រំលងទៅមាតិកាមេ
វាយតម្លៃ
Tick mark Image
ដាក់ជាកត្តា
Tick mark Image

Related Concepts

Pi sayısı
Pi sayısı
Pi sayısı, bir dairenin çevresinin çapına bölümü ile elde edilen irrasyonel matematik sabitidir. İsmini, Yunanca περίμετρον sözcüğünün ilk harfi olan π harfinden alır. Pi sayısı, Arşimet sabiti ve Ludolph sayısı olarak da bilinir. Aynı zamanda ismini yunancada pie anlamına gelen πίτα' dan alır. π (/paɪ/; "pi" olarak yazılır) sayısı bir matematik sabitidir; çemberin çevresinin çapına oranıdır ve yaklaşık olarak 3,14159'a eşittir. π sayısı matematik ve fizikteki birçok formülde görünür. Bu bir irrasyonel sayıdır yani tam olarak iki tam sayının oranı olarak ifade edilemez ancak displaystyletfrac227 gibi kesirler genellikle yaklaşık değer olarak kullanılır. Sonuç olarak, ondalık gösterimi hiçbir zaman bitmez ve kalıcı olarak tekrarlanan bir düzene girmez. Bu bir aşkın sayıdır yani yalnızca toplamları, çarpımları, üsleri ve tam sayıları içeren bir denklemin çözümü olamaz. π'nin aşkınlığı, eski daireyi kareleştirme problemine meydan okumasını bir pergel ve çizgilik (Pergel ve çizgilik çizimleri) ile çözmenin imkansız olduğunu ima eder. π'nin ondalık basamakları rastgele dağıtılmış gibi görünüyor, ancak bu varsayımın kanıtı bulunamadı. Binlerce yıldır matematikçiler, bazen değerini yüksek bir doğruluk derecesine göre hesaplayarak π hakkındaki anlayışlarını genişletmeye çalıştılar. Mısırlılar ve Babilliler de dahil olmak üzere eski uygarlıklar, pratik hesaplamalar için oldukça doğru π yaklaşımları gerektiriyordu. MÖ 250 civarında, Yunan matematikçi Arşimet keyfi doğrulukla π'ye yaklaşmak için bir algoritma yarattı. MS 5. yüzyılda, her ikisi de geometrik teknikler kullanarak, Çinli matematikçiler π'yi yedi basamağa yaklaştırırken, Hint matematikçiler beş basamaklı bir tahmin yaptı. π için sonsuz seri'ye dayanan ilk hesaplama formülü, bin yıl sonra keşfedildi. Bir dairenin çevresinin çapına oranını temsil etmek için Yunanca π harfinin bilinen en eski kullanımı 1706'da Galli matematikçi William Jones tarafından yapılmıştır. Kalkülüs'ün icadı kısa sürede π'nin yüzlerce basamağının hesaplanmasına yol açtı, bu tüm pratik bilimsel hesaplamalar için yeterliydi. Bununla birlikte, 20. ve 21. yüzyıllarda matematikçiler ve bilgisayar bilimcileri, artan hesaplama gücüyle birleştiğinde π'nin ondalık gösterimini trilyonlarca basamağa genişleten yeni yaklaşımlar izlediler. Bu hesaplamalar, sayısal serileri hesaplamak için verimli algoritmaların geliştirilmesinin yanı sıra insanın rekor kırma arayışıyla motive edilir. Kapsamlı hesaplamalar, süperbilgisayarları test etmek için de kullanılmıştır. Tanımı daire ile ilgili olduğu için π, trigonometri ve geometri'deki birçok formülde, özellikle daireler, elipsler ve kürelerle ilgili olanlarda bulunur. Ayrıca kozmoloji, fraktals, termodinamik, mekanik ve elektromanyetizma gibi bilimdeki diğer konulardaki formüllerde de bulunur. Modern matematiksel analizde, bunun yerine genellikle geometriye herhangi bir referans olmaksızın tanımlanır; bu nedenle, sayı teorisi ve istatistik gibi geometri ile çok az ilgisi olan alanlarda da görünür. π'nin her yerde bulunması, onu bilimin içinde ve dışında en çok bilinen matematiksel sabitlerden biri yapar. π'ye adanmış birkaç kitap yayınlandı ve π'nin rakamlarının rekor kıran hesaplamaları genellikle haber manşetleriyle sonuçlanıyor. Matematikçiler tarafından bir çemberin çevresinin çapına oranını temsil etmek için kullanılan sembol küçük harf Yunanca harf π'dir ve bazen pi olarak yazılır. İngilizcede π, "pay" olarak telaffuz edilir. Matematiksel kullanımda, küçük harf π, bir dizinin çarpımı anlamına gelen büyük harfli ve büyütülmüş karşılığı, Π'dan ayırt edilir. π sembolünün seçimi π sembolünün benimsenmesi bölümünde tartışılmaktadır. π genellikle bir daire'nin çevresi C ile çapı d) arasındaki oran olarak tanımlanır: displaystylepi=fracCd Dairenin boyutuna bakılmaksızın C/d oranı sabittir. Örneğin, bir dairenin çapı başka bir dairenin iki katıysa, C/d oranını koruyarak çevresi de iki katına sahip olacaktır. Bu π tanımı dolaylı olarak düz geometrisi kullanır; daire kavramı herhangi bir eğri geometri'ye genişletilebilse de, bu yeni daireler artık π = C/d karşılamayacaktır. Burada, bir dairenin çevresi, dairenin çevre etrafındaki yay uzunluğu'dur; limit kullanılarak geometriden bağımsız olarak resmi olarak tanımlanabilen bir niceliktir. Örneğin, birim çemberin üst yarısının yay uzunluğu Kartezyen koordinatlar'da x² + y² = 1 denklemiyle doğrudan hesaplanabilir, integral olarak: displaystylepi=int₋₁¹fracdxsqrt1-x². Bunun gibi bir integral, onu 1841'de doğrudan bir integral olarak tanımlayan Karl Weierstrass tarafından π'nin tanımı olarak benimsendi. Artık integral ilk analitik tanımda yaygın olarak kullanılmaz, çünkü, Remmert 2012'nin açıkladığı gibi, diferansiyel kalkülüs üniversite müfredatında tipik olarak integral hesabından önce gelir, dolayısıyla ikincisine dayanmayan bir π bir tanımının olması arzu edilir. Richard Baltzer'e dayanan ve Edmund Landau tarafından yaygınlaştırılan böyle bir tanım şöyledir: π, kosinüs fonksiyonunun 0'a eşit olduğu en küçük pozitif sayının iki katıdır. π ayrıca sinüs fonksiyonunun sıfıra eşit olduğu en küçük pozitif sayı ve sinüs fonksiyonunun ardışık sıfırları arasındaki farktır. Kosinüs ve sinüs, geometriden bağımsız olarak bir kuvvet serisi veya bir diferansiyel denklem çözümü olarak tanımlanabilir. Benzer şekilde, π, bir exp z karmaşık değişkeninin, karmaşık üsteli exp z nin özellikleri kullanılarak tanımlanabilir. Kosinüs gibi, karmaşık üstel de birkaç yoldan biriyle tanımlanabilir. exp z'nin bire eşit olduğu karmaşık sayılar kümesi, şu şekilde bir aritmetik ilerlemedir: displaystyledots,-2pii,0,2pii,4pii,dots=2pikimidkinmathbbZ ve bu özelliğe sahip benzersiz bir pozitif gerçek sayı, π vardır. Topoloji ve cebir gibi karmaşık matematiksel kavramlardan yararlanan aynı fikrin bir varyasyonu aşağıdaki teoremdir: Toplama modulo tam sayıları altındaki reel sayıların R/Z grubundan, mutlak değeri bir olan karmaşık sayıların çarpımsal grubuna, benzersiz bir sürekli izomorfizma vardır. π sayısı, bu homomorfizmin türevinin büyüklüğünün yarısı olarak tanımlanır. π bir irrasyonel sayı'dır, yani iki tam sayının oranı olarak yazılamaz. 227 ve 355113 gibi kesirler genellikle π'ye yaklaşmak için kullanılır, ancak hiçbir bayağı kesir tam değeri olamaz. π irrasyonel olduğundan, ondalık gösterimi içinde sonsuz sayıda basamak vardır ve sonsuz örüntü basamaklara yerleşmez. π}'nin irrasyonel olduğunun birkaç kanıtı vardır; genellikle cebir gerektirirler ve reductio ad absurdum tekniğini kullanılır. π'nin rasyonel sayılar ile yaklaşık olarak hesaplanabileceği derece kesin olarak bilinmiyor; tahminler, irrasyonalite ölçüsünün e veya ln 2 ölçüsünden büyük ama Liouville sayısı ölçüsünden küçük olduğunu ortaya koymuştur. π rakamlarının görünür bir örüntüsü yoktur ve normallik testleri dahil olmak üzere istatistiksel rastgelelik testlerini geçmiştir; tüm olası basamak dizileri eşit sıklıkta göründüğünde, sonsuz uzunlukta bir sayı normal olarak adlandırılır. π'nin normal olduğu varsayımı kanıtlanmadı veya çürütülmedi. Bilgisayarların icadından bu yana, üzerinde istatistiksel analiz yapmak için çok sayıda π basamağı mevcuttu. Yasumasa Kanada, π'nin ondalık basamakları üzerinde ayrıntılı istatistiksel analizler yaptı ve bunları normallikle tutarlı buldu; örneğin, 0 ila 9 arasındaki on hanenin ne kadar sıklıkta olduğu istatistiksel anlamlılık testlerine tabi tutuldu ve bir örüntüye dair hiçbir kanıt bulunamadı. Herhangi bir rastgele basamak dizisi, sonsuz maymun teoremi ile rastgele olmayan görünen uzun alt diziler içerir. Bu nedenle, π'nin rakam dizisi rastgelelik için istatistiksel testlerden geçtiğinden, ondalık gösteriminin 762. ondalık basamağından başlayan, altı ardışık 9'lu dizi gibi rastgele görünmeyebilecek bazı rakam dizileri içerir. Bu, matematiksel folklor'da Richard Feynman'a atfen "Feynman noktası" olarak da adlandırılır ancak Feynman ile hiçbir bağlantısı bilinmemektedir. π irrasyonel olmasının yanı sıra bir aşkın sayı'dır, bu da x⁵120 − x³6 + x = 0 gibi rasyonel katsayılı herhangi bir sabit olmayan polinom denklemi'nin çözümü olamayacağı anlamına gelir. π aşkınlığının iki önemli sonucu vardır: İlk olarak, π, rasyonel sayılar ve kareköklerin veya n-inci köklerin herhangi bir sonlu kombinasyonu kullanılarak ifade edilemez. İkincisi, hiçbir aşkın sayı pergel ve cetvel ile oluşturulamadığından, "daireyi kareleştirme" mümkün değildir. Başka bir deyişle, yalnızca pergel ve cetvel kullanarak, alanı belirli bir dairenin alanına tam olarak eşit olan bir kare oluşturmak imkansızdır. Bir daireyi kareleştirmek, klasik antik çağın önemli geometri problemlerinden biriydi. Modern zamanların amatör matematikçileri, matematiksel olarak imkansız olmasına rağmen, bazen daireyi kareleştirme ve başarı iddiasında bulunmaya çalıştılar. İrrasyonel bir sayı olarak π, bayağı kesir olarak gösterilemez. Ancak π dahil her sayı, sonsuza giden kesir adı verilen, sonsuz bir iç içe geçmiş kesirler serisi ile temsil edilebilir: displaystylepi=3+textstylecfrac17+textstylecfrac115+textstylecfrac11+textstylecfrac1292+textstylecfrac11+textstylecfrac11+textstylecfrac11+ddots Sürekli kesrin herhangi bir noktada kesilmesi, π için rasyonel bir yaklaşım verir; bunlardan ilk dördü {3, 227, 333106 ve 355113 tür. Bu sayılar, sabitin en iyi bilinen ve en çok kullanılan tarihsel yaklaşımları arasındadır. Bu şekilde üretilen her yaklaşım, en iyi rasyonel yaklaşımdır; yani, her biri aynı veya daha küçük paydaya sahip herhangi bir diğer kesirden π'ye daha yakındır. π aşkın olduğundan, tanım gereği cebirsel değildir ve bu nedenle ikinci dereceden irrasyonel olamaz. Bu nedenle, π bir çalışma sonsuza giden kesir içeremez. π için basit sonsuza giden kesir başka herhangi bir bariz örüntü sergilemese de, birkaç genelleştirilmiş sonsuza giden kesir sergiler, örneğin: displaystylebeginalignedpi&=3+textstylecfrac1²6+textstylecfrac3²6+textstylecfrac5²6+textstylecfrac7²6+textstylecfrac9²6+ddots=textstylecfrac41+textstylecfrac1²2+textstylecfrac3²2+textstylecfrac5²2+textstylecfrac7²2+ddots=textstylecfrac41+textstylecfrac1²3+textstylecfrac2²5+textstylecfrac3²7+textstylecfrac4²9+ddotsendaligned Bazı pi yaklaşımları şunları içerir: Tamsayılar: 3 Kesirler: Yaklaşık kesirler şunları içerir 227, 333106, 355113, 5216316604, 10399333102, 10434833215, and 24585092278256779. Rakamlar: İlk 50 ondalık basamak 3.14159265358979323846264338327950288419716939937510... şeklindedir. Diğer sayı sistemlerindeki rakamlar İlk 48 2 tabanlı basamak 11.001001000011111101101010100010001000010110100011... şeklindedir. On altılı sayı sistemi içindeki ilk 20 hane 3.243F6A8885A308D31319... şeklindedir. İlk beş Altmışlık sayı sistemi basamak 3;8,29,44,0,47 şeklindedir. Üçlü sayı sistemi içindeki ilk 38 basamak 10.0102110122220102110021111102212222201... şeklindedir. Herhangi bir karmaşık sayı, örneğin z, bir çift reel sayı kullanılarak ifade edilebilir. Kutupsal koordinat sisteminde, bir sayı, z'nin karmaşık düzlemin sıfır noktasından olan mesafesini ve diğeri, pozitif reel eksenden, saat yönünün tersine dönüşü temsil etmek için kullanılır: displaystylez=rcdot(cosvarphi+isinvarphi), burada i, i² = −1'i sağlayan hayali birimdir. Karmaşık analizde π'nin sık görülmesi, Euler formülüyle tanımlandığı gibi, karmaşık bir değişkenin üstel fonksiyonunun davranışıyla ilgili olabilir: displaystyleeⁱᵛᵃʳᵖʰⁱ=cosvarphi+isinvarphi, burada e sabiti, doğal logaritmanın tabanıdır. Bu formül,e'nin hayali üsleri ile, karmaşık düzlemin sıfır noktası merkezli birim çember üzerindeki noktalar arasında, bir karşılık olma ilişkisi kurar. Euler formülünde φ = π eşitliği, beş önemli matematiksel sabit içerdiği için matematikte önemsenen Euler özdeşliği ile sonuçlanır: displaystyleeⁱᵖⁱ+1=0. z = 1 eşitliğini sağlayan n sayıda farklı karmaşık sayı vardır ve bunlara "birliğin n'inci kökleri" denir ve aşağıdaki formülle verilir: displaystylee²ᵖⁱⁱᵏ/ⁿqquad(k=0,1,2,dots,n-1). Milattan önceye tarihlenen π için en iyi bilinen yaklaşımlar, iki ondalık basamağa kadar doğruydu; bu, özellikle birinci bin yılın ortalarında, Çin matematiği'nde yedi ondalık basamak doğruluğuna kadar geliştirildi. Bundan sonra, geç Orta Çağ dönemine kadar daha fazla ilerleme kaydedilmedi. π'nin en eski yazılı tahminleri, Babil ve Mısır'da bulunur, her ikisi de gerçek değerin yüzde biri dahilindedir. Babil'de, MÖ 1900-1600 tarihli bir kil tablet, ima yoluyla π'yi şu şekilde ele alan geometrik bir ifadeye sahiptir: 258=3.125. Mısır'da, MÖ 1650 dolaylarına tarihlenen ancak MÖ 1850 tarihli bir belgeden kopyalanan Rhind Papirüsü, π'yi (169)² ≈ 3.16. olarak ele alan bir dairenin alanı için bir formüle sahiptir. Flinders Petrie gibi bazı piramidologlar, Büyük Giza Piramidi'nin π ile ilgili oranlarla inşa edildiğini teorileştirmiş olsalar da, bu teori bilim adamları tarafından geniş çapta kabul görmemektedir. MÖ birinci veya ikinci binyıldan sözlü bir geleneğe tarihlenen Hint matematiği'nin Shulba Sutraları'nda, yaklaşık 3.08831, 3.08833, 3.004, 3 veya 3.125 olarak çeşitli şekillerde yorumlanan yaklaşık değerler verilmiştir. π değerini titizlikle hesaplamak için kaydedilen ilk algoritma, Yunan matematikçi Arşimet tarafından MÖ 250 civarında tasarlanan çokgenleri kullanan geometrik bir yaklaşımdı. Bu çokgen algoritma 1.000 yılı aşkın bir süre hakim oldu ve sonuç olarak π bazen Arşimet sabiti olarak anılır. Arşimet, bir dairenin içine ve dışına düzgün bir altıgen çizerek ve 96 kenarlı bir düzgün çokgene ulaşana kadar kenar sayısını art arda ikiye katlayarak π'nin üst ve alt sınırlarını hesapladı. Bu poligonların çevresini hesaplayarak 22371 < π < 227 olduğunu kanıtladı. Arşimet'in 227 üst sınırı, π'nin 227'ye eşit olduğuna dair yaygın bir popüler inanca yol açmış olabilir. MS 150 civarında, Yunan-Roma bilim adamı Batlamyus, Almagest'inde, Arşimet'ten veya Apollonios'tan almış olabileceği 3.1416'lık bir π değeri verdi. Çokgen algoritmaları kullanan matematikçiler 1630'da π'nin 39 basamağına ulaştılar, bu rekor yalnızca 1699'da sonsuz seriler kullanıldığında 71 basamağa ulaştığı zaman kırıldı. Eski Çin'de, π değerleri 3,1547, √10 ve { {sfrac}}'i içeriyordu. MS 265 civarında, Wei Krallığı matematikçisi Liu Hui, çokgen tabanlı yinelemeli bir algoritma oluşturdu ve bunu 3.1416'lık bir π değeri elde etmek için 3.072 kenarlı bir çokgenle kullandı. MS 265 civarında, Wei Hanedanı matematikçisi Liu Hui bir çokgen tabanlı yinelemeli algoritma oluşturdu ve π'nin 3.1416 değerini elde etmek için bunu 3.072-kenarlı bir çokgenle kullandı. Liu daha sonra π'yi hesaplamak için daha hızlı bir yöntem icat etti ve ardışık çokgenlerin alanındaki farklılıkların 4 katsayılı bir geometrik seri oluşturmasından yararlanarak 96 kenarlı bir çokgenle 3.14 değerini elde etti. Çinli matematikçi Zu Chongzhi, MS 480 civarında, 3.1415926 < π < 3.1415927 olduğunu hesapladı ve 12.288 kenarlı bir çokgene uygulanan Liu Hui'nin algoritması kullanarak π ≈ 355113 = 3,14159292035... ve π ≈ 227 = 3.142857142857..., yaklaşımlarını önerdi. Bunları sırasıyla Milü ve Yuelü olarak adlandırdı. İlk yedi ondalık basamağı için doğru bir değerle, bu değer, sonraki 800 yıl boyunca mevcut olan en doğru π yaklaşımı olarak kaldı. Hint astronom Aryabhata Āryabhaṭīya adlı eserinde 3.1416 değerini kullanmıştır. MÖ 1220'de Fibonacci, Arşimet'ten bağımsız olarak çokgen bir yöntem kullanarak 3.1418'i hesapladı. İtalyan yazar Dante görünüşe göre 3+√210 ≈ 3.14142 değerini kullandı. İranlı astronom Jamshīd al-Kāshī 1424'te 3×2²⁸ kenarlı bir çokgen kullanarak kabaca 16 ondalık basamağa eşdeğer olan 9 altmışlık basamak üretti ve bu değer yaklaşık 180 yıl dünya rekoru olarak kaldı. 1579'da Fransız matematikçi François Viète, 3×2¹⁷ kenarlı bir çokgenle 9 basamak elde etti. Flaman matematikçi Adriaan van Roomen 1593'te 15 ondalık basamağa ulaştı. 1596'da Hollandalı matematikçi Ludolph van Ceulen 20 haneye ulaştı, daha sonra bu rekoru 35 haneye çıkardı. Hollandalı bilim adamı Willebrord Snellius 1621'de 34 haneye ulaştı, ve Avusturyalı gök bilimci Christoph Grienberger, 10⁴⁰ kenar kullanarak 1630'da 38 haneye ulaştı.. Christiaan Huygens was able to arrive at 10 decimal places in 1654 using a slightly different method equivalent to Richardson extrapolation. π hesaplamasında, 16. ve 17. yüzyıllarda sonsuz seriler tekniklerinin geliştirilmesiyle devrim yaratıldı. Sonsuz bir seri, sonsuz bir dizi terimlerinin toplamıdır. Sonsuz seriler, matematikçilerin π'yi Arşimet ve geometrik teknikler kullanan diğerlerinden çok daha yüksek bir hassasiyetle hesaplamasına izin verdi. Sonsuz seriler π için James Gregory ve Gottfried Wilhelm Leibniz gibi Avrupalı matematikçiler tarafından kullanılmasına rağmen, yaklaşım 14. veya 15. yüzyılda bir zaman Kerala astronomi ve matematik okulunda ortaya çıktı. MS 1500 civarında, Nilakantha Somayaji tarafından Tantrasamgraha'daki Sanskrit ayette π'yi hesaplamak için kullanılabilecek sonsuz bir dizinin yazılı bir açıklaması ortaya kondu. Seriler kanıt olmadan sunulur, ancak kanıtlar MS 1530 civarında daha sonraki bir çalışma olan Yuktibhāṣā da sunulur. Sinüs, kosinüs ve artık bazen Madhava serisi olarak anılan arktanjant serileri dahil olmak üzere birkaç sonsuz seri açıklanmıştır. Arktanjant serisine bazen Gregory serisi veya Gregory-Leibniz serisi denir. Madhava, π'yi 1400 yılı civarında 11 haneye kadar tahmin etmek için sonsuz seriler kullandı. 1593'te François Viète, şimdi Viète'nin formülü olarak bilinen, sonsuz bir çarpım olan aşağıdaki formülü yayınladı: displaystylefrac2pi=fracsqrt22cdotfracsqrt2+sqrt22cdotfracsqrt2+sqrt2+sqrt22cdots 1655'te John Wallis, aynı şekilde sonsuz bir çarpım olan, şimdi Wallis çarpımı olarak bilinen aşağıdaki formülü yayınladı: displaystylefracpi2=Big(frac21cdotfrac23Big)cdotBig(frac43cdotfrac45Big)cdotBig(frac65cdotfrac67Big)cdotBig(frac87cdotfrac89Big)cdots 1660'larda İngiliz bilim adamı Isaac Newton ve Alman matematikçi Gottfried Wilhelm Leibniz, π'ye yaklaşmak için birçok sonsuz serinin geliştirilmesine yol açan kalkülüs'ü keşfetti. Newton'un kendisi, 1665 veya 1666'da π'nin 15 basamaklı bir yaklaşımını hesaplamak için bir arksinüs serisi kullandı, daha sonra bununla ilgili olarak "O zamanlar başka bir işim olmadığı için, bu hesaplamaları kaç rakama kadar yaptığımı size söylemeye utanıyorum" yazdı. 1671'de James Gregory bağımsız olarak, 1673'te Leibniz'te, arktanjant için Taylor serisi genişletmesini keşfetti: displaystylearctanz=z-fracz³3+fracz⁵5-fracz⁷7+cdots Bazen Gregory–Leibniz serisi olarak adlandırılan bu dizi, z = 1 ile değerlendirildiğinde π/4'e eşittir. Ancak z = 1 için pratik olmayacak şekilde yavaş yakınsar ve her ek basamağı hesaplamak için yaklaşık on kat daha fazla terim gerekir. 1699'da İngiliz matematikçi Abraham Sharp, π'yi 71 haneye kadar hesaplamak için textstylez=frac1sqrt3 eşitliği ile Gregory–Leibniz serisini kullandı ve çokgen bir algoritma ile belirlenen 39 haneli önceki rekoru kırdı. 1706'da John Machin, çok daha hızlı yakınsayan bir algoritma üretmek için Gregory-Leibniz serisini kullandı: displaystylefracpi4=4arctanfrac15-arctanfrac1239. Machin bu formülle π'nin 100 basamağına ulaştı. Diğer matematikçiler, π basamaklarını hesaplamada birkaç ardışık rekor için kullanılan, şimdi Machin benzeri formül olarak bilinen varyantlar yarattı. Isaac Newton, 1684'te Gregory-Leibniz serisinin yakınsamasını hızlandırdı. displaystylearctanx=fracx1+x²+frac23fracx³(1+x²)²+frac2cdot43cdot5fracx⁵(1+x²)³+cdots Leonhard Euler bu seriyi 1755 diferansiyel hesabı ders kitabında popüler hale getirdi ve daha sonra bunu Machin benzeri formüllerle kullandı, örneğin textstyletfracpi4=5arctantfrac17+2arctantfrac377, ile bir saatte π'nin 20 basamağını hesapladı. Machin benzeri formüller, bilgisayar çağına kadar π'yi hesaplamak için en iyi bilinen yöntem olarak kaldı ve 250 yıl boyunca rekorlar kırmak için kullanıldı ve 1946'da Daniel Ferguson tarafından 620 basamaklı bir yaklaşımla sonuçlandı.. 1844'te, Alman matematikçi Carl Friedrich Gauss'un kontrolünde kafasında π'nin 200 ondalığını hesaplamak için bir Machin benzeri formül kullanan Zacharias Dase tarafından bir rekor kırıldı. 1853'te İngiliz matematikçi William Shanks, π'yi 607 basamak olarak hesapladı, ancak 528. basamakta bir hata yaparak sonraki tüm basamakların yanlış olmasına yol açtı. 1873'te ek 100 basamak hesaplayarak toplamı 707'ye çıkarsa da, önceki hatası tüm yeni basamakların da yanlış hesaplanmasına yol açtı. π için bazı sonsuz seriler diğerlerinden daha hızlı yakınsar. Given the choice of two infinite series for π, mathematicians will generally use the one that converges more rapidly because faster convergence reduces the amount of computation needed to calculate π to any given accuracy. π için basit bir sonsuz seri Gregory–Leibniz serisidir: displaystylepi=frac41-frac43+frac45-frac47+frac49-frac411+frac413-cdots Bu sonsuz dizinin tek tek terimleri toplama eklendikçe, toplam kademeli olarak π'ye yaklaşır ve istenildiği kadar π'ye yaklaşabilir. Yine de oldukça yavaş yakınsar - 500.000 terimden sonra, π'nin yalnızca beş doğru ondalık basamağını üretir. π için Gregory-Leibniz serisinden daha hızlı yakınsayan sonsuz bir seri: displaystylepi=3+frac42times3times4-frac44times5times6+frac46times7times8-frac48times9times10+cdots Aşağıdaki tablo, bu iki serinin yakınsama oranlarını karşılaştırmaktadır: Beş terimden sonra, Gregory-Leibniz serisinin toplamı, π'nin doğru değerinin 0,2'si içindeyken, Nilakantha'nın serisinin toplamı doğru değerinin 0,002'si içindedir. Nilakantha'nın serisi daha hızlı yakınsar ve π'nin basamaklarını hesaplamak için daha kullanışlıdır. Daha da hızlı yakınsayan seriler arasında Machin'in serisi ve Chudnovsky'nin serisi yer alır, ikincisi terim başına 14 doğru ondalık basamak üretir. π ile ilgili tüm matematiksel gelişmeler, tahminlerin doğruluğunu artırmayı amaçlamadı. Euler 1735'te Basel problemini ters karelerin toplamının tam değerini bularak çözdüğünde, π ile asal sayılar arasında bir bağlantı kurdu ve bu daha sonra Riemann zeta işlevi çalışmasını geliştirmeye katkıda bulundu. displaystylefracpi²6=frac11²+frac12²+frac13²+frac14²+cdots İsviçreli bilim adamı Johann Heinrich Lambert 1768'de π'nin irrasyonel olduğunu, yani herhangi iki tam sayının bölümüne eşit olmadığını kanıtladı. Lambert'in ispatı, tanjant fonksiyonunun sürekli kesir temsilinden yararlandı. Fransız matematikçi Adrien-Marie Legendre, 1794'te π²'nin de irrasyonel olduğunu kanıtladı. 1882'de Alman matematikçi Ferdinand von Lindemann, π'nin aşkın olduğunu kanıtladı ve hem Legendre hem de Euler tarafından yapılan bir varsayımı doğruladı. Hardy ve Wright, "kanıtların daha sonra Hilbert, Hurwitz ve diğer yazarlar tarafından değiştirilip basitleştirildiğini" belirtir. İlk kullanımlarda, Yunan harfi π, bir dairenin yarıçevresini (Latince'de semiperipheria) ifade etmek için kullanılmıştır. ve daire sabitlerini oluşturmak için δ (çap veya yarı çap için) veya ρ (yarıçap için) ile oranlarda birleştirildi. (O zamandan önce, matematikçiler bunun yerine bazen c veya p gibi harfleri kullanıyorlardı.) Kaydedilen ilk kullanım Oughtred's "displaystyledelta.pi" şeklindedir ve Latince: Clavis Mathematicae'nin 1647 ve sonraki baskılarında çevre ve çap oranını ifade etmek için kullanmıştır. Barrow 3.14... sabitini temsil etmek için aynı şekilde "textstylefracpidelta" kullandı. Gregory bunun yerine "textstylefracpirho"'yi 6.28...'i temsil etmek için kullandı. Bir çemberin çevresinin çapına oranını temsil etmek için tek başına Yunanca π harfinin bilinen en eski kullanımı Galli matematikçi William Jones'un 1706 tarihli Latince: Synopsis Palmariorum Matheseos adlı çalışmasında yapılmıştır; veya Matematiğe Yeni Bir Giriş." Yunan harfi s. 243 te, "Çevre, yarıçapı 1 olan bir daire için hesaplanmıştır." ifadesinde kullanılmıştır. Ancak Jones, π için denklemlerinin "gerçekten dahiyane Bay John Machin'in hazır kaleminden" olduğunu yazar ve bu da Machin'in Jones'tan önce Yunanca harfi kullanmış olabileceği yönünde spekülasyonlara yol açar. Jones'un gösterimi diğer matematikçiler tarafından hemen benimsenmedi, kesir gösterimi 1767'ye kadar hâlâ kullanılıyordu. Euler, 1727 tarihli Havanın Özelliklerini Açıklayan Deneme ile başlayarak tek harfli formu kullanmaya başladı, ancak, bu ve sonraki bazı yazılarda çevrenin yarıçapa oranı olan π = 6.28... kullanmıştı. Euler π = 3.14...'ü ilk olarak 1736 tarihli Mechanica adlı çalışmasında kullandı ve geniş çapta okunan 1748 tarihli Latince: Introductio in analysin infinitorum adlı çalışmasında devam etti. Euler, Avrupa'daki diğer matematikçilerle yoğun bir şekilde yazıştığı için, Yunan harfinin kullanımı hızla yayıldı ve uygulama bundan sonra Batı dünyasında evrensel olarak benimsendi, ancak tanım 1761 gibi geç bir tarihe kadar hâlâ 3.14... ve 6.28... arasında değişiyordu. 20. yüzyılın ortalarında bilgisayarların gelişimi, π rakamlarının aranmasında yeniden devrim yarattı. Matematikçiler John Wrench ve Levi Smith, 1949'da bir masa hesap makinesi kullanarak 1.120 haneye ulaştı. George Reitwiesner ve John von Neumann liderliğindeki bir ekip ters teğet sonsuz serisini kullanarak aynı yıl ENIAC bilgisayar üzerinde 70 saatlik bilgisayar çalışması gerektiren bir hesaplamayla 2.037 basamak elde etti. Her zaman bir arctan serisine dayanan rekor, 1973'te 1 milyon haneye ulaşılana kadar art arda kırıldı. 1980 civarında iki ek gelişme, π'yi hesaplama yeteneğini bir kez daha hızlandırdı. Birincisi, sonsuz serilerden çok daha hızlı olan π hesaplaması için yeni yinelemeli algoritmaların keşfi; ve ikincisi, büyük sayıları çok hızlı bir şekilde çarpabilen hızlı çarpma algoritmalarının icadı. Birincisi, π hesaplaması için sonsuz serilerden çok daha hızlı olan yeni iteratif algoritmaların keşfi; ve ikincisi, büyük sayıları çok hızlı bir şekilde çarpabilen hızlı çarpma algoritmaları'nın icadı. Bu tür algoritmalar modern π hesaplamalarında özellikle önemlidir çünkü bilgisayarın zamanının çoğu çarpmaya ayrılmıştır. Bunlar arasında Karatsuba algoritması, Toom-Cook çarpması ve Fourier dönüşümü tabanlı yöntemler bulunur. Yinelemeli algoritmalar, 1975-1976'da fizikçi Eugene Salamin ve bilim adamı Richard Brent tarafından bağımsız olarak yayınlandı. Bunlar sonsuz serilere güvenmekten kaçınır. Yinelemeli bir algoritma, her yinelemede önceki adımların çıktılarını girdi olarak kullanarak belirli bir hesaplamayı tekrarlar ve her adımda istenen değere yaklaşan bir sonuç üretir. Yaklaşım aslında 160 yılı aşkın bir süre önce Carl Friedrich Gauss tarafından şu anda aritmetik-geometrik ortalama yöntemi veya Gauss–Legendre algoritması olarak adlandırılan yöntemle icat edildi. Salamin ve Brent tarafından değiştirildiği şekliyle, Brent-Salamin algoritması olarak da anılır. Yinelemeli algoritmalar, sonsuz dizi algoritmalarından daha hızlı oldukları için 1980'den sonra yaygın olarak kullanıldı: sonsuz diziler tipik olarak birbirini izleyen terimlerde doğru basamak sayısını artırırken, yinelemeli algoritmalar genellikle her adımda doğru basamak sayısını "çarpar". Örneğin, Brent-Salamin algoritması, her yinelemede basamak sayısını ikiye katlar. 1984'te John ve Peter Borwein kardeşler, her adımdaki basamak sayısını dört katına çıkaran yinelemeli bir algoritma ürettiler; ve 1987'de, her adımda basamak sayısını beş kat artıran bir algoritma. Yinelemeli yöntemler, Japon matematikçi Yasumasa Kanada tarafından 1995 ve 2002 yılları arasında π hesaplaması için çeşitli rekorlar kırmak için kullanıldı. Bu hızlı yakınsamanın bir bedeli var: yinelemeli algoritmalar, sonsuz serilerden önemli ölçüde daha fazla bellek gerektirir. π içeren çoğu sayısal hesaplama için, bir avuç rakam yeterli kesinlik sağlar. Jörg Arndt ve Christoph Haenel'e göre, çoğu kozmolojik hesaplamayı yapmak için otuz dokuz basamak yeterlidir, çünkü gözlemlenebilir evrenin çevresini bir atom hassasiyetiyle hesaplamak için gereken doğruluk budur. Hesaplamalı yuvarlama hatalarını telafi etmek için gereken ek basamakları hesaba katan Arndt, herhangi bir bilimsel uygulama için birkaç yüz basamağın yeterli olacağı sonucuna varır. Buna rağmen, insanlar π'yi binlerce ve milyonlarca basamaklı olarak hesaplamak için yoğun bir şekilde çalıştılar. Bu çaba kısmen insanların rekor kırma dürtüsüne atfedilebilir ve π ile elde edilen bu tür başarılar genellikle dünya çapında manşetlere konu olur. Süper bilgisayarları test etme, sayısal analiz algoritmalarını test etme ; ve saf matematiğin kendisinde, π'nin rakamlarının rastgeleliğini değerlendirmek için veri sağlar. Modern π hesap makineleri, yalnızca yinelemeli algoritmalar kullanmaz. 1980'lerde ve 1990'larda yinelemeli algoritmalar kadar hızlı ancak daha basit ve daha az bellek kullanan yeni sonsuz seriler keşfedildi. Hızlı yinelemeli algoritmalar, 1914'te Hint matematikçi Srinivasa Ramanujan π için zarafetleri, matematiksel derinlikleri ve hızlı yakınsamalarıyla dikkat çeken düzinelerce yenilikçi yeni formül yayınladığında öngörülmüştü.Modüler denklemlere dayanan formüllerinden biri, displaystylefrac1pi=frac2sqrt29801sumₖ₌₀ⁱⁿᶠᵗʸfrac(4k)!(1103+26390k)k!⁴left(396⁴ᵏright). Bu seri, Machin'in formülü de dahil olmak üzere çoğu arctan serisinden çok daha hızlı yakınsar. Bill Gosper, 1985'te 17 milyon basamaklı bir rekor kırarak π hesaplamasındaki ilerlemeler için bunu ilk kullanan kişiydi. Ramanujan'ın formülleri, Borwein kardeşler ve Chudnovsky kardeşler tarafından geliştirilen modern algoritmaları öngörüyordu. 1987'de geliştirilen Chudnovsky formülü, displaystylefrac1pi=fracsqrt100054270934400sumₖ₌₀ⁱⁿᶠᵗʸfrac(6k)!(13591409+545140134k)(3k)!,k!³(-640320)³ᵏ. Terim başına yaklaşık 14 basamak π üretir ve birkaç kayıt ayarı π hesaplaması için kullanılmıştır. Bunlar arasında 1989'da Chudnovsky kardeşler tarafından 1 milyar haneyi aşan ilk rakamlar, 2011'de Alexander Yee ve Shigeru Kondo tarafından 10 trilyon hane ve 2022'de Emma Haruka Iwao tarafından 100 trilyon hane yer alıyor. Benzer formüller için ayrıca bkz. Ramanujan–Sato serisi 2006'da matematikçi Simon Plouffe, aşağıdaki şablona uygun olarak π için birkaç yeni formül oluşturmak için tamsayı ilişki algoritması PSLQ'yu kullandı: displaystylepiᵏ=sumₙ₌₁ⁱⁿᶠᵗʸfrac1nᵏleft(fracaqⁿ-1+fracbq²ⁿ-1+fraccq⁴ⁿ-1right), burada q eşittir e, k tek sayıdır ve a, b, c Plouffe'un hesapladığı belirli rasyonel sayılardır. Birden fazla rastgele denemenin sonuçlarını değerlendiren Monte Carlo yöntemleri, π'nin yaklaşık değerlerini oluşturmak için kullanılabilir. Buffon'un iğnesi böyle bir tekniktir: ℓ uzunluğundaki bir iğne, t birim aralıklarla paralel çizgilerin çizildiği bir yüzey üzerine n kez düşürülürse ve bu seferlerin x tanesi bir çizgiyi geçerek durursa, o zaman sayımlara göre π yaklaşık olarak hesaplanabilir: displaystylepiapproxfrac2nellxt. π'yi hesaplamak için başka bir Monte Carlo yöntemi, kare içine çizilmiş bir daire çizmek ve kareye rastgele noktalar yerleştirmektir. Daire içindeki noktaların toplam nokta sayısına oranı yaklaşık olarak π/4 olacaktır. Olasılığı kullanarak π'yi hesaplamanın başka bir yolu, bir dizi yazı tura atmasıyla oluşturulan rastgele bir yürüyüşle başlamaktır: eşit olasılıklarla Xₖ ∈ Şablon:Mset olacak şekilde bağımsız rassal değişkenler Xₖ. İlişkili rastgele yürüyüş displaystyleWₙ=sumₖ₌₁ⁿXₖ böylece her n için, Wₙ, kaydırılmış ve ölçeklendirilmiş bir binom dağılımı'ndan çizilir. n değiştikçe, Wₙ bir stokastik süreci tanımlar. O zaman π şu şekilde hesaplanabilir: displaystylepi=limₙₜₒᵢₙfₜyfrac2nE[|Wₙ|]². Bu Monte Carlo yöntemi, çemberlerle herhangi bir ilişkiden bağımsızdır ve aşağıda tartışılan merkezî limit teoremi'nin bir sonucudur. π'ye yaklaşmak için bu Monte Carlo yöntemleri, diğer yöntemlere kıyasla çok yavaştır ve elde edilen tam basamak sayısı hakkında herhangi bir bilgi sağlamaz. Bu nedenle, hız veya doğruluk istendiğinde asla π'ye yaklaşmak için kullanılmazlar. 1995'te π'ye yeni araştırma yolları açan iki algoritma keşfedildi. Musluktan damlayan su gibi, hesaplandıktan sonra tekrar kullanılmayan π'nin tek basamaklarını ürettikleri için musluk algoritmaları olarak adlandırılırlar. Bu, nihai sonuç üretilene kadar tüm ara basamakları tutan ve kullanan sonsuz seri veya yinelemeli algoritmaların tersidir. Matematikçiler Stan Wagon ve Stanley Rabinowitz 1995'te basit bir musluk algoritması ürettiler. Hızı, arctan algoritmalarıyla karşılaştırılabilir, ancak yinelemeli algoritmalar kadar hızlı değildir. Başka bir musluk algoritması olan BBP rakam çıkarma algoritması, 1995 yılında Simon Plouffe tarafından keşfedildi: displaystylepi=sumₖ₌₀ⁱⁿᶠᵗʸfrac116ᵏleft(frac48k+1-frac28k+4-frac18k+5-frac18k+6right). Bu formül, kendisinden önceki diğerlerinin aksine, önceki tüm basamakları hesaplamadan π'nin herhangi bir onaltılık basamağını üretebilir. Bireysel ikili basamaklar, bireysel onaltılık basamaklardan çıkarılabilir ve sekizlik basamaklar, bir veya iki onaltılık basamaktan çıkarılabilir. Algoritmanın varyasyonları keşfedildi, ancak ondalık basamakları hızla üreten hiçbir basamak çıkarma algoritması henüz bulunamadı. Rakam çıkarma algoritmalarının önemli bir uygulaması, kayıt π hesaplamalarının yeni iddialarını doğrulamaktır: Yeni bir kayıt talep edildikten sonra, ondalık sonuç onaltılığa dönüştürülür ve ardından sona yakın birkaç rastgele onaltılık basamağı hesaplamak için bir basamak çıkarma algoritması kullanılır; eşleşirlerse, bu, tüm hesaplamanın doğru olduğuna dair bir güven ölçüsü sağlar. 1998 ve 2000 yılları arasında, dağıtılmış bilgi işlem projesi PiHex, 0 olduğu ortaya çıkan π'nin katrilyonuncu bitini hesaplamak için Bellard'ın formülünü kullandı. Eylül 2010'da bir Yahoo! çalışanı şirketin Hadoop uygulamasını 23 günlük bir süre boyunca bin bilgisayarda iki katrilyonuncu bitte 256 bit π'yi hesaplamak için kullandı ki bu yine sıfırdır. π daire ile yakından ilişkili olduğu için geometri ve trigonometri alanlarındaki birçok formülde, özellikle daireler, küreler veya elipslerle ilgili olanlarda bulunur. İstatistik, fizik, Fourier analizi ve sayı teorisi gibi diğer bilim dalları da bazı önemli formüllerinde π'yi içerir. π, elips, küre, koni ve simit gibi dairelere dayalı geometrik şekillerin alan ve hacim formüllerinde görünür. π içeren daha yaygın formüllerden bazıları aşağıdadır. Yarıçapı r olan bir çemberin çevresi 2πr'dir. Yarıçapı r olan dairenin alanı πr²'dir. Yarı büyük ekseni a ve yarı küçük ekseni b olan bir elipsin alanı πab'dır. Yarıçapı r olan bir kürenin hacmi 43πr³'dir. Yarıçapı r olan bir kürenin yüzey alanı 4πr²'dir. Yukarıdaki formüllerden bazıları, aşağıda verilen n-boyutlu topun hacminin ve onun sınırı olan -boyutlu kürenin yüzey alanının özel durumlarıdır. Dairelerin dışında, sabit genişlikte başka eğriler de vardır. Barbier teoremine göre, sabit genişliğe sahip her eğrinin çevresi, genişliğinin π katıdır. Reuleaux üçgeni genişliği için mümkün olan en küçük alana ve daire en büyüğüne sahiptir. Dairesel olmayan pürüzsüz ve hatta sabit genişlikte cebirsel eğriler de vardır. Daireler tarafından oluşturulan şekillerin çevresini, alanını veya hacmini tanımlayan Belirli integraller, tipik olarak π içeren değerlere sahiptir. Örneğin, 1 yarıçaplı bir çemberin alanının yarısını belirten bir integral şu şekilde verilir: displaystyleint₋₁¹sqrt1-x²,dx=fracpi2. Bu integralde, √1 − x² işlevi bir yarım dairenin displaystyle x ekseni üzerindeki yüksekliği temsil eder (karekök, Pisagor teoreminin bir sonucudur) ve integral, yarım daire'nin altındaki alanı hesaplar. Trigonometrik fonksiyonlar açılara dayanır ve matematikçiler genellikle ölçüm birimi olarak radyan kullanır. π, tam bir daire 2π radyanlık bir açıyı kaplayacak şekilde tanımlanan radyan cinsinden ölçülen açılarda önemli bir rol oynar. 180°'nin açı ölçüsü π radyan ve 1° = π/180 radyan'a eşittir. Yaygın trigonometrik fonksiyonlar, π'nin katları olan periyotlara sahiptir; örneğin, sinüs ve kosinüsün periyodu 2π'dir, dolayısıyla herhangi bir θ açısı ve herhangi bir k tam sayısı için, displaystylesintheta=sinleft(theta+2pi kright)textandcostheta=cosleft(theta+2pi kright). Pi sayısının bazı yaklaşık değerleri şu şekildedir: Bölümler: 227, 333106, 355113, 5216316604, 10399333102 ve 24585092278256779.* Onlu sayı sistemi: İlk yüz basamak; 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679.... İkili sayı sistemi: 11.001001000011111101101010100010001000010110100011.... Üçlü sayı sistemi: 10.010211012222010211002111110221222220111201212121.... On altılı sayı sistemi:3.243F6A8885A308D31319.... Altmışlı sayı sistemi: 3;8,29,44,1 Pi formüllerinden başlıcaları şunlardır: Nilakantha Somayaji: displaystylepi=3+frac43³-3-frac45³-5+frac47³-7-frac49³-9+... displaystylepi=3+frac42times3times4-frac44times5times6+frac46times7times8-frac48times9times10+... Franciscus Vieta: displaystylepi=2timesfrac2sqrt2timesfrac2sqrt2+sqrt2timesfrac2sqrt2+sqrt2+sqrt2timesfrac2sqrt2+sqrt2+sqrt2+sqrt2timescdots Gregory–Leibniz: displaystylepi=4sumₙ₌₀ⁱⁿᶠᵗʸcfrac(-1)ⁿ2n+1=4left(frac11-frac13+frac15-frac17+-cdots right)!=cfrac41+cfrac1²2+cfrac3²2+cfrac5²2+ddots! Isaac Newton: displaystylepi=sumₙ₌₀ⁱⁿᶠᵗʸcfrac2ⁿ⁺¹cdot(n!)²(2n+1)! Leonhard Euler: displaystylepi=-iln(-1) Bailey-Borwein-Plouffe: displaystylepi=sumₙ₌₀ⁱⁿᶠᵗʸbiggl(frac116biggr)ⁿleft(frac48n+1-frac28n+4-frac18n+5-frac18n+6right) Fabrice Bellard: displaystylepi=sumₙ₌₀ⁱⁿᶠᵗʸfrac12⁶biggl(frac-12¹⁰biggr)ⁿleft(-frac2⁵4n+1-frac14n+3+frac2⁸10n+1-frac2⁶10n+3-frac2²10n+5-frac2²10n+7+frac110n+9right)! Adamchik-Wagon: displaystylepi=sumₙ₌₀ⁱⁿᶠᵗʸbiggl(frac-14biggr)ⁿleft(frac24n+1+frac24n+2+frac14n+3right) Geometri Pi Günü Pi Çılgınlığı 18 Mayıs 2012 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. Pi-Different Project Gutenberg'de π'nin detaylı değeri 1 Temmuz 2004 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. Pi formülleri ve online pi hesabı 26 Mayıs 2011 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.

បញ្ហាស្រដៀងគ្នាពី Web Search

ចែករំលែក

\frac{\frac{672\times 10^{9}}{4200}}{50\times 1000}
បង្ហាញ \frac{\frac{\frac{672\times 10^{9}}{4200}}{50}}{1000} ជាប្រភាគទោល។
\frac{\frac{672\times 1000000000}{4200}}{50\times 1000}
គណនាស្វ័យគុណ 10 នៃ 9 ហើយបាន 1000000000។
\frac{\frac{672000000000}{4200}}{50\times 1000}
គុណ 672 និង 1000000000 ដើម្បីបាន 672000000000។
\frac{160000000}{50\times 1000}
ចែក 672000000000 នឹង 4200 ដើម្បីបាន160000000។
\frac{160000000}{50000}
គុណ 50 និង 1000 ដើម្បីបាន 50000។
3200
ចែក 160000000 នឹង 50000 ដើម្បីបាន3200។