{l}{x^2/4+y^2/2=1}{x=my+1} ಪರಿಹರಿಸಿ

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x ^ { 2 } } { 4 } + \frac { y ^ { 2 } } { 2 } = 1 } \\ { x = m y + 1 } \end{array} \right.$$

x, y ಪರಿಹರಿಸಿ

$$x=\frac{\sqrt{2}\left(-m\sqrt{2m^{2}+3}+\sqrt{2}\right)}{m^{2}+2}\text{, }y=-\frac{\sqrt{2\left(2m^{2}+3\right)}+m}{m^{2}+2}$$

$$x=\frac{\sqrt{2}\left(m\sqrt{2m^{2}+3}+\sqrt{2}\right)}{m^{2}+2}\text{, }y=\frac{\sqrt{2\left(2m^{2}+3\right)}-m}{m^{2}+2}$$

ಪರ್ಯಾಯ ಮತ್ತು ವರ್ಗೀಯ ಸೂತ್ರ ಬಳಸುವಿಕೆ ಕ್ರಮಗಳು

ಮೊದಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣ ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು 4, 4,2 ರ ಕನಿಷ್ಠ ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದದಿಂದ ಗುಣಾಕಾರ ಮಾಡಿ.

$$x^{2}+2y^{2}=4$$

ಎರಡನೆಯ ಸಮೀಕರಣ ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಿಂದ my ಕಳೆಯಿರಿ.

$$x-my=1$$

ಪರ್ಯಾಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಮೀಕರಣಗಳ ಜೋಡಿಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ಮೊದಲು ಚರಾಂಶಗಳ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಒಂದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ. ತದನಂತರ ಇತರ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಆ ಚರಾಂಶಕ್ಕೆ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಬದಲಿಸಿ.

$$x+\left(-m\right)y=1,2y^{2}+x^{2}=4$$

ಸಮ ಚಿಹ್ನೆಯ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ x ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುವ ಮೂಲಕ x ಗಾಗಿ x+\left(-m\right)y=1 ಪರಿಹರಿಸಿ.

$$x+\left(-m\right)y=1$$

ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಿಂದ \left(-m\right)y ಕಳೆಯಿರಿ.

$$x=my+1$$

ಇತರ ಸಮೀಕರಣ 2y^{2}+x^{2}=4 ನಲ್ಲಿ x ಗಾಗಿ my+1 ಬದಲಿಸಿ.

$$2y^{2}+\left(my+1\right)^{2}=4$$

ವರ್ಗ my+1.

$$2y^{2}+m^{2}y^{2}+2my+1=4$$

m^{2}y^{2} ಗೆ 2y^{2} ಸೇರಿಸಿ.

$$\left(m^{2}+2\right)y^{2}+2my+1=4$$

ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಿಂದ 4 ಕಳೆಯಿರಿ.

$$\left(m^{2}+2\right)y^{2}+2my-3=0$$

ಈ ಸಮೀಕರಣವು ಪ್ರಮಾಣಿತ ಫಾರ್ಮ್‌ನಲ್ಲಿದೆ: ax^{2}+bx+c=0. ವರ್ಗ ಸೂತ್ರ \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ನಲ್ಲಿ a ಗೆ 2+1m^{2}, b ಗೆ 1\times 1\times 2m ಮತ್ತು c ಗೆ -3 ಬದಲಿಸಿ.

$$y=\frac{-2m±\sqrt{\left(2m\right)^{2}-4\left(m^{2}+2\right)\left(-3\right)}}{2\left(m^{2}+2\right)}$$

ವರ್ಗ 1\times 1\times 2m.

$$y=\frac{-2m±\sqrt{4m^{2}-4\left(m^{2}+2\right)\left(-3\right)}}{2\left(m^{2}+2\right)}$$

2+1m^{2} ಅನ್ನು -4 ಬಾರಿ ಗುಣಿಸಿ.

$$y=\frac{-2m±\sqrt{4m^{2}+\left(-4m^{2}-8\right)\left(-3\right)}}{2\left(m^{2}+2\right)}$$

-3 ಅನ್ನು -8-4m^{2} ಬಾರಿ ಗುಣಿಸಿ.

$$y=\frac{-2m±\sqrt{4m^{2}+12m^{2}+24}}{2\left(m^{2}+2\right)}$$

24+12m^{2} ಗೆ 4m^{2} ಸೇರಿಸಿ.

$$y=\frac{-2m±\sqrt{16m^{2}+24}}{2\left(m^{2}+2\right)}$$

24+16m^{2} ನ ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ.

$$y=\frac{-2m±2\sqrt{4m^{2}+6}}{2\left(m^{2}+2\right)}$$

2+1m^{2} ಅನ್ನು 2 ಬಾರಿ ಗುಣಿಸಿ.

$$y=\frac{-2m±2\sqrt{4m^{2}+6}}{2m^{2}+4}$$

± ಎನ್ನುವುದು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುವಾಗ y=\frac{-2m±2\sqrt{4m^{2}+6}}{2m^{2}+4} ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಇದೀಗ ಪರಿಹರಿಸಿ. 2\sqrt{6+4m^{2}} ಗೆ -2m ಸೇರಿಸಿ.

$$y=\frac{2\sqrt{4m^{2}+6}-2m}{2m^{2}+4}$$

4+2m^{2} ದಿಂದ -2m+2\sqrt{6+4m^{2}} ಭಾಗಿಸಿ.

$$y=\frac{\sqrt{4m^{2}+6}-m}{m^{2}+2}$$

± ಎನ್ನುವುದು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುವಾಗ y=\frac{-2m±2\sqrt{4m^{2}+6}}{2m^{2}+4} ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಇದೀಗ ಪರಿಹರಿಸಿ. -2m ದಿಂದ 2\sqrt{6+4m^{2}} ಕಳೆಯಿರಿ.

$$y=\frac{-2\sqrt{4m^{2}+6}-2m}{2m^{2}+4}$$

4+2m^{2} ದಿಂದ -2m-2\sqrt{6+4m^{2}} ಭಾಗಿಸಿ.

$$y=-\frac{\sqrt{4m^{2}+6}+m}{m^{2}+2}$$

y ಗೆ ಎರಡು ಪರಿಹಾರಗಳಿವೆ: \frac{-m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}} ಮತ್ತು -\frac{m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}}. ಎರಡೂ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಗೊಳಿಸುವ x ಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಪರಿಹಾರ ಹುಡುಕಲು x=my+1 ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ y ಗಾಗಿ \frac{-m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}} ಬದಲಿಸಿ.

$$x=m\times \frac{\sqrt{4m^{2}+6}-m}{m^{2}+2}+1$$

\frac{-m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}} ಅನ್ನು m ಬಾರಿ ಗುಣಿಸಿ.

$$x=\frac{\sqrt{4m^{2}+6}-m}{m^{2}+2}m+1$$

1 ಗೆ m\times \frac{-m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}} ಸೇರಿಸಿ.

$$x=1+\frac{\sqrt{4m^{2}+6}-m}{m^{2}+2}m$$

ಇದೀಗ x=my+1 ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ y ಗಾಗಿ -\frac{m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}} ಅನ್ನು ಬದಲಿಸಿ ಹಾಗೂ ಎರಡೂ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುವ x ಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಪರಿಹಾರ ಹುಡುಕಲು ಪರಿಹರಿಸಿ.

$$x=m\left(-\frac{\sqrt{4m^{2}+6}+m}{m^{2}+2}\right)+1$$

-\frac{m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}} ಅನ್ನು m ಬಾರಿ ಗುಣಿಸಿ.

$$x=\left(-\frac{\sqrt{4m^{2}+6}+m}{m^{2}+2}\right)m+1$$

1 ಗೆ m\left(-\frac{m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}}\right) ಸೇರಿಸಿ.

$$x=1+\left(-\frac{\sqrt{4m^{2}+6}+m}{m^{2}+2}\right)m$$

ಸಿಸ್ಟಂ ಅನ್ನು ಇದೀಗ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗಿದೆ.

$$x=1+\frac{\sqrt{4m^{2}+6}-m}{m^{2}+2}m,y=\frac{\sqrt{4m^{2}+6}-m}{m^{2}+2}\text{ or }x=1+\left(-\frac{\sqrt{4m^{2}+6}+m}{m^{2}+2}\right)m,y=-\frac{\sqrt{4m^{2}+6}+m}{m^{2}+2}$$

x, y ಪರಿಹರಿಸಿ (ಸಂಕೀರ್ಣ ಪರಿಹಾರ)

$$\left\{\begin{matrix}x=\frac{\sqrt{2}\left(-m\sqrt{2m^{2}+3}+\sqrt{2}\right)}{m^{2}+2}\text{, }y=-\frac{\sqrt{2\left(2m^{2}+3\right)}+m}{m^{2}+2}\text{; }x=\frac{\sqrt{2}\left(m\sqrt{2m^{2}+3}+\sqrt{2}\right)}{m^{2}+2}\text{, }y=\frac{\sqrt{2\left(2m^{2}+3\right)}-m}{m^{2}+2}\text{, }&m\neq -\sqrt{2}i\text{ and }m\neq \sqrt{2}i\\x=\frac{5}{2}=2.5\text{, }y=\frac{3}{2m}\text{, }&m=-\sqrt{2}i\text{ or }m=\sqrt{2}i\end{matrix}\right.$$