ដោះស្រាយ x^4+x^2+x+1=(x^2+A)(x^2-1)+Bx+C

$$x ^ { 4 } + x ^ { 2 } + x + 1 = ( x ^ { 2 } + A ) ( x ^ { 2 } - 1 ) + B x + C$$

ដោះស្រាយសម្រាប់ A (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}A=-\frac{-2x^{2}+Bx-x+C-1}{x^{2}-1}\text{, }&x\neq -1\text{ and }x\neq 1\\A\in \mathrm{C}\text{, }&\left(B=4-C\text{ and }x=1\right)\text{ or }\left(B=C-2\text{ and }x=-1\right)\end{matrix}\right.$$

ជំហានសម្រាប់ការដោះស្រាយសមីការលីនេអ៊ែរ

ប្រើលក្ខណៈបំបែក​ដើម្បីគុណ x^{2}+A នឹង x^{2}-1។

$$x^{4}+x^{2}+x+1=x^{4}-x^{2}+Ax^{2}-A+Bx+C$$

ប្ដូរផ្នែកទាំងពីរ ដើម្បីឲ្យតួអថេរទាំងអស់ស្ថិតនៅផ្នែកខាងឆ្វេង។

$$x^{4}-x^{2}+Ax^{2}-A+Bx+C=x^{4}+x^{2}+x+1$$

ដក x^{4} ពីជ្រុងទាំងពីរ។

$$-x^{2}+Ax^{2}-A+Bx+C=x^{4}+x^{2}+x+1-x^{4}$$

បន្សំ x^{4} និង -x^{4} ដើម្បីបាន 0។

$$-x^{2}+Ax^{2}-A+Bx+C=x^{2}+x+1$$

បន្ថែម x^{2} ទៅជ្រុងទាំងពីរ។

$$Ax^{2}-A+Bx+C=x^{2}+x+1+x^{2}$$

បន្សំ x^{2} និង x^{2} ដើម្បីបាន 2x^{2}។

$$Ax^{2}-A+Bx+C=2x^{2}+x+1$$

ដក Bx ពីជ្រុងទាំងពីរ។

$$Ax^{2}-A+C=2x^{2}+x+1-Bx$$

ដក C ពីជ្រុងទាំងពីរ។

$$Ax^{2}-A=2x^{2}+x+1-Bx-C$$

បន្សំតួទាំងអស់ដែលមាន A។

$$\left(x^{2}-1\right)A=2x^{2}+x+1-Bx-C$$

សមីការឥឡូវនេះស្ថិតនៅក្នុងទម្រង់ស្ដង់ដារ។

$$\left(x^{2}-1\right)A=2x^{2}-Bx+x-C+1$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង x^{2}-1។

$$\frac{\left(x^{2}-1\right)A}{x^{2}-1}=\frac{2x^{2}-Bx+x-C+1}{x^{2}-1}$$

ការចែកនឹង x^{2}-1 មិនធ្វើប្រមាណវិធីគុណនឹង x^{2}-1 ឡើងវិញ។

$$A=\frac{2x^{2}-Bx+x-C+1}{x^{2}-1}$$

ដោះស្រាយសម្រាប់ B (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}B=\frac{1-C+A+x+2x^{2}-Ax^{2}}{x}\text{, }&x\neq 0\\B\in \mathrm{C}\text{, }&A=C-1\text{ and }x=0\end{matrix}\right.$$

ជំហានសម្រាប់ការដោះស្រាយសមីការលីនេអ៊ែរ

ប្រើលក្ខណៈបំបែក​ដើម្បីគុណ x^{2}+A នឹង x^{2}-1។

$$x^{4}+x^{2}+x+1=x^{4}-x^{2}+Ax^{2}-A+Bx+C$$

ប្ដូរផ្នែកទាំងពីរ ដើម្បីឲ្យតួអថេរទាំងអស់ស្ថិតនៅផ្នែកខាងឆ្វេង។

$$x^{4}-x^{2}+Ax^{2}-A+Bx+C=x^{4}+x^{2}+x+1$$

ដក x^{4} ពីជ្រុងទាំងពីរ។

$$-x^{2}+Ax^{2}-A+Bx+C=x^{4}+x^{2}+x+1-x^{4}$$

បន្សំ x^{4} និង -x^{4} ដើម្បីបាន 0។

$$-x^{2}+Ax^{2}-A+Bx+C=x^{2}+x+1$$

បន្ថែម x^{2} ទៅជ្រុងទាំងពីរ។

$$Ax^{2}-A+Bx+C=x^{2}+x+1+x^{2}$$

បន្សំ x^{2} និង x^{2} ដើម្បីបាន 2x^{2}។

$$Ax^{2}-A+Bx+C=2x^{2}+x+1$$

ដក Ax^{2} ពីជ្រុងទាំងពីរ។

$$-A+Bx+C=2x^{2}+x+1-Ax^{2}$$

បន្ថែម A ទៅជ្រុងទាំងពីរ។

$$Bx+C=2x^{2}+x+1-Ax^{2}+A$$

ដក C ពីជ្រុងទាំងពីរ។

$$Bx=2x^{2}+x+1-Ax^{2}+A-C$$

តម្រៀបលំដាប់តួឡើងវិញ។

$$Bx=-Ax^{2}+2x^{2}+x+A-C+1$$

សមីការឥឡូវនេះស្ថិតនៅក្នុងទម្រង់ស្ដង់ដារ។

$$xB=1-C+A+x+2x^{2}-Ax^{2}$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង x។

$$\frac{xB}{x}=\frac{1-C+A+x+2x^{2}-Ax^{2}}{x}$$

ការចែកនឹង x មិនធ្វើប្រមាណវិធីគុណនឹង x ឡើងវិញ។

$$B=\frac{1-C+A+x+2x^{2}-Ax^{2}}{x}$$

ដោះស្រាយសម្រាប់ A

$$\left\{\begin{matrix}A=-\frac{-2x^{2}+Bx-x+C-1}{x^{2}-1}\text{, }&|x|\neq 1\\A\in \mathrm{R}\text{, }&\left(B=C-2\text{ and }x=-1\right)\text{ or }\left(B=4-C\text{ and }x=1\right)\end{matrix}\right.$$

ជំហានសម្រាប់ការដោះស្រាយសមីការលីនេអ៊ែរ

ប្រើលក្ខណៈបំបែក​ដើម្បីគុណ x^{2}+A នឹង x^{2}-1។

$$x^{4}+x^{2}+x+1=x^{4}-x^{2}+Ax^{2}-A+Bx+C$$

ប្ដូរផ្នែកទាំងពីរ ដើម្បីឲ្យតួអថេរទាំងអស់ស្ថិតនៅផ្នែកខាងឆ្វេង។

$$x^{4}-x^{2}+Ax^{2}-A+Bx+C=x^{4}+x^{2}+x+1$$

ដក x^{4} ពីជ្រុងទាំងពីរ។

$$-x^{2}+Ax^{2}-A+Bx+C=x^{4}+x^{2}+x+1-x^{4}$$

បន្សំ x^{4} និង -x^{4} ដើម្បីបាន 0។

$$-x^{2}+Ax^{2}-A+Bx+C=x^{2}+x+1$$

បន្ថែម x^{2} ទៅជ្រុងទាំងពីរ។

$$Ax^{2}-A+Bx+C=x^{2}+x+1+x^{2}$$

បន្សំ x^{2} និង x^{2} ដើម្បីបាន 2x^{2}។

$$Ax^{2}-A+Bx+C=2x^{2}+x+1$$

ដក Bx ពីជ្រុងទាំងពីរ។

$$Ax^{2}-A+C=2x^{2}+x+1-Bx$$

ដក C ពីជ្រុងទាំងពីរ។

$$Ax^{2}-A=2x^{2}+x+1-Bx-C$$

បន្សំតួទាំងអស់ដែលមាន A។

$$\left(x^{2}-1\right)A=2x^{2}+x+1-Bx-C$$

សមីការឥឡូវនេះស្ថិតនៅក្នុងទម្រង់ស្ដង់ដារ។

$$\left(x^{2}-1\right)A=2x^{2}-Bx+x-C+1$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង x^{2}-1។

$$\frac{\left(x^{2}-1\right)A}{x^{2}-1}=\frac{2x^{2}-Bx+x-C+1}{x^{2}-1}$$

ការចែកនឹង x^{2}-1 មិនធ្វើប្រមាណវិធីគុណនឹង x^{2}-1 ឡើងវិញ។

$$A=\frac{2x^{2}-Bx+x-C+1}{x^{2}-1}$$

ដោះស្រាយសម្រាប់ B

$$\left\{\begin{matrix}B=\frac{1-C+A+x+2x^{2}-Ax^{2}}{x}\text{, }&x\neq 0\\B\in \mathrm{R}\text{, }&A=C-1\text{ and }x=0\end{matrix}\right.$$

ជំហានសម្រាប់ការដោះស្រាយសមីការលីនេអ៊ែរ

ប្រើលក្ខណៈបំបែក​ដើម្បីគុណ x^{2}+A នឹង x^{2}-1។

$$x^{4}+x^{2}+x+1=x^{4}-x^{2}+Ax^{2}-A+Bx+C$$

ប្ដូរផ្នែកទាំងពីរ ដើម្បីឲ្យតួអថេរទាំងអស់ស្ថិតនៅផ្នែកខាងឆ្វេង។

$$x^{4}-x^{2}+Ax^{2}-A+Bx+C=x^{4}+x^{2}+x+1$$

ដក x^{4} ពីជ្រុងទាំងពីរ។

$$-x^{2}+Ax^{2}-A+Bx+C=x^{4}+x^{2}+x+1-x^{4}$$

បន្សំ x^{4} និង -x^{4} ដើម្បីបាន 0។

$$-x^{2}+Ax^{2}-A+Bx+C=x^{2}+x+1$$

បន្ថែម x^{2} ទៅជ្រុងទាំងពីរ។

$$Ax^{2}-A+Bx+C=x^{2}+x+1+x^{2}$$

បន្សំ x^{2} និង x^{2} ដើម្បីបាន 2x^{2}។

$$Ax^{2}-A+Bx+C=2x^{2}+x+1$$

ដក Ax^{2} ពីជ្រុងទាំងពីរ។

$$-A+Bx+C=2x^{2}+x+1-Ax^{2}$$

បន្ថែម A ទៅជ្រុងទាំងពីរ។

$$Bx+C=2x^{2}+x+1-Ax^{2}+A$$

ដក C ពីជ្រុងទាំងពីរ។

$$Bx=2x^{2}+x+1-Ax^{2}+A-C$$

តម្រៀបលំដាប់តួឡើងវិញ។

$$Bx=-Ax^{2}+2x^{2}+x+A-C+1$$

សមីការឥឡូវនេះស្ថិតនៅក្នុងទម្រង់ស្ដង់ដារ។

$$xB=1-C+A+x+2x^{2}-Ax^{2}$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង x។

$$\frac{xB}{x}=\frac{1-C+A+x+2x^{2}-Ax^{2}}{x}$$

ការចែកនឹង x មិនធ្វើប្រមាណវិធីគុណនឹង x ឡើងវិញ។

$$B=\frac{1-C+A+x+2x^{2}-Ax^{2}}{x}$$