{l}{4x+3y+14=0}{2x+5y+16=0} ಪರಿಹರಿಸಿ

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x + 3 y + 14 = 0 } \\ { 2 x + 5 y + 16 = 0 } \end{array} \right.$$

x, y ಪರಿಹರಿಸಿ

$$x = -\frac{11}{7} = -1\frac{4}{7} \approx -1.571428571$$

$$y = -\frac{18}{7} = -2\frac{4}{7} \approx -2.571428571$$

ಪರ್ಯಾಯ ಬಳಸುವಿಕೆ ಕ್ರಮಗಳು

ಪರ್ಯಾಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಮೀಕರಣಗಳ ಜೋಡಿಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ಮೊದಲು ಚರಾಂಶಗಳ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಒಂದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ. ತದನಂತರ ಇತರ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಆ ಚರಾಂಶಕ್ಕೆ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಬದಲಿಸಿ.

$$4x+3y+14=0,2x+5y+16=0$$

ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಆರಿಸಿ ಹಾಗೂ ಸಮ ಚಿಹ್ನೆಯ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ x ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುವ ಮೂಲಕ x ಗಾಗಿ ಅದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ.

$$4x+3y+14=0$$

ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಿಂದ 14 ಕಳೆಯಿರಿ.

$$4x+3y=-14$$

ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಿಂದ 3y ಕಳೆಯಿರಿ.

$$4x=-3y-14$$

4 ದಿಂದ ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಲ್ಲಿ ಭಾಗಿಸಿ.

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y-14\right)$$

-3y-14 ಅನ್ನು \frac{1}{4} ಬಾರಿ ಗುಣಿಸಿ.

$$x=-\frac{3}{4}y-\frac{7}{2}$$

ಇತರ ಸಮೀಕರಣ 2x+5y+16=0 ನಲ್ಲಿ x ಗಾಗಿ -\frac{3y}{4}-\frac{7}{2} ಬದಲಿಸಿ.

$$2\left(-\frac{3}{4}y-\frac{7}{2}\right)+5y+16=0$$

-\frac{3y}{4}-\frac{7}{2} ಅನ್ನು 2 ಬಾರಿ ಗುಣಿಸಿ.

$$-\frac{3}{2}y-7+5y+16=0$$

5y ಗೆ -\frac{3y}{2} ಸೇರಿಸಿ.

$$\frac{7}{2}y-7+16=0$$

16 ಗೆ -7 ಸೇರಿಸಿ.

$$\frac{7}{2}y+9=0$$

ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಿಂದ 9 ಕಳೆಯಿರಿ.

$$\frac{7}{2}y=-9$$

ಭಿನ್ನಾಂಕದ ವ್ಯುತ್ಕ್ರಮದಿಂದ ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಲ್ಲಿ ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಯಾವುದು ಒಂದೇ ಬರುತ್ತದೆಯೋ, \frac{7}{2} ದಿಂದ ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಲ್ಲಿ ಭಾಗಿಸಿ.

$$y=-\frac{18}{7}$$

x=-\frac{3}{4}y-\frac{7}{2} ನಲ್ಲಿ y ಗಾಗಿ -\frac{18}{7} ಬದಲಿಸಿ. ಏಕೆಂದರೆ ಫಲಿತಾಂಶ ಸಮೀಕರಣವು ಕೇವಲ ಒಂದು ಚರಾಂಶ ಹೊಂದಿದೆ, ನೀವು ನೇರವಾಗಿ x ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು.

$$x=-\frac{3}{4}\left(-\frac{18}{7}\right)-\frac{7}{2}$$

ಸಂಖ್ಯಾಕಾರ ಸಮಯ ಸಂಖ್ಯಾಕಾರ ಮತ್ತು ಛೇದ ಸಮಯ ಛೇದವನ್ನು ಗುಣಿಸುವ ಮೂಲಕ -\frac{18}{7} ಅನ್ನು -\frac{3}{4} ಬಾರಿ ಗುಣಿಸಿ. ತದನಂತರ ಸಾಧ್ಯವಾದರೆ, ಅತಿ ಕಡಿಮೆ ಪದಗಳಿಗೆ ಭಿನ್ನಾಂಶವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಿ.

$$x=\frac{27}{14}-\frac{7}{2}$$

ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದವನ್ನು ಹುಡುಕುವ ಮತ್ತು ಅಂಶಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ \frac{27}{14} ಗೆ -\frac{7}{2} ಸೇರಿಸಿ. ತದನಂತರ ಸಾಧ್ಯವಾದರೆ, ಅತಿ ಕಡಿಮೆ ಪದಗಳಿಗೆ ಭಿನ್ನಾಂಶವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಿ.

$$x=-\frac{11}{7}$$

ಸಿಸ್ಟಂ ಅನ್ನು ಇದೀಗ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗಿದೆ.

$$x=-\frac{11}{7},y=-\frac{18}{7}$$

ಮಾತೃಕೆಗಳ ಬಳಸುವಿಕೆ ಕ್ರಮಗಳು

ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪ್ರಮಾಣಿತ ಫಾರ್ಮ್‌ನಲ್ಲಿ ಇರಿಸಿ ತದನಂತರ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಸೈಸ್ ಬಳಸಿ.

$$4x+3y+14=0,2x+5y+16=0$$

ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಮಾತೃಕೆ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-14\\-16\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&3\\2&5\end{matrix}\right) ನ ವಿಲೋಮ ಮಾತೃಕೆ ಮೂಲಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಎಡಕ್ಕೆ ಗುಣಾಕಾರ ಮಾಡಿ.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\-16\end{matrix}\right)$$

ಮಾತೃಕೆ ಮತ್ತು ಅದರ ವಿಲೋಮದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಗುರುತು ಮಾತೃಕೆ ಆಗಿದೆ.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\-16\end{matrix}\right)$$

ಸಮಾನ ಚಿಹ್ನೆಯ ಎಡ ಬದಿಯಲ್ಲಿ ಮಾತೃಕೆಗಳನ್ನು ಗುಣಾಕಾರ ಮಾಡಿ.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\-16\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) ಗೆ; ವಿಲೋಮ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ಆಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಗುಣಾಕಾರ ಸಮಸ್ಯೆಯೆಂದು ಮರುಬರೆಯಬಹುದು.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-3\times 2}&-\frac{3}{4\times 5-3\times 2}\\-\frac{2}{4\times 5-3\times 2}&\frac{4}{4\times 5-3\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\-16\end{matrix}\right)$$

ಅಂಕಗಣಿತ ಮಾಡಿ.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{14}&-\frac{3}{14}\\-\frac{1}{7}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\-16\end{matrix}\right)$$

ಮಾತೃಕೆಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಿ.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{14}\left(-14\right)-\frac{3}{14}\left(-16\right)\\-\frac{1}{7}\left(-14\right)+\frac{2}{7}\left(-16\right)\end{matrix}\right)$$

ಅಂಕಗಣಿತ ಮಾಡಿ.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{7}\\-\frac{18}{7}\end{matrix}\right)$$

ಮಾತೃಕೆ ಅಂಶಗಳು x ಮತ್ತು y ಬೇರೆ ಮಾಡಿ.

$$x=-\frac{11}{7},y=-\frac{18}{7}$$

ತೆಗೆದುಹಾಕುವಿಕೆ ಬಳಸುವಿಕೆ ಕ್ರಮಗಳು

ತೆಗೆದುಹಾಕುವಿಕೆ ಮೂಲಕ ಪರಿಹರಿಸಲು, ಚರಾಂಶಗಳಲ್ಲಿನ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಆಗಿರಬೇಕು ಈ ಮೂಲಕ ಇತರೆಯಿಂದ ಒಂದು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ವ್ಯವಕಲನ ಮಾಡಿದಾಗ ಚರಾಂಶವನ್ನು ರದ್ದುಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

$$4x+3y+14=0,2x+5y+16=0$$

4x ಮತ್ತು 2x ಸಮವಾಗಿ ಮಾಡಲು, ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣದ ಪ್ರತಿ ಬದಿಯಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಪದಗಳನ್ನು 2 ಎರಡನೇ ಪ್ರತಿ ಬದಿಯಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಪದಗಳನ್ನು 4 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ.

$$2\times 4x+2\times 3y+2\times 14=0,4\times 2x+4\times 5y+4\times 16=0$$

ಸರಳೀಕೃತಗೊಳಿಸಿ.

$$8x+6y+28=0,8x+20y+64=0$$

ಸಮ ಚಿಹ್ನೆಯ ಪ್ರತಿ ಬದಿಯಲ್ಲಿ ಪದಗಳಂತಹವುಗಳನ್ನು ಕಳೆಯುವ ಮೂಲಕ 8x+6y+28=0 ದಿಂದ 8x+20y+64=0 ಕಳೆಯಿರಿ.

$$8x-8x+6y-20y+28-64=0$$

-8x ಗೆ 8x ಸೇರಿಸಿ. ನಿಯಮಗಳು 8x ಮತ್ತು -8x ರದ್ದುಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ, ಈ ಮೂಲಕ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದಾಗ ಏಕೈಕ ಚರಾಂಶದ ಜೊತೆಗೆ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಉಳಿಸಿದೆ.

$$6y-20y+28-64=0$$

-20y ಗೆ 6y ಸೇರಿಸಿ.

$$-14y+28-64=0$$

-64 ಗೆ 28 ಸೇರಿಸಿ.

$$-14y-36=0$$

ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಲ್ಲಿ 36 ಸೇರಿಸಿ.

$$-14y=36$$

-14 ದಿಂದ ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಲ್ಲಿ ಭಾಗಿಸಿ.

$$y=-\frac{18}{7}$$

2x+5y+16=0 ನಲ್ಲಿ y ಗಾಗಿ -\frac{18}{7} ಬದಲಿಸಿ. ಏಕೆಂದರೆ ಫಲಿತಾಂಶ ಸಮೀಕರಣವು ಕೇವಲ ಒಂದು ಚರಾಂಶ ಹೊಂದಿದೆ, ನೀವು ನೇರವಾಗಿ x ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು.

$$2x+5\left(-\frac{18}{7}\right)+16=0$$

-\frac{18}{7} ಅನ್ನು 5 ಬಾರಿ ಗುಣಿಸಿ.

$$2x-\frac{90}{7}+16=0$$

16 ಗೆ -\frac{90}{7} ಸೇರಿಸಿ.

$$2x+\frac{22}{7}=0$$

ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಿಂದ \frac{22}{7} ಕಳೆಯಿರಿ.

$$2x=-\frac{22}{7}$$

2 ದಿಂದ ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಲ್ಲಿ ಭಾಗಿಸಿ.

$$x=-\frac{11}{7}$$

ಸಿಸ್ಟಂ ಅನ್ನು ಇದೀಗ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗಿದೆ.

$$x=-\frac{11}{7},y=-\frac{18}{7}$$