{l}{3(2x-y)=x-y}{x+5y=4(x+y)-1} ಪರಿಹರಿಸಿ

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 ( 2 x - y ) = x - y } \\ { x + 5 y = 4 ( x + y ) - 1 } \end{array} \right.$$

x, y ಪರಿಹರಿಸಿ

$$x=2$$

$$y=5$$

ಪರ್ಯಾಯ ಬಳಸುವಿಕೆ ಕ್ರಮಗಳು

ಮೊದಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣ ಪರಿಗಣಿಸಿ. 2x-y ದಿಂದ 3 ಗುಣಿಸಲು ವಿಭಾಜಕ ಗುಣವನ್ನು ಬಳಸಿ.

$$6x-3y=x-y$$

ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಿಂದ x ಕಳೆಯಿರಿ.

$$6x-3y-x=-y$$

5x ಪಡೆದುಕೊಳ್ಳಲು 6x ಮತ್ತು -x ಕೂಡಿಸಿ.

$$5x-3y=-y$$

ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಿಗೆ y ಸೇರಿಸಿ.

$$5x-3y+y=0$$

-2y ಪಡೆದುಕೊಳ್ಳಲು -3y ಮತ್ತು y ಕೂಡಿಸಿ.

$$5x-2y=0$$

ಎರಡನೆಯ ಸಮೀಕರಣ ಪರಿಗಣಿಸಿ. x+y ದಿಂದ 4 ಗುಣಿಸಲು ವಿಭಾಜಕ ಗುಣವನ್ನು ಬಳಸಿ.

$$x+5y=4x+4y-1$$

ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಿಂದ 4x ಕಳೆಯಿರಿ.

$$x+5y-4x=4y-1$$

-3x ಪಡೆದುಕೊಳ್ಳಲು x ಮತ್ತು -4x ಕೂಡಿಸಿ.

$$-3x+5y=4y-1$$

ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಿಂದ 4y ಕಳೆಯಿರಿ.

$$-3x+5y-4y=-1$$

y ಪಡೆದುಕೊಳ್ಳಲು 5y ಮತ್ತು -4y ಕೂಡಿಸಿ.

$$-3x+y=-1$$

ಪರ್ಯಾಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಮೀಕರಣಗಳ ಜೋಡಿಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ಮೊದಲು ಚರಾಂಶಗಳ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಒಂದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ. ತದನಂತರ ಇತರ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಆ ಚರಾಂಶಕ್ಕೆ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಬದಲಿಸಿ.

$$5x-2y=0,-3x+y=-1$$

ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಆರಿಸಿ ಹಾಗೂ ಸಮ ಚಿಹ್ನೆಯ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ x ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುವ ಮೂಲಕ x ಗಾಗಿ ಅದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ.

$$5x-2y=0$$

ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಲ್ಲಿ 2y ಸೇರಿಸಿ.

$$5x=2y$$

5 ದಿಂದ ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಲ್ಲಿ ಭಾಗಿಸಿ.

$$x=\frac{1}{5}\times 2y$$

2y ಅನ್ನು \frac{1}{5} ಬಾರಿ ಗುಣಿಸಿ.

$$x=\frac{2}{5}y$$

ಇತರ ಸಮೀಕರಣ -3x+y=-1 ನಲ್ಲಿ x ಗಾಗಿ \frac{2y}{5} ಬದಲಿಸಿ.

$$-3\times \frac{2}{5}y+y=-1$$

\frac{2y}{5} ಅನ್ನು -3 ಬಾರಿ ಗುಣಿಸಿ.

$$-\frac{6}{5}y+y=-1$$

y ಗೆ -\frac{6y}{5} ಸೇರಿಸಿ.

$$-\frac{1}{5}y=-1$$

-5 ಮೂಲಕ ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಲ್ಲಿ ಗುಣಿಸಿ.

$$y=5$$

x=\frac{2}{5}y ನಲ್ಲಿ y ಗಾಗಿ 5 ಬದಲಿಸಿ. ಏಕೆಂದರೆ ಫಲಿತಾಂಶ ಸಮೀಕರಣವು ಕೇವಲ ಒಂದು ಚರಾಂಶ ಹೊಂದಿದೆ, ನೀವು ನೇರವಾಗಿ x ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು.

$$x=\frac{2}{5}\times 5$$

5 ಅನ್ನು \frac{2}{5} ಬಾರಿ ಗುಣಿಸಿ.

$$x=2$$

ಸಿಸ್ಟಂ ಅನ್ನು ಇದೀಗ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗಿದೆ.

$$x=2,y=5$$

ಮಾತೃಕೆಗಳ ಬಳಸುವಿಕೆ ಕ್ರಮಗಳು

ಮೊದಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣ ಪರಿಗಣಿಸಿ. 2x-y ದಿಂದ 3 ಗುಣಿಸಲು ವಿಭಾಜಕ ಗುಣವನ್ನು ಬಳಸಿ.

$$6x-3y=x-y$$

ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಿಂದ x ಕಳೆಯಿರಿ.

$$6x-3y-x=-y$$

5x ಪಡೆದುಕೊಳ್ಳಲು 6x ಮತ್ತು -x ಕೂಡಿಸಿ.

$$5x-3y=-y$$

ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಿಗೆ y ಸೇರಿಸಿ.

$$5x-3y+y=0$$

-2y ಪಡೆದುಕೊಳ್ಳಲು -3y ಮತ್ತು y ಕೂಡಿಸಿ.

$$5x-2y=0$$

ಎರಡನೆಯ ಸಮೀಕರಣ ಪರಿಗಣಿಸಿ. x+y ದಿಂದ 4 ಗುಣಿಸಲು ವಿಭಾಜಕ ಗುಣವನ್ನು ಬಳಸಿ.

$$x+5y=4x+4y-1$$

ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಿಂದ 4x ಕಳೆಯಿರಿ.

$$x+5y-4x=4y-1$$

-3x ಪಡೆದುಕೊಳ್ಳಲು x ಮತ್ತು -4x ಕೂಡಿಸಿ.

$$-3x+5y=4y-1$$

ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಿಂದ 4y ಕಳೆಯಿರಿ.

$$-3x+5y-4y=-1$$

y ಪಡೆದುಕೊಳ್ಳಲು 5y ಮತ್ತು -4y ಕೂಡಿಸಿ.

$$-3x+y=-1$$

ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪ್ರಮಾಣಿತ ಫಾರ್ಮ್‌ನಲ್ಲಿ ಇರಿಸಿ ತದನಂತರ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಸೈಸ್ ಬಳಸಿ.

$$5x-2y=0,-3x+y=-1$$

ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಮಾತೃಕೆ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ.

$$\left(\begin{matrix}5&-2\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&-2\\-3&1\end{matrix}\right) ನ ವಿಲೋಮ ಮಾತೃಕೆ ಮೂಲಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಎಡಕ್ಕೆ ಗುಣಾಕಾರ ಮಾಡಿ.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-2\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-1\end{matrix}\right)$$

ಮಾತೃಕೆ ಮತ್ತು ಅದರ ವಿಲೋಮದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಗುರುತು ಮಾತೃಕೆ ಆಗಿದೆ.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-1\end{matrix}\right)$$

ಸಮಾನ ಚಿಹ್ನೆಯ ಎಡ ಬದಿಯಲ್ಲಿ ಮಾತೃಕೆಗಳನ್ನು ಗುಣಾಕಾರ ಮಾಡಿ.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) ಗೆ; ವಿಲೋಮ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ಆಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಗುಣಾಕಾರ ಸಮಸ್ಯೆಯೆಂದು ಮರುಬರೆಯಬಹುದು.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5-\left(-2\left(-3\right)\right)}&-\frac{-2}{5-\left(-2\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{5-\left(-2\left(-3\right)\right)}&\frac{5}{5-\left(-2\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-1\end{matrix}\right)$$

ಅಂಕಗಣಿತ ಮಾಡಿ.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&-2\\-3&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-1\end{matrix}\right)$$

ಮಾತೃಕೆಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಿ.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\left(-1\right)\\-5\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

ಅಂಕಗಣಿತ ಮಾಡಿ.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\5\end{matrix}\right)$$

ಮಾತೃಕೆ ಅಂಶಗಳು x ಮತ್ತು y ಬೇರೆ ಮಾಡಿ.

$$x=2,y=5$$

ತೆಗೆದುಹಾಕುವಿಕೆ ಬಳಸುವಿಕೆ ಕ್ರಮಗಳು

ಮೊದಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣ ಪರಿಗಣಿಸಿ. 2x-y ದಿಂದ 3 ಗುಣಿಸಲು ವಿಭಾಜಕ ಗುಣವನ್ನು ಬಳಸಿ.

$$6x-3y=x-y$$

ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಿಂದ x ಕಳೆಯಿರಿ.

$$6x-3y-x=-y$$

5x ಪಡೆದುಕೊಳ್ಳಲು 6x ಮತ್ತು -x ಕೂಡಿಸಿ.

$$5x-3y=-y$$

ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಿಗೆ y ಸೇರಿಸಿ.

$$5x-3y+y=0$$

-2y ಪಡೆದುಕೊಳ್ಳಲು -3y ಮತ್ತು y ಕೂಡಿಸಿ.

$$5x-2y=0$$

ಎರಡನೆಯ ಸಮೀಕರಣ ಪರಿಗಣಿಸಿ. x+y ದಿಂದ 4 ಗುಣಿಸಲು ವಿಭಾಜಕ ಗುಣವನ್ನು ಬಳಸಿ.

$$x+5y=4x+4y-1$$

ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಿಂದ 4x ಕಳೆಯಿರಿ.

$$x+5y-4x=4y-1$$

-3x ಪಡೆದುಕೊಳ್ಳಲು x ಮತ್ತು -4x ಕೂಡಿಸಿ.

$$-3x+5y=4y-1$$

ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಿಂದ 4y ಕಳೆಯಿರಿ.

$$-3x+5y-4y=-1$$

y ಪಡೆದುಕೊಳ್ಳಲು 5y ಮತ್ತು -4y ಕೂಡಿಸಿ.

$$-3x+y=-1$$

ತೆಗೆದುಹಾಕುವಿಕೆ ಮೂಲಕ ಪರಿಹರಿಸಲು, ಚರಾಂಶಗಳಲ್ಲಿನ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಆಗಿರಬೇಕು ಈ ಮೂಲಕ ಇತರೆಯಿಂದ ಒಂದು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ವ್ಯವಕಲನ ಮಾಡಿದಾಗ ಚರಾಂಶವನ್ನು ರದ್ದುಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

$$5x-2y=0,-3x+y=-1$$

5x ಮತ್ತು -3x ಸಮವಾಗಿ ಮಾಡಲು, ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣದ ಪ್ರತಿ ಬದಿಯಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಪದಗಳನ್ನು -3 ಎರಡನೇ ಪ್ರತಿ ಬದಿಯಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಪದಗಳನ್ನು 5 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ.

$$-3\times 5x-3\left(-2\right)y=0,5\left(-3\right)x+5y=5\left(-1\right)$$

ಸರಳೀಕೃತಗೊಳಿಸಿ.

$$-15x+6y=0,-15x+5y=-5$$

ಸಮ ಚಿಹ್ನೆಯ ಪ್ರತಿ ಬದಿಯಲ್ಲಿ ಪದಗಳಂತಹವುಗಳನ್ನು ಕಳೆಯುವ ಮೂಲಕ -15x+6y=0 ದಿಂದ -15x+5y=-5 ಕಳೆಯಿರಿ.

$$-15x+15x+6y-5y=5$$

15x ಗೆ -15x ಸೇರಿಸಿ. ನಿಯಮಗಳು -15x ಮತ್ತು 15x ರದ್ದುಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ, ಈ ಮೂಲಕ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದಾಗ ಏಕೈಕ ಚರಾಂಶದ ಜೊತೆಗೆ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಉಳಿಸಿದೆ.

$$6y-5y=5$$

-5y ಗೆ 6y ಸೇರಿಸಿ.

$$y=5$$

-3x+y=-1 ನಲ್ಲಿ y ಗಾಗಿ 5 ಬದಲಿಸಿ. ಏಕೆಂದರೆ ಫಲಿತಾಂಶ ಸಮೀಕರಣವು ಕೇವಲ ಒಂದು ಚರಾಂಶ ಹೊಂದಿದೆ, ನೀವು ನೇರವಾಗಿ x ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು.

$$-3x+5=-1$$

ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಿಂದ 5 ಕಳೆಯಿರಿ.

$$-3x=-6$$

-3 ದಿಂದ ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಲ್ಲಿ ಭಾಗಿಸಿ.

$$x=2$$

ಸಿಸ್ಟಂ ಅನ್ನು ಇದೀಗ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗಿದೆ.

$$x=2,y=5$$