{l}{5(x+3)-2(y-1)=3(5x-y)-8x}{x+1/7-y/5=2} ಪರಿಹರಿಸಿ

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 ( x + 3 ) - 2 ( y - 1 ) = 3 ( 5 x - y ) - 8 x } \\ { \frac { x + 1 } { 7 } - \frac { y } { 5 } = 2 } \end{array} \right.$$

x, y ಪರಿಹರಿಸಿ

$$x=6$$

$$y=-5$$

ಪರ್ಯಾಯ ಬಳಸುವಿಕೆ ಕ್ರಮಗಳು

ಮೊದಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣ ಪರಿಗಣಿಸಿ. x+3 ದಿಂದ 5 ಗುಣಿಸಲು ವಿಭಾಜಕ ಗುಣವನ್ನು ಬಳಸಿ.

$$5x+15-2\left(y-1\right)=3\left(5x-y\right)-8x$$

y-1 ದಿಂದ -2 ಗುಣಿಸಲು ವಿಭಾಜಕ ಗುಣವನ್ನು ಬಳಸಿ.

$$5x+15-2y+2=3\left(5x-y\right)-8x$$

17 ಪಡೆದುಕೊಳ್ಳಲು 15 ಮತ್ತು 2 ಸೇರಿಸಿ.

$$5x+17-2y=3\left(5x-y\right)-8x$$

5x-y ದಿಂದ 3 ಗುಣಿಸಲು ವಿಭಾಜಕ ಗುಣವನ್ನು ಬಳಸಿ.

$$5x+17-2y=15x-3y-8x$$

7x ಪಡೆದುಕೊಳ್ಳಲು 15x ಮತ್ತು -8x ಕೂಡಿಸಿ.

$$5x+17-2y=7x-3y$$

ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಿಂದ 7x ಕಳೆಯಿರಿ.

$$5x+17-2y-7x=-3y$$

-2x ಪಡೆದುಕೊಳ್ಳಲು 5x ಮತ್ತು -7x ಕೂಡಿಸಿ.

$$-2x+17-2y=-3y$$

ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಿಗೆ 3y ಸೇರಿಸಿ.

$$-2x+17-2y+3y=0$$

y ಪಡೆದುಕೊಳ್ಳಲು -2y ಮತ್ತು 3y ಕೂಡಿಸಿ.

$$-2x+17+y=0$$

ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಿಂದ 17 ಕಳೆಯಿರಿ. ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಏನನ್ನಾದರೂ ಕಳೆದರೆ ಅದರ ಋಣಾತ್ಮಕವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ.

$$-2x+y=-17$$

ಎರಡನೆಯ ಸಮೀಕರಣ ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು 35, 7,5 ರ ಕನಿಷ್ಠ ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದದಿಂದ ಗುಣಾಕಾರ ಮಾಡಿ.

$$5\left(x+1\right)-7y=70$$

x+1 ದಿಂದ 5 ಗುಣಿಸಲು ವಿಭಾಜಕ ಗುಣವನ್ನು ಬಳಸಿ.

$$5x+5-7y=70$$

ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಿಂದ 5 ಕಳೆಯಿರಿ.

$$5x-7y=70-5$$

65 ಪಡೆದುಕೊಳ್ಳಲು 70 ದಿಂದ 5 ಕಳೆಯಿರಿ.

$$5x-7y=65$$

ಪರ್ಯಾಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಮೀಕರಣಗಳ ಜೋಡಿಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ಮೊದಲು ಚರಾಂಶಗಳ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಒಂದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ. ತದನಂತರ ಇತರ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಆ ಚರಾಂಶಕ್ಕೆ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಬದಲಿಸಿ.

$$-2x+y=-17,5x-7y=65$$

ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಆರಿಸಿ ಹಾಗೂ ಸಮ ಚಿಹ್ನೆಯ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ x ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುವ ಮೂಲಕ x ಗಾಗಿ ಅದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ.

$$-2x+y=-17$$

ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಿಂದ y ಕಳೆಯಿರಿ.

$$-2x=-y-17$$

-2 ದಿಂದ ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಲ್ಲಿ ಭಾಗಿಸಿ.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-y-17\right)$$

-y-17 ಅನ್ನು -\frac{1}{2} ಬಾರಿ ಗುಣಿಸಿ.

$$x=\frac{1}{2}y+\frac{17}{2}$$

ಇತರ ಸಮೀಕರಣ 5x-7y=65 ನಲ್ಲಿ x ಗಾಗಿ \frac{17+y}{2} ಬದಲಿಸಿ.

$$5\left(\frac{1}{2}y+\frac{17}{2}\right)-7y=65$$

\frac{17+y}{2} ಅನ್ನು 5 ಬಾರಿ ಗುಣಿಸಿ.

$$\frac{5}{2}y+\frac{85}{2}-7y=65$$

-7y ಗೆ \frac{5y}{2} ಸೇರಿಸಿ.

$$-\frac{9}{2}y+\frac{85}{2}=65$$

ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಿಂದ \frac{85}{2} ಕಳೆಯಿರಿ.

$$-\frac{9}{2}y=\frac{45}{2}$$

ಭಿನ್ನಾಂಕದ ವ್ಯುತ್ಕ್ರಮದಿಂದ ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಲ್ಲಿ ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಯಾವುದು ಒಂದೇ ಬರುತ್ತದೆಯೋ, -\frac{9}{2} ದಿಂದ ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಲ್ಲಿ ಭಾಗಿಸಿ.

$$y=-5$$

x=\frac{1}{2}y+\frac{17}{2} ನಲ್ಲಿ y ಗಾಗಿ -5 ಬದಲಿಸಿ. ಏಕೆಂದರೆ ಫಲಿತಾಂಶ ಸಮೀಕರಣವು ಕೇವಲ ಒಂದು ಚರಾಂಶ ಹೊಂದಿದೆ, ನೀವು ನೇರವಾಗಿ x ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು.

$$x=\frac{1}{2}\left(-5\right)+\frac{17}{2}$$

-5 ಅನ್ನು \frac{1}{2} ಬಾರಿ ಗುಣಿಸಿ.

$$x=\frac{-5+17}{2}$$

ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದವನ್ನು ಹುಡುಕುವ ಮತ್ತು ಅಂಶಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ -\frac{5}{2} ಗೆ \frac{17}{2} ಸೇರಿಸಿ. ತದನಂತರ ಸಾಧ್ಯವಾದರೆ, ಅತಿ ಕಡಿಮೆ ಪದಗಳಿಗೆ ಭಿನ್ನಾಂಶವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಿ.

$$x=6$$

ಸಿಸ್ಟಂ ಅನ್ನು ಇದೀಗ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗಿದೆ.

$$x=6,y=-5$$

ಮಾತೃಕೆಗಳ ಬಳಸುವಿಕೆ ಕ್ರಮಗಳು

ಮೊದಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣ ಪರಿಗಣಿಸಿ. x+3 ದಿಂದ 5 ಗುಣಿಸಲು ವಿಭಾಜಕ ಗುಣವನ್ನು ಬಳಸಿ.

$$5x+15-2\left(y-1\right)=3\left(5x-y\right)-8x$$

y-1 ದಿಂದ -2 ಗುಣಿಸಲು ವಿಭಾಜಕ ಗುಣವನ್ನು ಬಳಸಿ.

$$5x+15-2y+2=3\left(5x-y\right)-8x$$

17 ಪಡೆದುಕೊಳ್ಳಲು 15 ಮತ್ತು 2 ಸೇರಿಸಿ.

$$5x+17-2y=3\left(5x-y\right)-8x$$

5x-y ದಿಂದ 3 ಗುಣಿಸಲು ವಿಭಾಜಕ ಗುಣವನ್ನು ಬಳಸಿ.

$$5x+17-2y=15x-3y-8x$$

7x ಪಡೆದುಕೊಳ್ಳಲು 15x ಮತ್ತು -8x ಕೂಡಿಸಿ.

$$5x+17-2y=7x-3y$$

ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಿಂದ 7x ಕಳೆಯಿರಿ.

$$5x+17-2y-7x=-3y$$

-2x ಪಡೆದುಕೊಳ್ಳಲು 5x ಮತ್ತು -7x ಕೂಡಿಸಿ.

$$-2x+17-2y=-3y$$

ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಿಗೆ 3y ಸೇರಿಸಿ.

$$-2x+17-2y+3y=0$$

y ಪಡೆದುಕೊಳ್ಳಲು -2y ಮತ್ತು 3y ಕೂಡಿಸಿ.

$$-2x+17+y=0$$

ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಿಂದ 17 ಕಳೆಯಿರಿ. ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಏನನ್ನಾದರೂ ಕಳೆದರೆ ಅದರ ಋಣಾತ್ಮಕವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ.

$$-2x+y=-17$$

ಎರಡನೆಯ ಸಮೀಕರಣ ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು 35, 7,5 ರ ಕನಿಷ್ಠ ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದದಿಂದ ಗುಣಾಕಾರ ಮಾಡಿ.

$$5\left(x+1\right)-7y=70$$

x+1 ದಿಂದ 5 ಗುಣಿಸಲು ವಿಭಾಜಕ ಗುಣವನ್ನು ಬಳಸಿ.

$$5x+5-7y=70$$

ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಿಂದ 5 ಕಳೆಯಿರಿ.

$$5x-7y=70-5$$

65 ಪಡೆದುಕೊಳ್ಳಲು 70 ದಿಂದ 5 ಕಳೆಯಿರಿ.

$$5x-7y=65$$

ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪ್ರಮಾಣಿತ ಫಾರ್ಮ್‌ನಲ್ಲಿ ಇರಿಸಿ ತದನಂತರ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಸೈಸ್ ಬಳಸಿ.

$$-2x+y=-17,5x-7y=65$$

ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಮಾತೃಕೆ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ.

$$\left(\begin{matrix}-2&1\\5&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-17\\65\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-2&1\\5&-7\end{matrix}\right) ನ ವಿಲೋಮ ಮಾತೃಕೆ ಮೂಲಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಎಡಕ್ಕೆ ಗುಣಾಕಾರ ಮಾಡಿ.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&1\\5&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&1\\5&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&1\\5&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-17\\65\end{matrix}\right)$$

ಮಾತೃಕೆ ಮತ್ತು ಅದರ ವಿಲೋಮದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಗುರುತು ಮಾತೃಕೆ ಆಗಿದೆ.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&1\\5&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-17\\65\end{matrix}\right)$$

ಸಮಾನ ಚಿಹ್ನೆಯ ಎಡ ಬದಿಯಲ್ಲಿ ಮಾತೃಕೆಗಳನ್ನು ಗುಣಾಕಾರ ಮಾಡಿ.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&1\\5&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-17\\65\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) ಗೆ; ವಿಲೋಮ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ಆಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಗುಣಾಕಾರ ಸಮಸ್ಯೆಯೆಂದು ಮರುಬರೆಯಬಹುದು.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{-2\left(-7\right)-5}&-\frac{1}{-2\left(-7\right)-5}\\-\frac{5}{-2\left(-7\right)-5}&-\frac{2}{-2\left(-7\right)-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-17\\65\end{matrix}\right)$$

ಅಂಕಗಣಿತ ಮಾಡಿ.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{9}&-\frac{1}{9}\\-\frac{5}{9}&-\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-17\\65\end{matrix}\right)$$

ಮಾತೃಕೆಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಿ.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{9}\left(-17\right)-\frac{1}{9}\times 65\\-\frac{5}{9}\left(-17\right)-\frac{2}{9}\times 65\end{matrix}\right)$$

ಅಂಕಗಣಿತ ಮಾಡಿ.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-5\end{matrix}\right)$$

ಮಾತೃಕೆ ಅಂಶಗಳು x ಮತ್ತು y ಬೇರೆ ಮಾಡಿ.

$$x=6,y=-5$$

ತೆಗೆದುಹಾಕುವಿಕೆ ಬಳಸುವಿಕೆ ಕ್ರಮಗಳು

ಮೊದಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣ ಪರಿಗಣಿಸಿ. x+3 ದಿಂದ 5 ಗುಣಿಸಲು ವಿಭಾಜಕ ಗುಣವನ್ನು ಬಳಸಿ.

$$5x+15-2\left(y-1\right)=3\left(5x-y\right)-8x$$

y-1 ದಿಂದ -2 ಗುಣಿಸಲು ವಿಭಾಜಕ ಗುಣವನ್ನು ಬಳಸಿ.

$$5x+15-2y+2=3\left(5x-y\right)-8x$$

17 ಪಡೆದುಕೊಳ್ಳಲು 15 ಮತ್ತು 2 ಸೇರಿಸಿ.

$$5x+17-2y=3\left(5x-y\right)-8x$$

5x-y ದಿಂದ 3 ಗುಣಿಸಲು ವಿಭಾಜಕ ಗುಣವನ್ನು ಬಳಸಿ.

$$5x+17-2y=15x-3y-8x$$

7x ಪಡೆದುಕೊಳ್ಳಲು 15x ಮತ್ತು -8x ಕೂಡಿಸಿ.

$$5x+17-2y=7x-3y$$

ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಿಂದ 7x ಕಳೆಯಿರಿ.

$$5x+17-2y-7x=-3y$$

-2x ಪಡೆದುಕೊಳ್ಳಲು 5x ಮತ್ತು -7x ಕೂಡಿಸಿ.

$$-2x+17-2y=-3y$$

ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಿಗೆ 3y ಸೇರಿಸಿ.

$$-2x+17-2y+3y=0$$

y ಪಡೆದುಕೊಳ್ಳಲು -2y ಮತ್ತು 3y ಕೂಡಿಸಿ.

$$-2x+17+y=0$$

ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಿಂದ 17 ಕಳೆಯಿರಿ. ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಏನನ್ನಾದರೂ ಕಳೆದರೆ ಅದರ ಋಣಾತ್ಮಕವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ.

$$-2x+y=-17$$

ಎರಡನೆಯ ಸಮೀಕರಣ ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು 35, 7,5 ರ ಕನಿಷ್ಠ ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದದಿಂದ ಗುಣಾಕಾರ ಮಾಡಿ.

$$5\left(x+1\right)-7y=70$$

x+1 ದಿಂದ 5 ಗುಣಿಸಲು ವಿಭಾಜಕ ಗುಣವನ್ನು ಬಳಸಿ.

$$5x+5-7y=70$$

ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಿಂದ 5 ಕಳೆಯಿರಿ.

$$5x-7y=70-5$$

65 ಪಡೆದುಕೊಳ್ಳಲು 70 ದಿಂದ 5 ಕಳೆಯಿರಿ.

$$5x-7y=65$$

ತೆಗೆದುಹಾಕುವಿಕೆ ಮೂಲಕ ಪರಿಹರಿಸಲು, ಚರಾಂಶಗಳಲ್ಲಿನ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಆಗಿರಬೇಕು ಈ ಮೂಲಕ ಇತರೆಯಿಂದ ಒಂದು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ವ್ಯವಕಲನ ಮಾಡಿದಾಗ ಚರಾಂಶವನ್ನು ರದ್ದುಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

$$-2x+y=-17,5x-7y=65$$

-2x ಮತ್ತು 5x ಸಮವಾಗಿ ಮಾಡಲು, ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣದ ಪ್ರತಿ ಬದಿಯಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಪದಗಳನ್ನು 5 ಎರಡನೇ ಪ್ರತಿ ಬದಿಯಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಪದಗಳನ್ನು -2 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ.

$$5\left(-2\right)x+5y=5\left(-17\right),-2\times 5x-2\left(-7\right)y=-2\times 65$$

ಸರಳೀಕೃತಗೊಳಿಸಿ.

$$-10x+5y=-85,-10x+14y=-130$$

ಸಮ ಚಿಹ್ನೆಯ ಪ್ರತಿ ಬದಿಯಲ್ಲಿ ಪದಗಳಂತಹವುಗಳನ್ನು ಕಳೆಯುವ ಮೂಲಕ -10x+5y=-85 ದಿಂದ -10x+14y=-130 ಕಳೆಯಿರಿ.

$$-10x+10x+5y-14y=-85+130$$

10x ಗೆ -10x ಸೇರಿಸಿ. ನಿಯಮಗಳು -10x ಮತ್ತು 10x ರದ್ದುಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ, ಈ ಮೂಲಕ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದಾಗ ಏಕೈಕ ಚರಾಂಶದ ಜೊತೆಗೆ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಉಳಿಸಿದೆ.

$$5y-14y=-85+130$$

-14y ಗೆ 5y ಸೇರಿಸಿ.

$$-9y=-85+130$$

130 ಗೆ -85 ಸೇರಿಸಿ.

$$-9y=45$$

-9 ದಿಂದ ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಲ್ಲಿ ಭಾಗಿಸಿ.

$$y=-5$$

5x-7y=65 ನಲ್ಲಿ y ಗಾಗಿ -5 ಬದಲಿಸಿ. ಏಕೆಂದರೆ ಫಲಿತಾಂಶ ಸಮೀಕರಣವು ಕೇವಲ ಒಂದು ಚರಾಂಶ ಹೊಂದಿದೆ, ನೀವು ನೇರವಾಗಿ x ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು.

$$5x-7\left(-5\right)=65$$

-5 ಅನ್ನು -7 ಬಾರಿ ಗುಣಿಸಿ.

$$5x+35=65$$

ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಿಂದ 35 ಕಳೆಯಿರಿ.

$$5x=30$$

5 ದಿಂದ ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಲ್ಲಿ ಭಾಗಿಸಿ.

$$x=6$$

ಸಿಸ್ಟಂ ಅನ್ನು ಇದೀಗ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗಿದೆ.

$$x=6,y=-5$$