{l}{5x-2y=1.5(x+1)}{3x-2.5y=-5} ಪರಿಹರಿಸಿ

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - 2 y = 1.5 ( x + 1 ) } \\ { 3 x - 2.5 y = - 5 } \end{array} \right.$$

x, y ಪರಿಹರಿಸಿ

$$x=5$$

$$y=8$$

ಪರ್ಯಾಯ ಬಳಸುವಿಕೆ ಕ್ರಮಗಳು

ಮೊದಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣ ಪರಿಗಣಿಸಿ. x+1 ದಿಂದ 1.5 ಗುಣಿಸಲು ವಿಭಾಜಕ ಗುಣವನ್ನು ಬಳಸಿ.

$$5x-2y=1.5x+1.5$$

ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಿಂದ 1.5x ಕಳೆಯಿರಿ.

$$5x-2y-1.5x=1.5$$

3.5x ಪಡೆದುಕೊಳ್ಳಲು 5x ಮತ್ತು -1.5x ಕೂಡಿಸಿ.

$$3.5x-2y=1.5$$

ಪರ್ಯಾಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಮೀಕರಣಗಳ ಜೋಡಿಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ಮೊದಲು ಚರಾಂಶಗಳ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಒಂದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ. ತದನಂತರ ಇತರ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಆ ಚರಾಂಶಕ್ಕೆ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಬದಲಿಸಿ.

$$3.5x-2y=1.5,3x-2.5y=-5$$

ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಆರಿಸಿ ಹಾಗೂ ಸಮ ಚಿಹ್ನೆಯ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ x ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುವ ಮೂಲಕ x ಗಾಗಿ ಅದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ.

$$3.5x-2y=1.5$$

ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಲ್ಲಿ 2y ಸೇರಿಸಿ.

$$3.5x=2y+1.5$$

ಭಿನ್ನಾಂಕದ ವ್ಯುತ್ಕ್ರಮದಿಂದ ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಲ್ಲಿ ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಯಾವುದು ಒಂದೇ ಬರುತ್ತದೆಯೋ, 3.5 ದಿಂದ ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಲ್ಲಿ ಭಾಗಿಸಿ.

$$x=\frac{2}{7}\left(2y+1.5\right)$$

2y+1.5 ಅನ್ನು \frac{2}{7} ಬಾರಿ ಗುಣಿಸಿ.

$$x=\frac{4}{7}y+\frac{3}{7}$$

ಇತರ ಸಮೀಕರಣ 3x-2.5y=-5 ನಲ್ಲಿ x ಗಾಗಿ \frac{4y+3}{7} ಬದಲಿಸಿ.

$$3\left(\frac{4}{7}y+\frac{3}{7}\right)-2.5y=-5$$

\frac{4y+3}{7} ಅನ್ನು 3 ಬಾರಿ ಗುಣಿಸಿ.

$$\frac{12}{7}y+\frac{9}{7}-2.5y=-5$$

-\frac{5y}{2} ಗೆ \frac{12y}{7} ಸೇರಿಸಿ.

$$-\frac{11}{14}y+\frac{9}{7}=-5$$

ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಿಂದ \frac{9}{7} ಕಳೆಯಿರಿ.

$$-\frac{11}{14}y=-\frac{44}{7}$$

ಭಿನ್ನಾಂಕದ ವ್ಯುತ್ಕ್ರಮದಿಂದ ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಲ್ಲಿ ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಯಾವುದು ಒಂದೇ ಬರುತ್ತದೆಯೋ, -\frac{11}{14} ದಿಂದ ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಲ್ಲಿ ಭಾಗಿಸಿ.

$$y=8$$

x=\frac{4}{7}y+\frac{3}{7} ನಲ್ಲಿ y ಗಾಗಿ 8 ಬದಲಿಸಿ. ಏಕೆಂದರೆ ಫಲಿತಾಂಶ ಸಮೀಕರಣವು ಕೇವಲ ಒಂದು ಚರಾಂಶ ಹೊಂದಿದೆ, ನೀವು ನೇರವಾಗಿ x ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು.

$$x=\frac{4}{7}\times 8+\frac{3}{7}$$

8 ಅನ್ನು \frac{4}{7} ಬಾರಿ ಗುಣಿಸಿ.

$$x=\frac{32+3}{7}$$

ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದವನ್ನು ಹುಡುಕುವ ಮತ್ತು ಅಂಶಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ \frac{32}{7} ಗೆ \frac{3}{7} ಸೇರಿಸಿ. ತದನಂತರ ಸಾಧ್ಯವಾದರೆ, ಅತಿ ಕಡಿಮೆ ಪದಗಳಿಗೆ ಭಿನ್ನಾಂಶವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಿ.

$$x=5$$

ಸಿಸ್ಟಂ ಅನ್ನು ಇದೀಗ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗಿದೆ.

$$x=5,y=8$$

ಮಾತೃಕೆಗಳ ಬಳಸುವಿಕೆ ಕ್ರಮಗಳು

ಮೊದಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣ ಪರಿಗಣಿಸಿ. x+1 ದಿಂದ 1.5 ಗುಣಿಸಲು ವಿಭಾಜಕ ಗುಣವನ್ನು ಬಳಸಿ.

$$5x-2y=1.5x+1.5$$

ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಿಂದ 1.5x ಕಳೆಯಿರಿ.

$$5x-2y-1.5x=1.5$$

3.5x ಪಡೆದುಕೊಳ್ಳಲು 5x ಮತ್ತು -1.5x ಕೂಡಿಸಿ.

$$3.5x-2y=1.5$$

ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪ್ರಮಾಣಿತ ಫಾರ್ಮ್‌ನಲ್ಲಿ ಇರಿಸಿ ತದನಂತರ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಸೈಸ್ ಬಳಸಿ.

$$3.5x-2y=1.5,3x-2.5y=-5$$

ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಮಾತೃಕೆ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ.

$$\left(\begin{matrix}3.5&-2\\3&-2.5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1.5\\-5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3.5&-2\\3&-2.5\end{matrix}\right) ನ ವಿಲೋಮ ಮಾತೃಕೆ ಮೂಲಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಎಡಕ್ಕೆ ಗುಣಾಕಾರ ಮಾಡಿ.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3.5&-2\\3&-2.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3.5&-2\\3&-2.5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3.5&-2\\3&-2.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1.5\\-5\end{matrix}\right)$$

ಮಾತೃಕೆ ಮತ್ತು ಅದರ ವಿಲೋಮದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಗುರುತು ಮಾತೃಕೆ ಆಗಿದೆ.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3.5&-2\\3&-2.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1.5\\-5\end{matrix}\right)$$

ಸಮಾನ ಚಿಹ್ನೆಯ ಎಡ ಬದಿಯಲ್ಲಿ ಮಾತೃಕೆಗಳನ್ನು ಗುಣಾಕಾರ ಮಾಡಿ.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3.5&-2\\3&-2.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1.5\\-5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) ಗೆ; ವಿಲೋಮ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ಆಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಗುಣಾಕಾರ ಸಮಸ್ಯೆಯೆಂದು ಮರುಬರೆಯಬಹುದು.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2.5}{3.5\left(-2.5\right)-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{3.5\left(-2.5\right)-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{3.5\left(-2.5\right)-\left(-2\times 3\right)}&\frac{3.5}{3.5\left(-2.5\right)-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1.5\\-5\end{matrix}\right)$$

ಅಂಕಗಣಿತ ಮಾಡಿ.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{11}&-\frac{8}{11}\\\frac{12}{11}&-\frac{14}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1.5\\-5\end{matrix}\right)$$

ಮಾತೃಕೆಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಿ.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{11}\times 1.5-\frac{8}{11}\left(-5\right)\\\frac{12}{11}\times 1.5-\frac{14}{11}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

ಅಂಕಗಣಿತ ಮಾಡಿ.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\8\end{matrix}\right)$$

ಮಾತೃಕೆ ಅಂಶಗಳು x ಮತ್ತು y ಬೇರೆ ಮಾಡಿ.

$$x=5,y=8$$

ತೆಗೆದುಹಾಕುವಿಕೆ ಬಳಸುವಿಕೆ ಕ್ರಮಗಳು

ಮೊದಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣ ಪರಿಗಣಿಸಿ. x+1 ದಿಂದ 1.5 ಗುಣಿಸಲು ವಿಭಾಜಕ ಗುಣವನ್ನು ಬಳಸಿ.

$$5x-2y=1.5x+1.5$$

ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಿಂದ 1.5x ಕಳೆಯಿರಿ.

$$5x-2y-1.5x=1.5$$

3.5x ಪಡೆದುಕೊಳ್ಳಲು 5x ಮತ್ತು -1.5x ಕೂಡಿಸಿ.

$$3.5x-2y=1.5$$

ತೆಗೆದುಹಾಕುವಿಕೆ ಮೂಲಕ ಪರಿಹರಿಸಲು, ಚರಾಂಶಗಳಲ್ಲಿನ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಆಗಿರಬೇಕು ಈ ಮೂಲಕ ಇತರೆಯಿಂದ ಒಂದು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ವ್ಯವಕಲನ ಮಾಡಿದಾಗ ಚರಾಂಶವನ್ನು ರದ್ದುಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

$$3.5x-2y=1.5,3x-2.5y=-5$$

\frac{7x}{2} ಮತ್ತು 3x ಸಮವಾಗಿ ಮಾಡಲು, ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣದ ಪ್ರತಿ ಬದಿಯಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಪದಗಳನ್ನು 3 ಎರಡನೇ ಪ್ರತಿ ಬದಿಯಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಪದಗಳನ್ನು 3.5 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ.

$$3\times 3.5x+3\left(-2\right)y=3\times 1.5,3.5\times 3x+3.5\left(-2.5\right)y=3.5\left(-5\right)$$

ಸರಳೀಕೃತಗೊಳಿಸಿ.

$$10.5x-6y=4.5,10.5x-8.75y=-17.5$$

ಸಮ ಚಿಹ್ನೆಯ ಪ್ರತಿ ಬದಿಯಲ್ಲಿ ಪದಗಳಂತಹವುಗಳನ್ನು ಕಳೆಯುವ ಮೂಲಕ 10.5x-6y=4.5 ದಿಂದ 10.5x-8.75y=-17.5 ಕಳೆಯಿರಿ.

$$10.5x-10.5x-6y+8.75y=\frac{9+35}{2}$$

-\frac{21x}{2} ಗೆ \frac{21x}{2} ಸೇರಿಸಿ. ನಿಯಮಗಳು \frac{21x}{2} ಮತ್ತು -\frac{21x}{2} ರದ್ದುಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ, ಈ ಮೂಲಕ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದಾಗ ಏಕೈಕ ಚರಾಂಶದ ಜೊತೆಗೆ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಉಳಿಸಿದೆ.

$$-6y+8.75y=\frac{9+35}{2}$$

\frac{35y}{4} ಗೆ -6y ಸೇರಿಸಿ.

$$2.75y=\frac{9+35}{2}$$

ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದವನ್ನು ಹುಡುಕುವ ಮತ್ತು ಅಂಶಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ 17.5 ಗೆ 4.5 ಸೇರಿಸಿ. ತದನಂತರ ಸಾಧ್ಯವಾದರೆ, ಅತಿ ಕಡಿಮೆ ಪದಗಳಿಗೆ ಭಿನ್ನಾಂಶವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಿ.

$$2.75y=22$$

ಭಿನ್ನಾಂಕದ ವ್ಯುತ್ಕ್ರಮದಿಂದ ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಲ್ಲಿ ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಯಾವುದು ಒಂದೇ ಬರುತ್ತದೆಯೋ, 2.75 ದಿಂದ ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಲ್ಲಿ ಭಾಗಿಸಿ.

$$y=8$$

3x-2.5y=-5 ನಲ್ಲಿ y ಗಾಗಿ 8 ಬದಲಿಸಿ. ಏಕೆಂದರೆ ಫಲಿತಾಂಶ ಸಮೀಕರಣವು ಕೇವಲ ಒಂದು ಚರಾಂಶ ಹೊಂದಿದೆ, ನೀವು ನೇರವಾಗಿ x ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು.

$$3x-2.5\times 8=-5$$

8 ಅನ್ನು -2.5 ಬಾರಿ ಗುಣಿಸಿ.

$$3x-20=-5$$

ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಲ್ಲಿ 20 ಸೇರಿಸಿ.

$$3x=15$$

3 ದಿಂದ ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಲ್ಲಿ ಭಾಗಿಸಿ.

$$x=5$$

ಸಿಸ್ಟಂ ಅನ್ನು ಇದೀಗ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗಿದೆ.

$$x=5,y=8$$