{l}{3(5x-2)-7(2y+3)=2}{2(3x-y)-23=3(4-9x)} ಪರಿಹರಿಸಿ

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 ( 5 x - 2 ) - 7 ( 2 y + 3 ) = 2 } \\ { 2 ( 3 x - y ) - 23 = 3 ( 4 - 9 x ) } \end{array} \right.$$

x, y ಪರಿಹರಿಸಿ

$$x=1$$

$$y=-1$$

ಪರ್ಯಾಯ ಬಳಸುವಿಕೆ ಕ್ರಮಗಳು

ಮೊದಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣ ಪರಿಗಣಿಸಿ. 5x-2 ದಿಂದ 3 ಗುಣಿಸಲು ವಿಭಾಜಕ ಗುಣವನ್ನು ಬಳಸಿ.

$$15x-6-7\left(2y+3\right)=2$$

2y+3 ದಿಂದ -7 ಗುಣಿಸಲು ವಿಭಾಜಕ ಗುಣವನ್ನು ಬಳಸಿ.

$$15x-6-14y-21=2$$

-27 ಪಡೆದುಕೊಳ್ಳಲು -6 ದಿಂದ 21 ಕಳೆಯಿರಿ.

$$15x-27-14y=2$$

ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಿಗೆ 27 ಸೇರಿಸಿ.

$$15x-14y=2+27$$

29 ಪಡೆದುಕೊಳ್ಳಲು 2 ಮತ್ತು 27 ಸೇರಿಸಿ.

$$15x-14y=29$$

ಎರಡನೆಯ ಸಮೀಕರಣ ಪರಿಗಣಿಸಿ. 3x-y ದಿಂದ 2 ಗುಣಿಸಲು ವಿಭಾಜಕ ಗುಣವನ್ನು ಬಳಸಿ.

$$6x-2y-23=3\left(4-9x\right)$$

4-9x ದಿಂದ 3 ಗುಣಿಸಲು ವಿಭಾಜಕ ಗುಣವನ್ನು ಬಳಸಿ.

$$6x-2y-23=12-27x$$

ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಿಗೆ 27x ಸೇರಿಸಿ.

$$6x-2y-23+27x=12$$

33x ಪಡೆದುಕೊಳ್ಳಲು 6x ಮತ್ತು 27x ಕೂಡಿಸಿ.

$$33x-2y-23=12$$

ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಿಗೆ 23 ಸೇರಿಸಿ.

$$33x-2y=12+23$$

35 ಪಡೆದುಕೊಳ್ಳಲು 12 ಮತ್ತು 23 ಸೇರಿಸಿ.

$$33x-2y=35$$

ಪರ್ಯಾಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಮೀಕರಣಗಳ ಜೋಡಿಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ಮೊದಲು ಚರಾಂಶಗಳ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಒಂದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ. ತದನಂತರ ಇತರ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಆ ಚರಾಂಶಕ್ಕೆ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಬದಲಿಸಿ.

$$15x-14y=29,33x-2y=35$$

ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಆರಿಸಿ ಹಾಗೂ ಸಮ ಚಿಹ್ನೆಯ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ x ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುವ ಮೂಲಕ x ಗಾಗಿ ಅದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ.

$$15x-14y=29$$

ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಲ್ಲಿ 14y ಸೇರಿಸಿ.

$$15x=14y+29$$

15 ದಿಂದ ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಲ್ಲಿ ಭಾಗಿಸಿ.

$$x=\frac{1}{15}\left(14y+29\right)$$

14y+29 ಅನ್ನು \frac{1}{15} ಬಾರಿ ಗುಣಿಸಿ.

$$x=\frac{14}{15}y+\frac{29}{15}$$

ಇತರ ಸಮೀಕರಣ 33x-2y=35 ನಲ್ಲಿ x ಗಾಗಿ \frac{14y+29}{15} ಬದಲಿಸಿ.

$$33\left(\frac{14}{15}y+\frac{29}{15}\right)-2y=35$$

\frac{14y+29}{15} ಅನ್ನು 33 ಬಾರಿ ಗುಣಿಸಿ.

$$\frac{154}{5}y+\frac{319}{5}-2y=35$$

-2y ಗೆ \frac{154y}{5} ಸೇರಿಸಿ.

$$\frac{144}{5}y+\frac{319}{5}=35$$

ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಿಂದ \frac{319}{5} ಕಳೆಯಿರಿ.

$$\frac{144}{5}y=-\frac{144}{5}$$

ಭಿನ್ನಾಂಕದ ವ್ಯುತ್ಕ್ರಮದಿಂದ ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಲ್ಲಿ ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಯಾವುದು ಒಂದೇ ಬರುತ್ತದೆಯೋ, \frac{144}{5} ದಿಂದ ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಲ್ಲಿ ಭಾಗಿಸಿ.

$$y=-1$$

x=\frac{14}{15}y+\frac{29}{15} ನಲ್ಲಿ y ಗಾಗಿ -1 ಬದಲಿಸಿ. ಏಕೆಂದರೆ ಫಲಿತಾಂಶ ಸಮೀಕರಣವು ಕೇವಲ ಒಂದು ಚರಾಂಶ ಹೊಂದಿದೆ, ನೀವು ನೇರವಾಗಿ x ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು.

$$x=\frac{14}{15}\left(-1\right)+\frac{29}{15}$$

-1 ಅನ್ನು \frac{14}{15} ಬಾರಿ ಗುಣಿಸಿ.

$$x=\frac{-14+29}{15}$$

ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದವನ್ನು ಹುಡುಕುವ ಮತ್ತು ಅಂಶಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ -\frac{14}{15} ಗೆ \frac{29}{15} ಸೇರಿಸಿ. ತದನಂತರ ಸಾಧ್ಯವಾದರೆ, ಅತಿ ಕಡಿಮೆ ಪದಗಳಿಗೆ ಭಿನ್ನಾಂಶವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಿ.

$$x=1$$

ಸಿಸ್ಟಂ ಅನ್ನು ಇದೀಗ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗಿದೆ.

$$x=1,y=-1$$

ಮಾತೃಕೆಗಳ ಬಳಸುವಿಕೆ ಕ್ರಮಗಳು

ಮೊದಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣ ಪರಿಗಣಿಸಿ. 5x-2 ದಿಂದ 3 ಗುಣಿಸಲು ವಿಭಾಜಕ ಗುಣವನ್ನು ಬಳಸಿ.

$$15x-6-7\left(2y+3\right)=2$$

2y+3 ದಿಂದ -7 ಗುಣಿಸಲು ವಿಭಾಜಕ ಗುಣವನ್ನು ಬಳಸಿ.

$$15x-6-14y-21=2$$

-27 ಪಡೆದುಕೊಳ್ಳಲು -6 ದಿಂದ 21 ಕಳೆಯಿರಿ.

$$15x-27-14y=2$$

ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಿಗೆ 27 ಸೇರಿಸಿ.

$$15x-14y=2+27$$

29 ಪಡೆದುಕೊಳ್ಳಲು 2 ಮತ್ತು 27 ಸೇರಿಸಿ.

$$15x-14y=29$$

ಎರಡನೆಯ ಸಮೀಕರಣ ಪರಿಗಣಿಸಿ. 3x-y ದಿಂದ 2 ಗುಣಿಸಲು ವಿಭಾಜಕ ಗುಣವನ್ನು ಬಳಸಿ.

$$6x-2y-23=3\left(4-9x\right)$$

4-9x ದಿಂದ 3 ಗುಣಿಸಲು ವಿಭಾಜಕ ಗುಣವನ್ನು ಬಳಸಿ.

$$6x-2y-23=12-27x$$

ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಿಗೆ 27x ಸೇರಿಸಿ.

$$6x-2y-23+27x=12$$

33x ಪಡೆದುಕೊಳ್ಳಲು 6x ಮತ್ತು 27x ಕೂಡಿಸಿ.

$$33x-2y-23=12$$

ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಿಗೆ 23 ಸೇರಿಸಿ.

$$33x-2y=12+23$$

35 ಪಡೆದುಕೊಳ್ಳಲು 12 ಮತ್ತು 23 ಸೇರಿಸಿ.

$$33x-2y=35$$

ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪ್ರಮಾಣಿತ ಫಾರ್ಮ್‌ನಲ್ಲಿ ಇರಿಸಿ ತದನಂತರ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಸೈಸ್ ಬಳಸಿ.

$$15x-14y=29,33x-2y=35$$

ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಮಾತೃಕೆ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ.

$$\left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}29\\35\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right) ನ ವಿಲೋಮ ಮಾತೃಕೆ ಮೂಲಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಎಡಕ್ಕೆ ಗುಣಾಕಾರ ಮಾಡಿ.

$$inverse(\left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}29\\35\end{matrix}\right)$$

ಮಾತೃಕೆ ಮತ್ತು ಅದರ ವಿಲೋಮದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಗುರುತು ಮಾತೃಕೆ ಆಗಿದೆ.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}29\\35\end{matrix}\right)$$

ಸಮಾನ ಚಿಹ್ನೆಯ ಎಡ ಬದಿಯಲ್ಲಿ ಮಾತೃಕೆಗಳನ್ನು ಗುಣಾಕಾರ ಮಾಡಿ.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}29\\35\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) ಗೆ; ವಿಲೋಮ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ಆಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಗುಣಾಕಾರ ಸಮಸ್ಯೆಯೆಂದು ಮರುಬರೆಯಬಹುದು.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{15\left(-2\right)-\left(-14\times 33\right)}&-\frac{-14}{15\left(-2\right)-\left(-14\times 33\right)}\\-\frac{33}{15\left(-2\right)-\left(-14\times 33\right)}&\frac{15}{15\left(-2\right)-\left(-14\times 33\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}29\\35\end{matrix}\right)$$

ಅಂಕಗಣಿತ ಮಾಡಿ.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{216}&\frac{7}{216}\\-\frac{11}{144}&\frac{5}{144}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}29\\35\end{matrix}\right)$$

ಮಾತೃಕೆಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಿ.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{216}\times 29+\frac{7}{216}\times 35\\-\frac{11}{144}\times 29+\frac{5}{144}\times 35\end{matrix}\right)$$

ಅಂಕಗಣಿತ ಮಾಡಿ.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

ಮಾತೃಕೆ ಅಂಶಗಳು x ಮತ್ತು y ಬೇರೆ ಮಾಡಿ.

$$x=1,y=-1$$

ತೆಗೆದುಹಾಕುವಿಕೆ ಬಳಸುವಿಕೆ ಕ್ರಮಗಳು

ಮೊದಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣ ಪರಿಗಣಿಸಿ. 5x-2 ದಿಂದ 3 ಗುಣಿಸಲು ವಿಭಾಜಕ ಗುಣವನ್ನು ಬಳಸಿ.

$$15x-6-7\left(2y+3\right)=2$$

2y+3 ದಿಂದ -7 ಗುಣಿಸಲು ವಿಭಾಜಕ ಗುಣವನ್ನು ಬಳಸಿ.

$$15x-6-14y-21=2$$

-27 ಪಡೆದುಕೊಳ್ಳಲು -6 ದಿಂದ 21 ಕಳೆಯಿರಿ.

$$15x-27-14y=2$$

ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಿಗೆ 27 ಸೇರಿಸಿ.

$$15x-14y=2+27$$

29 ಪಡೆದುಕೊಳ್ಳಲು 2 ಮತ್ತು 27 ಸೇರಿಸಿ.

$$15x-14y=29$$

ಎರಡನೆಯ ಸಮೀಕರಣ ಪರಿಗಣಿಸಿ. 3x-y ದಿಂದ 2 ಗುಣಿಸಲು ವಿಭಾಜಕ ಗುಣವನ್ನು ಬಳಸಿ.

$$6x-2y-23=3\left(4-9x\right)$$

4-9x ದಿಂದ 3 ಗುಣಿಸಲು ವಿಭಾಜಕ ಗುಣವನ್ನು ಬಳಸಿ.

$$6x-2y-23=12-27x$$

ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಿಗೆ 27x ಸೇರಿಸಿ.

$$6x-2y-23+27x=12$$

33x ಪಡೆದುಕೊಳ್ಳಲು 6x ಮತ್ತು 27x ಕೂಡಿಸಿ.

$$33x-2y-23=12$$

ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಿಗೆ 23 ಸೇರಿಸಿ.

$$33x-2y=12+23$$

35 ಪಡೆದುಕೊಳ್ಳಲು 12 ಮತ್ತು 23 ಸೇರಿಸಿ.

$$33x-2y=35$$

ತೆಗೆದುಹಾಕುವಿಕೆ ಮೂಲಕ ಪರಿಹರಿಸಲು, ಚರಾಂಶಗಳಲ್ಲಿನ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಆಗಿರಬೇಕು ಈ ಮೂಲಕ ಇತರೆಯಿಂದ ಒಂದು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ವ್ಯವಕಲನ ಮಾಡಿದಾಗ ಚರಾಂಶವನ್ನು ರದ್ದುಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

$$15x-14y=29,33x-2y=35$$

15x ಮತ್ತು 33x ಸಮವಾಗಿ ಮಾಡಲು, ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣದ ಪ್ರತಿ ಬದಿಯಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಪದಗಳನ್ನು 33 ಎರಡನೇ ಪ್ರತಿ ಬದಿಯಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಪದಗಳನ್ನು 15 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ.

$$33\times 15x+33\left(-14\right)y=33\times 29,15\times 33x+15\left(-2\right)y=15\times 35$$

ಸರಳೀಕೃತಗೊಳಿಸಿ.

$$495x-462y=957,495x-30y=525$$

ಸಮ ಚಿಹ್ನೆಯ ಪ್ರತಿ ಬದಿಯಲ್ಲಿ ಪದಗಳಂತಹವುಗಳನ್ನು ಕಳೆಯುವ ಮೂಲಕ 495x-462y=957 ದಿಂದ 495x-30y=525 ಕಳೆಯಿರಿ.

$$495x-495x-462y+30y=957-525$$

-495x ಗೆ 495x ಸೇರಿಸಿ. ನಿಯಮಗಳು 495x ಮತ್ತು -495x ರದ್ದುಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ, ಈ ಮೂಲಕ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದಾಗ ಏಕೈಕ ಚರಾಂಶದ ಜೊತೆಗೆ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಉಳಿಸಿದೆ.

$$-462y+30y=957-525$$

30y ಗೆ -462y ಸೇರಿಸಿ.

$$-432y=957-525$$

-525 ಗೆ 957 ಸೇರಿಸಿ.

$$-432y=432$$

-432 ದಿಂದ ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಲ್ಲಿ ಭಾಗಿಸಿ.

$$y=-1$$

33x-2y=35 ನಲ್ಲಿ y ಗಾಗಿ -1 ಬದಲಿಸಿ. ಏಕೆಂದರೆ ಫಲಿತಾಂಶ ಸಮೀಕರಣವು ಕೇವಲ ಒಂದು ಚರಾಂಶ ಹೊಂದಿದೆ, ನೀವು ನೇರವಾಗಿ x ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು.

$$33x-2\left(-1\right)=35$$

-1 ಅನ್ನು -2 ಬಾರಿ ಗುಣಿಸಿ.

$$33x+2=35$$

ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಿಂದ 2 ಕಳೆಯಿರಿ.

$$33x=33$$

33 ದಿಂದ ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಲ್ಲಿ ಭಾಗಿಸಿ.

$$x=1$$

ಸಿಸ್ಟಂ ಅನ್ನು ಇದೀಗ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗಿದೆ.

$$x=1,y=-1$$