75/x=75/x+15+1/4 ಪರಿಹರಿಸಿ

$$\frac { 75 } { x } = \frac { 75 } { x + 15 } + \frac { 1 } { 4 }$$

x ಪರಿಹರಿಸಿ

$$x=-75$$

$$x=60$$

ಗುಂಪುಗೊಳಿಸುವಿಕೆ ಮೂಲಕ ಅಪವರ್ತನಗೊಳಿಸುವಿಕೆಯನ್ನು ಬಳಸುತ್ತಿರುವ ಹಂತಗಳು

ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಭಾಗಿಸುವಿಕೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸದೇ ಇರುವುದರಿಂದ x ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಯಾವುದೇ -15,0 ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರಬಾರದು. ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು 4x\left(x+15\right), x,x+15,4 ರ ಕನಿಷ್ಠ ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದದಿಂದ ಗುಣಾಕಾರ ಮಾಡಿ.

$$\left(4x+60\right)\times 75=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

75 ದಿಂದ 4x+60 ಗುಣಿಸಲು ವಿಭಾಜಕ ಗುಣವನ್ನು ಬಳಸಿ.

$$300x+4500=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

300 ಪಡೆದುಕೊಳ್ಳಲು 4 ಮತ್ತು 75 ಗುಣಿಸಿ.

$$300x+4500=300x+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

1 ಪಡೆದುಕೊಳ್ಳಲು 4 ಮತ್ತು \frac{1}{4} ಗುಣಿಸಿ.

$$300x+4500=300x+x\left(x+15\right)$$

x+15 ದಿಂದ x ಗುಣಿಸಲು ವಿಭಾಜಕ ಗುಣವನ್ನು ಬಳಸಿ.

$$300x+4500=300x+x^{2}+15x$$

315x ಪಡೆದುಕೊಳ್ಳಲು 300x ಮತ್ತು 15x ಕೂಡಿಸಿ.

$$300x+4500=315x+x^{2}$$

ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಿಂದ 315x ಕಳೆಯಿರಿ.

$$300x+4500-315x=x^{2}$$

-15x ಪಡೆದುಕೊಳ್ಳಲು 300x ಮತ್ತು -315x ಕೂಡಿಸಿ.

$$-15x+4500=x^{2}$$

ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಿಂದ x^{2} ಕಳೆಯಿರಿ.

$$-15x+4500-x^{2}=0$$

ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯನ್ನು ಪ್ರಮಾಣಿತ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಅದನ್ನು ಮರುಆಯೋಜಿಸಿ. ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಅಧಿಕದಿಂದ ಕಡಿಮೆ ಘಾತದ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಇರಿಸಿ.

$$-x^{2}-15x+4500=0$$

ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ಗುಂಪುಗೊಳಿಸುವ ಮೂಲಕ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ಅಪವರ್ತನಗೊಳಿಸಿ. ಮೊದಲು, ಎಡಭಾಗವನ್ನು -x^{2}+ax+bx+4500 ಎಂಬುದಾಗಿ ಮರುಬರೆಯಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. a ಮತ್ತು b ಹುಡುಕಲು, ಪರಿಹರಿಸಬೇಕಾದ ಸಿಸ್ಟಂ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿಸಿ.

$$a+b=-15 ab=-4500=-4500$$

ab ಋಣಾತ್ಮಕ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, a ಮತ್ತು b ವಿರುದ್ಧ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. a+b ಋಣಾತ್ಮಕ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಿಂತ ಅಧಿಕ ಪ್ರಮಾಣದ ಪರಿಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಉತ್ಪನ್ನ -4500 ನೀಡುವ ಎಲ್ಲ ಈ ರೀತಿಯ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಜೋಡಿಗಳನ್ನು ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಿ.

$$1,-4500 2,-2250 3,-1500 4,-1125 5,-900 6,-750 9,-500 10,-450 12,-375 15,-300 18,-250 20,-225 25,-180 30,-150 36,-125 45,-100 50,-90 60,-75$$

ಪ್ರತಿ ಜೋಡಿಗಾಗಿ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ.

$$1-4500=-4499 2-2250=-2248 3-1500=-1497 4-1125=-1121 5-900=-895 6-750=-744 9-500=-491 10-450=-440 12-375=-363 15-300=-285 18-250=-232 20-225=-205 25-180=-155 30-150=-120 36-125=-89 45-100=-55 50-90=-40 60-75=-15$$

ಪರಿಹಾರವು -15 ಮೊತ್ತವನ್ನು ನೀಡುವ ಜೋಡಿ ಆಗಿದೆ.

$$a=60 b=-75$$

\left(-x^{2}+60x\right)+\left(-75x+4500\right) ನ ಹಾಗೆ -x^{2}-15x+4500 ಅನ್ನು ಮರುಬರೆಯಿರಿ.

$$\left(-x^{2}+60x\right)+\left(-75x+4500\right)$$

ಮೊದಲನೆಯದರಲ್ಲಿ x ಅನ್ನು ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ 75 ಅನ್ನು ಅಪವರ್ತನಗೊಳಿಸಿ.

$$x\left(-x+60\right)+75\left(-x+60\right)$$

ವಿತರಣೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದ -x+60 ಅನ್ನು ಅಪವರ್ತನಗೊಳಿಸಿ.

$$\left(-x+60\right)\left(x+75\right)$$

ಸಮೀಕರಣ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಲು, -x+60=0 ಮತ್ತು x+75=0 ಪರಿಹರಿಸಿ.

$$x=60 x=-75$$

ವರ್ಗ ಸೂತ್ರ ಬಳಸುವಿಕೆ ಕ್ರಮಗಳು

ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಭಾಗಿಸುವಿಕೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸದೇ ಇರುವುದರಿಂದ x ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಯಾವುದೇ -15,0 ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರಬಾರದು. ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು 4x\left(x+15\right), x,x+15,4 ರ ಕನಿಷ್ಠ ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದದಿಂದ ಗುಣಾಕಾರ ಮಾಡಿ.

$$\left(4x+60\right)\times 75=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

75 ದಿಂದ 4x+60 ಗುಣಿಸಲು ವಿಭಾಜಕ ಗುಣವನ್ನು ಬಳಸಿ.

$$300x+4500=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

300 ಪಡೆದುಕೊಳ್ಳಲು 4 ಮತ್ತು 75 ಗುಣಿಸಿ.

$$300x+4500=300x+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

1 ಪಡೆದುಕೊಳ್ಳಲು 4 ಮತ್ತು \frac{1}{4} ಗುಣಿಸಿ.

$$300x+4500=300x+x\left(x+15\right)$$

x+15 ದಿಂದ x ಗುಣಿಸಲು ವಿಭಾಜಕ ಗುಣವನ್ನು ಬಳಸಿ.

$$300x+4500=300x+x^{2}+15x$$

315x ಪಡೆದುಕೊಳ್ಳಲು 300x ಮತ್ತು 15x ಕೂಡಿಸಿ.

$$300x+4500=315x+x^{2}$$

ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಿಂದ 315x ಕಳೆಯಿರಿ.

$$300x+4500-315x=x^{2}$$

-15x ಪಡೆದುಕೊಳ್ಳಲು 300x ಮತ್ತು -315x ಕೂಡಿಸಿ.

$$-15x+4500=x^{2}$$

ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಿಂದ x^{2} ಕಳೆಯಿರಿ.

$$-15x+4500-x^{2}=0$$

ax^{2}+bx+c=0 ಫಾರ್ಮ್‌ನ ಎಲ್ಲಾ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ವರ್ಗ ಸೂತ್ರ ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. ವರ್ಗ ಸೂತ್ರವು ಎರಡು ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಒಂದು ± ಸಂಕಲನ ಮಾಡಿದಾಗ ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು ಇದನ್ನು ವ್ಯವಕಲನ ಮಾಡಿದಾಗ.

$$-x^{2}-15x+4500=0$$

ಈ ಸಮೀಕರಣವು ಪ್ರಮಾಣಿತ ಫಾರ್ಮ್‌ನಲ್ಲಿದೆ: ax^{2}+bx+c=0. ವರ್ಗ ಸೂತ್ರ \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ನಲ್ಲಿ a ಗೆ -1, b ಗೆ -15 ಮತ್ತು c ಗೆ 4500 ಬದಲಿಸಿ.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\left(-1\right)\times 4500}}{2\left(-1\right)}$$

ವರ್ಗ -15.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\left(-1\right)\times 4500}}{2\left(-1\right)}$$

-1 ಅನ್ನು -4 ಬಾರಿ ಗುಣಿಸಿ.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225+4\times 4500}}{2\left(-1\right)}$$

4500 ಅನ್ನು 4 ಬಾರಿ ಗುಣಿಸಿ.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225+18000}}{2\left(-1\right)}$$

18000 ಗೆ 225 ಸೇರಿಸಿ.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{18225}}{2\left(-1\right)}$$

18225 ನ ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±135}{2\left(-1\right)}$$

-15 ನ ವಿಲೋಮವು 15 ಆಗಿದೆ.

$$x=\frac{15±135}{2\left(-1\right)}$$

-1 ಅನ್ನು 2 ಬಾರಿ ಗುಣಿಸಿ.

$$x=\frac{15±135}{-2}$$

± ಎನ್ನುವುದು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುವಾಗ x=\frac{15±135}{-2} ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಇದೀಗ ಪರಿಹರಿಸಿ. 135 ಗೆ 15 ಸೇರಿಸಿ.

$$x=\frac{150}{-2}$$

-2 ದಿಂದ 150 ಭಾಗಿಸಿ.

$$x=-75$$

± ಎನ್ನುವುದು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುವಾಗ x=\frac{15±135}{-2} ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಇದೀಗ ಪರಿಹರಿಸಿ. 15 ದಿಂದ 135 ಕಳೆಯಿರಿ.

$$x=-\frac{120}{-2}$$

-2 ದಿಂದ -120 ಭಾಗಿಸಿ.

$$x=60$$

ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಇದೀಗ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗಿದೆ.

$$x=-75 x=60$$

ವರ್ಗ ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುವುದಕ್ಕಾಗಿ ಕ್ರಮಗಳು

ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಭಾಗಿಸುವಿಕೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸದೇ ಇರುವುದರಿಂದ x ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಯಾವುದೇ -15,0 ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರಬಾರದು. ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು 4x\left(x+15\right), x,x+15,4 ರ ಕನಿಷ್ಠ ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದದಿಂದ ಗುಣಾಕಾರ ಮಾಡಿ.

$$\left(4x+60\right)\times 75=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

75 ದಿಂದ 4x+60 ಗುಣಿಸಲು ವಿಭಾಜಕ ಗುಣವನ್ನು ಬಳಸಿ.

$$300x+4500=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

300 ಪಡೆದುಕೊಳ್ಳಲು 4 ಮತ್ತು 75 ಗುಣಿಸಿ.

$$300x+4500=300x+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

1 ಪಡೆದುಕೊಳ್ಳಲು 4 ಮತ್ತು \frac{1}{4} ಗುಣಿಸಿ.

$$300x+4500=300x+x\left(x+15\right)$$

x+15 ದಿಂದ x ಗುಣಿಸಲು ವಿಭಾಜಕ ಗುಣವನ್ನು ಬಳಸಿ.

$$300x+4500=300x+x^{2}+15x$$

315x ಪಡೆದುಕೊಳ್ಳಲು 300x ಮತ್ತು 15x ಕೂಡಿಸಿ.

$$300x+4500=315x+x^{2}$$

ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಿಂದ 315x ಕಳೆಯಿರಿ.

$$300x+4500-315x=x^{2}$$

-15x ಪಡೆದುಕೊಳ್ಳಲು 300x ಮತ್ತು -315x ಕೂಡಿಸಿ.

$$-15x+4500=x^{2}$$

ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಿಂದ x^{2} ಕಳೆಯಿರಿ.

$$-15x+4500-x^{2}=0$$

ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಿಂದ 4500 ಕಳೆಯಿರಿ. ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಏನನ್ನಾದರೂ ಕಳೆದರೆ ಅದರ ಋಣಾತ್ಮಕವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ.

$$-15x-x^{2}=-4500$$

ಇದರಂತಹ ವರ್ಗೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ವರ್ಗ ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು. ವರ್ಗವನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಲು, ಸಮೀಕರಣವು ಮೊದಲು x^{2}+bx=c ಫಾರ್ಮ್‌ನಲ್ಲಿ ಇರಬೇಕು.

$$-x^{2}-15x=-4500$$

-1 ದಿಂದ ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಲ್ಲಿ ಭಾಗಿಸಿ.

$$\frac{-x^{2}-15x}{-1}=-\frac{4500}{-1}$$

-1 ದಿಂದ ಭಾಗಿಸುವುದರಿಂದ -1 ಮೂಲಕ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ರದ್ದುಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ.

$$x^{2}+\left(-\frac{15}{-1}\right)x=-\frac{4500}{-1}$$

-1 ದಿಂದ -15 ಭಾಗಿಸಿ.

$$x^{2}+15x=-\frac{4500}{-1}$$

-1 ದಿಂದ -4500 ಭಾಗಿಸಿ.

$$x^{2}+15x=4500$$

\frac{15}{2} ಪಡೆಯುವುದಕ್ಕಾಗಿ x ನ ಗುಣಾಂಕವಾದ 15 ಅನ್ನು 2 ನಿಂದ ವಿಭಾಗಿಸಿ. ನಂತರ ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಭಾಗಗಳಿಗೆ \frac{15}{2} ನ ವರ್ಗವನ್ನು ಸೇರಿಸಿ. ಈ ಹಂತವು ಸಮೀಕರಣದ ಎಡ ಭಾಗವನ್ನು ಪರಿಪೂರ್ಣ ವರ್ಗವನ್ನಾಗಿಸುತ್ತದೆ.

$$x^{2}+15x+\left(\frac{15}{2}\right)^{2}=4500+\left(\frac{15}{2}\right)^{2}$$

ಭಿನ್ನಾಂಶದ ಸಂಖ್ಯಾಕಾರ ಮತ್ತು ಛೇದವನ್ನು ಎರಡನ್ನೂ ವರ್ಗಗೊಳಿಸುವ ಮೂಲಕ \frac{15}{2} ವರ್ಗಗೊಳಿಸಿ.

$$x^{2}+15x+\frac{225}{4}=4500+\frac{225}{4}$$

\frac{225}{4} ಗೆ 4500 ಸೇರಿಸಿ.

$$x^{2}+15x+\frac{225}{4}=\frac{18225}{4}$$

ಅಪವರ್ತನ x^{2}+15x+\frac{225}{4}. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, x^{2}+bx+c ಒಂದು ಪರಿಪೂರ್ಣ ಚೌಕವಾಗಿದ್ದಾಗ, ಅದನ್ನು ಯಾವಾಗಲೂ \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} ಆಗಿ ಅಪವರ್ತನಗೊಳಿಸಬಹುದು.

$$\left(x+\frac{15}{2}\right)^{2}=\frac{18225}{4}$$

ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡು ಬದಿಗಳ ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ.

$$\sqrt{\left(x+\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{18225}{4}}$$

ಸರಳೀಕೃತಗೊಳಿಸಿ.

$$x+\frac{15}{2}=\frac{135}{2} x+\frac{15}{2}=-\frac{135}{2}$$

ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಿಂದ \frac{15}{2} ಕಳೆಯಿರಿ.

$$x=60 x=-75$$