{l}{x/60+y/30=6*5}{x/50+y/40=6} ಪರಿಹರಿಸಿ

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x } { 60 } + \frac { y } { 30 } = 6 \cdot 5 } \\ { \frac { x } { 50 } + \frac { y } { 40 } = 6 } \end{array} \right.$$

x, y ಪರಿಹರಿಸಿ

$$x=-2200$$

$$y=2000$$

ಪರ್ಯಾಯ ಬಳಸುವಿಕೆ ಕ್ರಮಗಳು

ಪರ್ಯಾಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಮೀಕರಣಗಳ ಜೋಡಿಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ಮೊದಲು ಚರಾಂಶಗಳ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಒಂದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ. ತದನಂತರ ಇತರ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಆ ಚರಾಂಶಕ್ಕೆ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಬದಲಿಸಿ.

$$\frac{1}{60}x+\frac{1}{30}y=30,\frac{1}{50}x+\frac{1}{40}y=6$$

ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಆರಿಸಿ ಹಾಗೂ ಸಮ ಚಿಹ್ನೆಯ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ x ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುವ ಮೂಲಕ x ಗಾಗಿ ಅದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ.

$$\frac{1}{60}x+\frac{1}{30}y=30$$

ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಿಂದ \frac{y}{30} ಕಳೆಯಿರಿ.

$$\frac{1}{60}x=-\frac{1}{30}y+30$$

60 ಮೂಲಕ ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಲ್ಲಿ ಗುಣಿಸಿ.

$$x=60\left(-\frac{1}{30}y+30\right)$$

-\frac{y}{30}+30 ಅನ್ನು 60 ಬಾರಿ ಗುಣಿಸಿ.

$$x=-2y+1800$$

ಇತರ ಸಮೀಕರಣ \frac{1}{50}x+\frac{1}{40}y=6 ನಲ್ಲಿ x ಗಾಗಿ -2y+1800 ಬದಲಿಸಿ.

$$\frac{1}{50}\left(-2y+1800\right)+\frac{1}{40}y=6$$

-2y+1800 ಅನ್ನು \frac{1}{50} ಬಾರಿ ಗುಣಿಸಿ.

$$-\frac{1}{25}y+36+\frac{1}{40}y=6$$

\frac{y}{40} ಗೆ -\frac{y}{25} ಸೇರಿಸಿ.

$$-\frac{3}{200}y+36=6$$

ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಿಂದ 36 ಕಳೆಯಿರಿ.

$$-\frac{3}{200}y=-30$$

ಭಿನ್ನಾಂಕದ ವ್ಯುತ್ಕ್ರಮದಿಂದ ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಲ್ಲಿ ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಯಾವುದು ಒಂದೇ ಬರುತ್ತದೆಯೋ, -\frac{3}{200} ದಿಂದ ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಲ್ಲಿ ಭಾಗಿಸಿ.

$$y=2000$$

x=-2y+1800 ನಲ್ಲಿ y ಗಾಗಿ 2000 ಬದಲಿಸಿ. ಏಕೆಂದರೆ ಫಲಿತಾಂಶ ಸಮೀಕರಣವು ಕೇವಲ ಒಂದು ಚರಾಂಶ ಹೊಂದಿದೆ, ನೀವು ನೇರವಾಗಿ x ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು.

$$x=-2\times 2000+1800$$

2000 ಅನ್ನು -2 ಬಾರಿ ಗುಣಿಸಿ.

$$x=-4000+1800$$

-4000 ಗೆ 1800 ಸೇರಿಸಿ.

$$x=-2200$$

ಸಿಸ್ಟಂ ಅನ್ನು ಇದೀಗ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗಿದೆ.

$$x=-2200,y=2000$$

ಮಾತೃಕೆಗಳ ಬಳಸುವಿಕೆ ಕ್ರಮಗಳು

ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪ್ರಮಾಣಿತ ಫಾರ್ಮ್‌ನಲ್ಲಿ ಇರಿಸಿ ತದನಂತರ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಸೈಸ್ ಬಳಸಿ.

$$\frac{1}{60}x+\frac{1}{30}y=30,\frac{1}{50}x+\frac{1}{40}y=6$$

ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಮಾತೃಕೆ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ.

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{60}&\frac{1}{30}\\\frac{1}{50}&\frac{1}{40}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}30\\6\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}\frac{1}{60}&\frac{1}{30}\\\frac{1}{50}&\frac{1}{40}\end{matrix}\right) ನ ವಿಲೋಮ ಮಾತೃಕೆ ಮೂಲಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಎಡಕ್ಕೆ ಗುಣಾಕಾರ ಮಾಡಿ.

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{60}&\frac{1}{30}\\\frac{1}{50}&\frac{1}{40}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{60}&\frac{1}{30}\\\frac{1}{50}&\frac{1}{40}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{60}&\frac{1}{30}\\\frac{1}{50}&\frac{1}{40}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\6\end{matrix}\right)$$

ಮಾತೃಕೆ ಮತ್ತು ಅದರ ವಿಲೋಮದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಗುರುತು ಮಾತೃಕೆ ಆಗಿದೆ.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{60}&\frac{1}{30}\\\frac{1}{50}&\frac{1}{40}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\6\end{matrix}\right)$$

ಸಮಾನ ಚಿಹ್ನೆಯ ಎಡ ಬದಿಯಲ್ಲಿ ಮಾತೃಕೆಗಳನ್ನು ಗುಣಾಕಾರ ಮಾಡಿ.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{60}&\frac{1}{30}\\\frac{1}{50}&\frac{1}{40}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\6\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) ಗೆ; ವಿಲೋಮ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ಆಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಗುಣಾಕಾರ ಸಮಸ್ಯೆಯೆಂದು ಮರುಬರೆಯಬಹುದು.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{40}}{\frac{1}{60}\times \frac{1}{40}-\frac{1}{30}\times \frac{1}{50}}&-\frac{\frac{1}{30}}{\frac{1}{60}\times \frac{1}{40}-\frac{1}{30}\times \frac{1}{50}}\\-\frac{\frac{1}{50}}{\frac{1}{60}\times \frac{1}{40}-\frac{1}{30}\times \frac{1}{50}}&\frac{\frac{1}{60}}{\frac{1}{60}\times \frac{1}{40}-\frac{1}{30}\times \frac{1}{50}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}30\\6\end{matrix}\right)$$

ಅಂಕಗಣಿತ ಮಾಡಿ.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-100&\frac{400}{3}\\80&-\frac{200}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}30\\6\end{matrix}\right)$$

ಮಾತೃಕೆಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಿ.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-100\times 30+\frac{400}{3}\times 6\\80\times 30-\frac{200}{3}\times 6\end{matrix}\right)$$

ಅಂಕಗಣಿತ ಮಾಡಿ.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2200\\2000\end{matrix}\right)$$

ಮಾತೃಕೆ ಅಂಶಗಳು x ಮತ್ತು y ಬೇರೆ ಮಾಡಿ.

$$x=-2200,y=2000$$

ತೆಗೆದುಹಾಕುವಿಕೆ ಬಳಸುವಿಕೆ ಕ್ರಮಗಳು

ತೆಗೆದುಹಾಕುವಿಕೆ ಮೂಲಕ ಪರಿಹರಿಸಲು, ಚರಾಂಶಗಳಲ್ಲಿನ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಆಗಿರಬೇಕು ಈ ಮೂಲಕ ಇತರೆಯಿಂದ ಒಂದು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ವ್ಯವಕಲನ ಮಾಡಿದಾಗ ಚರಾಂಶವನ್ನು ರದ್ದುಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

$$\frac{1}{60}x+\frac{1}{30}y=30,\frac{1}{50}x+\frac{1}{40}y=6$$

\frac{x}{60} ಮತ್ತು \frac{x}{50} ಸಮವಾಗಿ ಮಾಡಲು, ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣದ ಪ್ರತಿ ಬದಿಯಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಪದಗಳನ್ನು \frac{1}{50} ಎರಡನೇ ಪ್ರತಿ ಬದಿಯಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಪದಗಳನ್ನು \frac{1}{60} ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ.

$$\frac{1}{50}\times \frac{1}{60}x+\frac{1}{50}\times \frac{1}{30}y=\frac{1}{50}\times 30,\frac{1}{60}\times \frac{1}{50}x+\frac{1}{60}\times \frac{1}{40}y=\frac{1}{60}\times 6$$

ಸರಳೀಕೃತಗೊಳಿಸಿ.

$$\frac{1}{3000}x+\frac{1}{1500}y=\frac{3}{5},\frac{1}{3000}x+\frac{1}{2400}y=\frac{1}{10}$$

ಸಮ ಚಿಹ್ನೆಯ ಪ್ರತಿ ಬದಿಯಲ್ಲಿ ಪದಗಳಂತಹವುಗಳನ್ನು ಕಳೆಯುವ ಮೂಲಕ \frac{1}{3000}x+\frac{1}{1500}y=\frac{3}{5} ದಿಂದ \frac{1}{3000}x+\frac{1}{2400}y=\frac{1}{10} ಕಳೆಯಿರಿ.

$$\frac{1}{3000}x-\frac{1}{3000}x+\frac{1}{1500}y-\frac{1}{2400}y=\frac{3}{5}-\frac{1}{10}$$

-\frac{x}{3000} ಗೆ \frac{x}{3000} ಸೇರಿಸಿ. ನಿಯಮಗಳು \frac{x}{3000} ಮತ್ತು -\frac{x}{3000} ರದ್ದುಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ, ಈ ಮೂಲಕ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದಾಗ ಏಕೈಕ ಚರಾಂಶದ ಜೊತೆಗೆ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಉಳಿಸಿದೆ.

$$\frac{1}{1500}y-\frac{1}{2400}y=\frac{3}{5}-\frac{1}{10}$$

-\frac{y}{2400} ಗೆ \frac{y}{1500} ಸೇರಿಸಿ.

$$\frac{1}{4000}y=\frac{3}{5}-\frac{1}{10}$$

ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದವನ್ನು ಹುಡುಕುವ ಮತ್ತು ಅಂಶಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ -\frac{1}{10} ಗೆ \frac{3}{5} ಸೇರಿಸಿ. ತದನಂತರ ಸಾಧ್ಯವಾದರೆ, ಅತಿ ಕಡಿಮೆ ಪದಗಳಿಗೆ ಭಿನ್ನಾಂಶವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಿ.

$$\frac{1}{4000}y=\frac{1}{2}$$

4000 ಮೂಲಕ ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಲ್ಲಿ ಗುಣಿಸಿ.

$$y=2000$$

\frac{1}{50}x+\frac{1}{40}y=6 ನಲ್ಲಿ y ಗಾಗಿ 2000 ಬದಲಿಸಿ. ಏಕೆಂದರೆ ಫಲಿತಾಂಶ ಸಮೀಕರಣವು ಕೇವಲ ಒಂದು ಚರಾಂಶ ಹೊಂದಿದೆ, ನೀವು ನೇರವಾಗಿ x ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು.

$$\frac{1}{50}x+\frac{1}{40}\times 2000=6$$

2000 ಅನ್ನು \frac{1}{40} ಬಾರಿ ಗುಣಿಸಿ.

$$\frac{1}{50}x+50=6$$

ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಿಂದ 50 ಕಳೆಯಿರಿ.

$$\frac{1}{50}x=-44$$

50 ಮೂಲಕ ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಲ್ಲಿ ಗುಣಿಸಿ.

$$x=-2200$$

ಸಿಸ್ಟಂ ಅನ್ನು ಇದೀಗ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗಿದೆ.

$$x=-2200,y=2000$$