frac{1}{2}\right)}&-\frac{-2}{5\times \frac{1}{3}-\left(-2\times \frac{1}{2}\right)}\\-\frac{\frac{1}{2}}{5\times \frac{1}{3}-\left(-2\times \frac{1}{2}\right)}&\frac{5}{5\times \frac{1}{3}-\left(-2\times \frac{1}{2}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

ಅಂಕಗಣಿತ ಮಾಡಿ.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&\frac{3}{4}\\-\frac{3}{16}&\frac{15}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

ಮಾತೃಕೆಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಿ.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\times 4+\frac{3}{4}\times 2\\-\frac{3}{16}\times 4+\frac{15}{8}\times 2\end{matrix}\right)$$

ಅಂಕಗಣಿತ ಮಾಡಿ.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

ಮಾತೃಕೆ ಅಂಶಗಳು x ಮತ್ತು y ಬೇರೆ ಮಾಡಿ.

$$x=2,y=3$$

ತೆಗೆದುಹಾಕುವಿಕೆ ಬಳಸುವಿಕೆ ಕ್ರಮಗಳು

ತೆಗೆದುಹಾಕುವಿಕೆ ಮೂಲಕ ಪರಿಹರಿಸಲು, ಚರಾಂಶಗಳಲ್ಲಿನ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಆಗಿರಬೇಕು ಈ ಮೂಲಕ ಇತರೆಯಿಂದ ಒಂದು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ವ್ಯವಕಲನ ಮಾಡಿದಾಗ ಚರಾಂಶವನ್ನು ರದ್ದುಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

$$5x-2y=4,\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=2$$

5x ಮತ್ತು \frac{x}{2} ಸಮವಾಗಿ ಮಾಡಲು, ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣದ ಪ್ರತಿ ಬದಿಯಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಪದಗಳನ್ನು \frac{1}{2} ಎರಡನೇ ಪ್ರತಿ ಬದಿಯಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಪದಗಳನ್ನು 5 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ.

$$\frac{1}{2}\times 5x+\frac{1}{2}\left(-2\right)y=\frac{1}{2}\times 4,5\times \frac{1}{2}x+5\times \frac{1}{3}y=5\times 2$$

ಸರಳೀಕೃತಗೊಳಿಸಿ.

$$\frac{5}{2}x-y=2,\frac{5}{2}x+\frac{5}{3}y=10$$

ಸಮ ಚಿಹ್ನೆಯ ಪ್ರತಿ ಬದಿಯಲ್ಲಿ ಪದಗಳಂತಹವುಗಳನ್ನು ಕಳೆಯುವ ಮೂಲಕ \frac{5}{2}x-y=2 ದಿಂದ \frac{5}{2}x+\frac{5}{3}y=10 ಕಳೆಯಿರಿ.

$$\frac{5}{2}x-\frac{5}{2}x-y-\frac{5}{3}y=2-10$$

-\frac{5x}{2} ಗೆ \frac{5x}{2} ಸೇರಿಸಿ. ನಿಯಮಗಳು \frac{5x}{2} ಮತ್ತು -\frac{5x}{2} ರದ್ದುಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ, ಈ ಮೂಲಕ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದಾಗ ಏಕೈಕ ಚರಾಂಶದ ಜೊತೆಗೆ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಉಳಿಸಿದೆ.

$$-y-\frac{5}{3}y=2-10$$

-\frac{5y}{3} ಗೆ -y ಸೇರಿಸಿ.

$$-\frac{8}{3}y=2-10$$

-10 ಗೆ 2 ಸೇರಿಸಿ.

$$-\frac{8}{3}y=-8$$

ಭಿನ್ನಾಂಕದ ವ್ಯುತ್ಕ್ರಮದಿಂದ ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಲ್ಲಿ ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಯಾವುದು ಒಂದೇ ಬರುತ್ತದೆಯೋ, -\frac{8}{3} ದಿಂದ ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಲ್ಲಿ ಭಾಗಿಸಿ.

$$y=3$$

\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=2 ನಲ್ಲಿ y ಗಾಗಿ 3 ಬದಲಿಸಿ. ಏಕೆಂದರೆ ಫಲಿತಾಂಶ ಸಮೀಕರಣವು ಕೇವಲ ಒಂದು ಚರಾಂಶ ಹೊಂದಿದೆ, ನೀವು ನೇರವಾಗಿ x ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}\times 3=2$$

3 ಅನ್ನು \frac{1}{3} ಬಾರಿ ಗುಣಿಸಿ.

$$\frac{1}{2}x+1=2$$

ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಿಂದ 1 ಕಳೆಯಿರಿ.

$$\frac{1}{2}x=1$$

2 ಮೂಲಕ ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಲ್ಲಿ ಗುಣಿಸಿ.

$$x=2$$

ಸಿಸ್ಟಂ ಅನ್ನು ಇದೀಗ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗಿದೆ.

$$x=2,y=3$$